【课时通】高一数学人教版必修2课件4.2.1 直线与圆的位置关系3_图文

4.2 直线、圆的位置关系 4.2.1 直线与圆的位置关系 点到直线的距离公式,圆的标准方程和一般方程 分别是什么? d ? | A x0 ? B y0 ? C | A2 ? B 2 2 2 2 (x ? a) ? (y ? b) ? r x2 ? y2 ? D x ? Ey ? F ? 0(D 2 ? E 2 ? 4F ? 0) 一艘轮船在沿直线返回 港口的途中,接到气象台的 台风预报:台风中心位于轮 船正西70 km处,受影响的范 围是半径长为30km的圆形区域. 港口 台风 轮船 已知港口位于台风中心正北40 km处,如果这艘轮船 不改变航线,那么它是否会受到台风的影响? 下面我们以太阳的起 落为例.以蓝线为水平 线,圆圈为太阳! 注意观察!! 1.了解直线与圆的位置关系.(重点) 2. 会用几何法与代数法来判断直线与圆的位置关 系.(重点、难点) 3.掌握圆的切线方程的求法及有关弦长问题.(难点) 一、直线与圆的位置关系 1.直线和圆只有一个公共点,叫做 直线和圆相切. 2.直线和圆有两个公共点,叫做 直线和圆相交. 3.直线和圆没有公共点时,叫做 直线和圆相离. 提示: l 圆心O到直线l的距离d . o 半径r d>r 1.直线l和⊙O相离,此时d与r大小关系为_________ 圆心O到直线l的距离d . o l l 半径r d=r 2.直线l和⊙O相切,此时d与r大小关系为_________ 圆心O到直线l的距离d . o l 半径r 3.直线l和⊙O相交,此时d与r大小关系为_________ d<r 【即时训练】 圆心O到直线的距离等于⊙O的半径,则直线和⊙O 的位置关系是( C A.相离 B.相交 ) C.相切 D.相切或相交 二、直线与圆的位置关系的判定方法: 直线l:Ax+By+C=0,圆O:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) 1.利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断: d>r d=r 直线与圆相离 直线与圆相切 直线与圆相交 d? aA ? bB ? C A2 ? B 2 d<r 2.利用直线与圆的公共点的个数进行判断: ? Ax ? By ? C ? 0 设方程组 ? 消元所得一元二次方程 2 2 2 ?( x ? a ) ? ( y ? b) ? r 的解的个数为n △<0 △=0 △>0 n=0 n=1 n=2 直线与圆相离 直线与圆相切 直线与圆相交 【即时训练】 ⊙O的半径为3 ,圆心O到直线l的距离为d,若直线l 与⊙O没有公共点,则d为( A ) A .d >3 B.d<3 C.d ≤3 D.d =3 例1.如图,已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆 x2+y2-2y-4=0,判断直线l与圆的位置关系;如果 相交,求它们交点的坐标. y l B C . A x O 分析: 方法一: 判断直线l与圆的位置关系, 就是看由它们的方程组成的 方程组有无实数解、有几组实数解; 方法二: 可以依据圆心到直线 的距离与半径长的关系, 判断直线与圆的位置关系. 解法一:由直线l与圆的方程,得 ?3x ? y ? 6 ? 0, ? 2 2 x ? y ? 2 y ? 4 ? 0. ? ① ② 消去 y ,得 x2 ? 3x ? 2 ? 0 因为 ? ? (?3)2 ? 4 ? 2 ?1 ? 1 ? 0, 所以,直线l与圆相交,有两个公共点. 2 解法二:圆x2 + y2 - 2y - 4 = 0可化为x2 +(y -1) = 5, 其圆心C的坐标为(0,1),半径长为 5, 点C(0,1)到直线l的距离 d? 3? 0 ?1 ? 6 32 ? 12 ? 5 ? 5 10 所以,直线l与圆相交,有两个公共点. 2 x 由 ? 3x ? 2 ? 0, 解得 x1 ? 2, x2 ? 1. 把x1=2代入方程①,得y1=0;把x2=1代入方程①, 得y2=3. 所以,直线l与圆有两个交点,它们的坐标分别是 A(2,0),B(1,3). 【变式练习】 (2015·安徽高考 )直线 3x+4y=b 与圆 x +y -2x-2y+1=0 相切 ,则 b 的值是 ( D ) A.-2 或 1 C.-2 或-12 B.2 或-12 D.2 或 12 2 2 例2 已知过点M(-3,-3)的直线l被圆x2+y2+4y-21=0 所截得的弦长为 4 5 ,求直线l的方程. 解:将圆的方程写成标准形式,得x2+(y+2)2=25, 所以,圆心的坐标是(0,-2),半径长r=5. 如图,因为直线l被圆所截得 的弦长是 4 5 ,所以弦心距为 52 ? ( 4 5 2 ) ? 5 2 即圆心到所求直线l的距离为 5 . 因为直线l过点M(-3,-3),所以可设所求直 线l的方程为y+3=k(x+3),即kx-y+3k-3=0. 根据点到直线的距离公式,得到圆心到直线l 的距离 d ? 2 ? 3k ? 3 k2 ?1 因此, 2 ? 3k ? 3 ? 5. k2 ?1 . 2 3 k ? 1 ? 5 ? 5 k , 即 两边平方,并整理得到 2k2-3k-2=0, 1 解得k= ? ,或k=2. 2 所以,所求直线l有两条,它们的方程分别为 1 y+3= ? (x+3),或 y+3=2(x+3). 2 即x+2y+9=0,或2x-y+3=0. 【提升总结】 判断直线与圆的位置关系 判断直线与圆的方程组成的方程组是否有解 a、有解,直线与圆有公共点. 有一组,则相切; 有两组,则相交. b、无解,则直线与圆相离. 【变式练习】 直线x+ 3 y=0绕原点按顺时针方向旋转30°所得 直线与圆x2+y2-4x+1=0的位置关系是( A ) A.直线与圆相切 B.直线与圆相交但不过圆心 C.直线与

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