江苏省姜堰、前黄、如皋、淮阴四校2009届高三 2008.12 联考数学试题

江苏省姜堰中学 2008~2009 学年度第一学期第四次综合练习

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数 学


2008.12

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一、填空题:(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.)

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1.若复数 z 满足 iz ? 2 ? 3i (i 是虚数单位) ,则 z =__________.

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2 2 . 已 知 命 题 P : “ ?x ? R , x ? 2 x ? 3 ? 0 ” , 请 写 出 命 题 P 的 否


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:



3.已知 sin ? ?

? 1 ? ?? ,其中 ? ? ? 0, ? ,则 cos( ? ? ) ? 6 2 ? 2?



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4.若方程 ln x ? 6 ? 2 x 的解为 x0 ,则满足 k ? x0 的最大整数 k ?
x 5.已知函数 f ( x) ? x ? e ,则 f '(0) ?



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.

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6.函数 y ? 1 ? sin ( x ?
2

?
6

) 的最小正周期是



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7.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a4 ? a12 ? a 1 7 ?a 1 9 ? 8 ,则 S 25 的值为
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.

8.已知圆 ?x ? 2? ? y 2 ? 1 经过椭圆
2

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2
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? a ? b ? 0? 的一个顶点和一个焦点,则

此椭圆的离心率 e =

.

9.设直线 l1 : x ? 2 y ? 2 ? 0 的倾斜角为 ?1 ,直线 l2 : mx ? y ? 4 ? 0 的倾斜角为 ? 2 , 且 ?2 ? ?1 ? 90 ,则 m 的值为 .
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2 10.已知存在实数 a 满足 ab ? a ? ab ,则实数 b 的取值范围为

.

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11.已知函数 f ( x) ? x 2 ? (b ? 2 ? a 2 ) x ? a ? b 是偶函数,则此函数图象与 y 轴交点的 纵坐标的最大值是 .
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12. 已知点 P 在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 上, 点 Q 在直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 上, PQ 中点为 M ( x , y ) , 且 y ? x ? 2 ,则

y 的取值范围为 x
2 2

.

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13. 已知平面上的向量 PA 、PB 满足 PA ? PB ? 4 , AB ? 2 , 设向量 PC ? 2PA ? PB , 则 PC 的最小值是 .
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14.如果函数 f ( x) ? a x (a x ? 3a 2 ?1) (a ? 0 且 a ? 1) 在区间 ?0 ,∞ ? ? 上是增函数,那么实 数 a 的取值范围是 . 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分)
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15. (本小题满分 14 分)如图四边形 ABCD 是菱形,PA ? 平面 ABCD , Q 为 PA 的中点. 求证:
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P
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⑴ PC ∥ 平面 QBD ;

Q ⑵ 平面 QBD ? 平面 PAC .
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A
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O C

D

B
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16. (本小题满分 14 分) 已知 O 为原点, 向量 OA ? (3cos x,3sin x) ,OB ? (3cos x,sin x) ,

? ?? OC ? (2,0) , x ? ? 0, ? . ? 2?

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(1)求证: OA ? OB ? OC ;⑵ 求 tan ?AOB 的最大值及相应的 x 值.

?

?

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17. (本小题满分 14 分)已知以点 P 为圆心的圆经过点 A ? ?1,0? 和 B ? 3, 4 ? ,线段 AB 的垂 直平分线交圆 P 于点 C 和 D ,且 | CD |? 4 10 . (1)求直线 CD 的方程; ⑵求圆 P 的方程;
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⑶设点 Q 在圆 P 上,试问使△ QAB 的面积等于 8 的点 Q 共有几个?证明你的结论.

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18. (本小题满分 16 分)甲方是一农场,乙方是一工厂,由于乙方生产须占用甲方的资源, 因此甲方每年向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入.乙方在不赔付甲方的情况下, 乙方的年利润 x (元)与年产量 t (吨)满足函数关系 x ? 2000 t .若乙方每生产一吨产 品必须赔付甲方 s 元(以下称 s 为赔付价格) . (1)将乙方的年利润 w (元)表示为年产量 t (吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的 年产量;
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(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额 y ? 0.002 ,在乙方按照获得最大 t (元)
2

利润的产量进行生产的前提下, 甲方要在索赔中获得最大净收入, 应向乙方要求的赔付价格 s 是多少?
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19. (本小题满分 16 分)设函数 f ? x ? ? ax ? ln x , g ? x ? ? a x .
2 2

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⑴当 a ? ?1 时,求函数 y ? f ? x ? 图象上的点到直线 x ? y ? 3 ? 0 距离的最小值; ⑵是否存在正实数 a , 使f? x 若不存在,请说明理由.
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求出 a 的取值范围; g x ? ? 对一切正实数 x 都成立?若存在, ??

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20 . ( 本 小 题 满 分 16 分 ) 设 数 列 ?an ? 的 各 项 都 是 正 数 , a1 ? 1 ,
2 bn ? an ? an .

an ? 1 an ?1 , ? an ?1 ? 1 2an

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⑴求数列 ?bn ? 的通项公式;⑵求数列 ?an ? 的通项公式; ⑶求证:

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1 1 1 ? ? ??? ? ?1 . ?1 ? a1 ? a2 ?1 ? a2 ? a3 ?1 ? an ? an?1

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附加题
21. (本小题满分 8 分)求由曲线 y ?

1 , y ? 1 , y ? 2 , x ? 1 所围成的面积. x

22. (本小题满分 8 分)解不等式: | 2 x ? 1| ? | x ? 4 |? 2

23. (本小题满分 12 分)已知两曲线 f ( x) ? cos x , g ( x) ? sin 2 x , x ? (0, (1)求两曲线的交点坐标; (2)设两曲线在交点处的切线分别与 x 轴交于 A, B 两点,求 AB 的长.

?
2

).

24. (本小题满分 12 分)已知动圆 Q 与 x 轴相切,且过点 A? 0,2? . ⑴求动圆圆心 Q 的轨迹 M 方程; ⑵ 设 B 、 C 为曲线 M 上两点, P ? 2,2? , PB ? BC ,求点 C 横坐标的取值范围.

高三数学答题纸
题号 得分 一、填空题: (14×5’=70’) 1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 15. 2. 4. 6. 8. 10. 12. 14.
P Q A B D C



二 15 16 17 18 19 20

总分

二、解答题: (14’+14’+14’+16’+16’+16’=90’)

O

16.

17.

18.

19.

20.

高三数学参考答案
一、填空题 1. 3 ? 2i 2. ?x ? R , x ? 2 x ? 3 ? 0
2

3.

1 2

4.2 12. ? ?

5.1

6. ?

7.50

8.

1 3

9.-2

10.

? ??, ?1?

11.2

? 1 1? ,? ? ? 2 5?

13.2

14.

3 ? a ?1 3

二、解答题 A C? B D =,连 0 OQ 。 15[解]:证:设 ⑴ ∵ABCD 为菱形, ∴ O 为 AC 中点,又 Q 为 PA 中点。 ∴OQ ∥PC (5 分) 又 PC ? 平面QBD , OQ ? 平面QBD ∴PC ∥平面QBD (7 分) ⑵∵ABCD 为菱形, ∴BD ? AC , (9 分) (12 分)

又∵PA ? 平面ABCD , BD ? 平面ABCD ∴PA ? BD 又

P A? A C ?

D ∴BD ? 平面PAC 又 BD ? 平面QBD
(14 分)

∴平面QBD ? 平面PAC 16[解]:解:⑴∵0 ? x ?

?
2

, ∴ 3sin x ? sin x ,∴OA ? OB ? 0 (1 分) (3 分)

又 OA ? OB ? ? 0, 2sin x ?

? ? ∴? OA ? OB ? ? OC
⑵tan ?AOC ?

∴ OA ? OB ? OC ? 0 ? 2 ? 2sin x ? 0 ? 0 。 (6 分)

3sin x sin x 1 ? tan x , tan ?BOC ? ? tan x (8 分) 3cos x 3cos x 3

∵OA ? OB ? BA ,∴BA ? OC , 0 ? ?AOB ? ∴tan ?AOB ? tan ? ?AOC ??BOC ?

?

2

。 (10 分)

1 tan x ? tan x tan ?AOC ? tan ?BOC 3 ? ? 1 2 1 ? tan ?AOC tan ?BOC 1 ? tan x 3

?

2 tan x 2 tan x 3 ? ? 2 3 ? tan x 2 3 tan x 3

(13 分)

(当 tan x ? 3 即 x ?

?
3

时取“ ? ”)

所以 tan ?AOB 的最大值为

? 3 ,相应的 x ? 3 3

(14 分)

17.解:⑴ 直线 AB 的斜率 k ? 1 , AB 中点坐标为 ?1, 2 ? , ∴ 直线 CD 方程为 y ? 2 ? ? ? x ?1?即x+y-3=0 ⑵ 设圆心 P ? a, b ? ,则由 P 在 CD 上得: (4 分)

a ?b?3 ? 0



又直径 | CD |? 4 10 ,? | PA |? 2 10 ,?(a ? 1)2 ? b2 ? 40 又 PA ? PB ? 24
2 2 ∴ a ? b ? 2a ? 4b ? 27 ? 0



(7 分)

由① ② 解得

?

a ? ?3 b ?6 或

?

a ?5 b ? ?2

∴ 圆心 P ? ?3,6? 或 P ? 5, ?2? ∴ 圆 P 的方程为 ? x ? 3? ? ? y ? 6 ? ? 40
2 2

或 ? x ? 5 ? ? ? y ? 2 ? ? 40
2 2

(9 分)

⑶ AB ?

42 ? 42 ? 4 2 ,∴ 当△ QAB 面积为 8 时 ,点 Q 到直线 AB 的距离为
(12 分)

2 2 。

又圆心 P 到直线 AB 的距离为 4 2 ,圆 P 的半径 r ? 2 10 且

4 2 ? 2 2 ? 2 10

∴ 圆上共有两个点 Q 使 △ QAB 的面积为 8

. (14 分)

18[解] (1)乙方的实际年利润为: w ? 2000 t ? st

t ? 0.

(5 分)

w ? 2000 t ? st ? ? s( t ?
2

1000 2 10002 ) ? , s s

? 1000? 当 t ? ? s ? 时, w 取得最大值. ? ? ? 1000? 所以乙方取得最大年利润的年产量 t ? ? s ? (吨).…………………8 分 ? ?
(2)设甲方净收入为 v 元,则 v ? st ? 0.002t .
2

2

? 1000? 10002 2 ? 10003 ? 将 t ? ? s ? 代入上式,得: v ? . ? ? s s4

2

(13 分)

又 10002 8 ?10003 10002 (8000? s 3 ) ? v ? ? ? ? v ? ? 0 ,得 s ? 20 . 令 s2 s5 s5 当 s ? 20 时, v ? ? 0 ;当 s ? 20 时, v ? ? 0 ,所以 s ? 20 时, v 取得最大值. 因此甲方向乙方要求赔付价格 s ? 20 (元/吨)时,获最大净收入. (16 分) 19. 解:⑴ 由 f ? x ? ? ?x ? ln x 得 f ? ? x ? ? ?1 ?

1 1 ,令 f ? ? x? ? 1 得 x ? (2 分) x 2

∴ 所求距离的最小值即为 P ? , f ? ? ? 到直线 x ? y ? 3 ? 0 的距离(4 分)

?1 ?2

? 1 ?? ? 2 ??

d?

1 ? 1 ? ? ? ? ? ln 2 ? ? 3 2 ? 2 ? 2

?

1 ? 4 ? ln 2 ? 2 2

(7 分)

⑵ 假设存在正数 a ,令 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 由 F?? x? ? a ? ∵ 当x?

? x ? 0? 则 F ? x ?max ? 0 (9 分)

1 1 ? 2a 2 x ? 0 得: x ? x a

1 时, F ? ? x ? ? 0 ,∴F ? x ? 为减函数; a

当0 ? x ?

1 时, F ? ? x ? ? 0 ,∴ F ? x ? 为增函数. a

∴F ? x ?max ? F ? ∴ln

1 ?1? ? ? ln a ?a?
∴a ? e

(14 分)

1 ?0 a

∴a 的取值范围为 ?e, ?? ?

(16 分)

2 2 20. 解:⑴ 由条件得: an ?1 ? an ?1 ? 2 an ? an

?

?

∴bn?1 ? 2bn

(3 分)

2 ∵b1 ? a1 ? a1 ? 2 ∴

bn?1 ? 2 ∴?bn ? 为等比数列∴bn ? 2n (6 分) bn


2 ⑵ 由 an ? an ? 2n

an ?

n?2 ?1 ? 1 ? 2 2

(8 分)

又 an ? 0 ⑶ ∵an ?1 ? an ?

∴ an ?

1 ? 2n ? 2 ? 1 2

(9 分)

1 1 ? 2n ?3 ? 1 ? 2n ? 2 2 1 ? ? 2n ?3 ? 2n ? 2 ? / 1 ? 2n ?3 ? 1 ? 2n ? 2 ? 0 2

?

?

?

?

n 2 2 2 n ?1 n (或由 an ?1 ? an ?1 ? an ? an ? 2 ? 2 即 ? an?1 ? an ?? an?1 ? an ? 1? ? 2 )

?

?

∴?an ? 为递增数列。 ∴an ? an ? ?1 ? an ? an ? ?1? an ? an?1 从而
2

(11 分)

1 1 ? n ?1 ? an ? an?1 2

(14 分)



1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? 2 ? ??? ? n 2 ?1 ? a1 ? a2 ?1 ? a2 ? a3 ?1 ? an ? an?1 2 2
n

1? ?1? ?1 ? ? ? 2? ?2? ? ? 1 1? 2

? ? n ? ? ? 1? ? 1 ? ? 1 ? ? ?2?

(16 分)

附加题答案
21.

1? ? S ? ? 11 ? 2 ? ? dx ? ? 2 x ? ln x ? x? 2 ?

1 1 2

? 1 ? ln 2

(8 分)

22. 解:⑴ ① 当 x ? 4 时, 2x ?1 ? ? x ? 4? ? 2 ∴ x ?? (2 分)

1 ? x ? 4 时, 2 x ? 1 ? x ? 4 ? 2 2 1 5 ∴? ? x ? 2 3 1 ③ 当 x ? ? 时, ?2 x ? 1 ? x ? 4 ? 2 2 1 ∴?7 ? x ? ? 2
② 当? 综上该不等式解集为 ? ?7, ?

(4 分)

(6 分)

? ?

5? 3?

(8 分)

23. (1) ?

?? 3 ? ? ?6, 2 ?; ? ?

(6 分)

(2)AB=

3 3 2

(12 分)

24. 解: ⑴ 设 P ? x, y ? 为轨迹上任一点,则

y ? x2 ? ? y ? 2? ? 0
2

(4 分) 为求。 (6 分)

化简得: y ? ⑵ 设 B ? x1 ,

1 2 x ?1 4

? ?

1 2 ? ? 1 2 ? x1 ? 1? , C ? x2 , x2 ? 1? , 4 ? ? 4 ?
∴x2 ? ? ? x1 ?

∵PB ? BC ? 0

? ?

16 ? ? x1 ? 2 ?

(8 分)

∴x2 ? 10 或 x2 ? ?6 为求

(12 分)


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