大学高等数学ppt课件第七章1线性方程组的求解_图文

第七章 线性方程组及其解法
向量组的线性相关性 线性方程组的解的结构 线性方程组的求解

●向量与线性方程组

引例 一个方程对应一组数
a1x1 ? a2x2 ? ? anxn ? b ? ?a1, a2, , an,b?
矩阵的一行对应一组数

线性方程组可对应一组数组;矩阵也可对应一组数组。

●向量的定义

由n个数 a1, a2 , , an 组成的有序数组 (a1, a2 , , an )

称为一个 n 维行向量,记作 ? ? (a1, a2 , , an ) ,其中

ai 称为向量 ? 的第i个分量(或坐标)。
如果将有序数组写成一列的形式,则称向量

?

? a1 ?

?

? ? ?

a2

? ? ?

为列向量。

??? an ???

实际上,行向量即为一个行矩阵,列向量即为一个列矩阵。

●几个概念
1、同维向量:分量个数相等的向量称为同维向量。
2、相等向量:如果向量 ?与 ? 是同维向量,而且对应 的分量相等,则称向量 ?与 ? 相等。
3、零向量:分量都是0的向量称为零向量,记作O。
4、负向量:称向量 ??a1, ?a2, , ?an ? 为向量 ? ? ?a1, a2, , an ?
的负向量,记作 ?? 。 5、向量组:如果n个向量 ?1,?2 , ,?n 是同维向量,则称为
向量组 ?1,?2 , ,?n

●向量的线性运算

1、向量的加减法
设 ? ? ?a1, a2, , an ? , ? =?b1,b2, ,bn ? ,则称向量
? ? a1 ? b1, a2 ? b2, , an ? bn 为向量 ? 与向量 ? 的和向
? 量,记作 ? ? ? ,称向量 a1 ? b1, a2 ? b2, , an ? bn ?
为向量? 与向量 ? 的差向量,记作? ? ? 。

2、数乘向量
设向量 ? ? (a1, a2 , , an ), ? ? R, 则称向量 (?a1, ?a2,
为数 ? 与向量 ? 的数称向量,记作 ??

, ?an )

向量的加、减、数乘运算称为向量的线性运算。

●向量线性运算的运算律
(1) ? ? ? ? ? ?? (2)(? ? ?)?? ? ? ?(? ??) (3)? ? o ??
(4) ? ? (??) ? o
(5) 1?? ? ? (6) ?(??) ? ?(??) ? (??)?
(7) ?(? ? ?)=?? ? ??
(8) (? ? ?)? ? ?? ? ??

交换律 结合律
分配律

●例1 设向量? ?(2,?1,0),? ?(?1,1,3),求3? ? 4?
解 3? ? 4? ? 3?2,?1,0? ? 4??1,1,3? ? ?6,? 3,0? ? ??4,4,12? ? ?10,? 7,?12?
练习:已知 ? ? ?3,5,7,9?, ? ? ??1,5,2,0?,? ?? ? ? ,求 ?
解 ? ? ? ?? ? ??4,0,?5,?9?

● 向量的线性关系

线性组合的概念:设有同维向量 ?1,?2 , ,?n ,? ,如果存在
一组数 k1, k2 , , kn ,使得 ? ? k1?1 ? k2?2 ? ? kn?n 成立,

则称向量? 可由向量组 ?1,?2 , ,?n 线性表示,或称向量

? 是向量组 ?1,?2 , ,?n 的线性组合。
例2 设 ?1 ?(1,2,1),?2 ?(2,3,6),? =(5,8,13),
判断向量 ? 能否由向量组 ?1,?2 线性表示?如果可以,求出
表达式。

解 设 ? ? k1?1 ? k2?2

小结:

则 所以

?k1 ? 2k2 ? 5 ??2k1 ? 3k2 ? 8 ??k1 ? 6k2 ? 13

?

?k1 ??k2

?1 ?2

? ? ?1 ? 2?2

?

可由向量组?1,?


2

,? n

线性表示

线性方程组

x1?1 ? x2?2 ? ? xn?n ? ? 有解

●线性相关、线性无关的概念

设有向量组?1,?


2

,? n

,如果存在一组不全为零的数

k1, k2 , , kn ,使得 k1?1 ? k2?2 ? ? kn?n ? o 成立,则称

向量组

?1,?


2

,? n

线性相关,否则,称向量组

?1,?


2

,? n

线性无关。即当且仅当 k1, k2 ,

, kn

全为零时,k1?1 ? k2?2 ? ? kn?n ? o 才成立,则称向量组

?1,?


2

,? n

线性无关。

●显然:含有零向量的向量组是线性相关的。

因为 1?O ? 0 ??1 ? 0 ??2 ? ? 0 ??n ? O

例3 证明下列向量组线性无关。

?1 ? ?1,0,0, ,0?,?2 ? ?0,1,0, ,0?, ,?n ? ?0,0,0, ,1?

证明 设 k1?1 ? k2?2 ? ? kn?n ? o

则 (k1,k2, ,kn)?(0,0, ,0)

所以 k1 ? k2 ? ? kn ? 0

所以向量组

?1,?


2

,? n

线性无关。

称向量组 ?1,?2, ,?n 为n维向量空间的单位坐标向量组。

任何一个n维向量 ? ? ?a1, a2, , an ? 都可由向量组
?1,?2, ,?n 线性表示, ? ? a1?1 ? a2?2 ? ? an?n

例4 讨论向量组 ?1 ? ?1,1,2,2,1?,?2 ? ?0,2,1,5,?1?, ?3 ? ?2,0,3,?1,3?,?4 ? ?1,1,0,4,?1? 的线性相关性
解 设 k1?1 ? k2?2 ? k3?3 ? k4?4 ? 0

?k1 ? 2k3 ? k4 ? 0



????2k1k?1 ?2kk22

? ?

k4 ? 0 3k3 ? 0

??2k1 ? 5k2 ? k3 ? 4k4 ? 0

??k1 ? k2 ? 3k3 ? k4 ? 0

利用矩阵的初等变换,可求得

可见,向量组 ?1,?2 , ,?n
线性相关
齐次线性方程组
x1?1 ? x2?2 ? ? xn?n ? 0
有非零解

k1 ? ?2, k2 ? k3 ? 1, k4 ? 0 注:有无穷多组解

练习 判断向量组的线性相关性

?1 ? ?2,1,?1,?1?,?2 ? ?0,3, ?2,0?,?3 ? ?2,4, ?3, ?1?

解 设 k1?1 ? k2?2 ? k3?3 ? 0

?2k1 ? 2k3 ? 0

则有

????k?1k?1 ?3k22k?2

4k3 ? 0 ? 3k3 ?

0

???k1 ? k3 ? 0

因为 k1 ? 1, k2 ? 1, k3 ? ?1 是方程组的一组非零解

所以 ?1,?2 ,?3 线性相关

例5 已知向量组 ?1,?2,?3 线性无关,证明:向量组 ?1 ? ?2,?2 ? ?3,?3 ? ?1 线性无关。
证明 设 k1 ??1 ??2 ? ? k2 ??2 ??3 ? ? k3 ??3 ??1 ? ? 0
则 (k1 ? k3)?1 ?(k1 ? k2)?2 ?(k2 ? k3)?3 ? 0
因为 ?1,?2,?3 线性无关 ?k1 ? k3 ? 0
所以有 ??k1 ? k2 ? 0 ??k2 ? k3 ? 0
解得 k1 ? k2 ? k3 ? 0
所以向量组 ?1 ? ?2,?2 ? ?3,?3 ? ?1 线性无关。

例6 设 ?1,?2 ,?3 线性无关,又 ?1 ? ?1 ??2 ? 2?3, ?2 ? ?2 ??3,
?3 ? 2?1 ??2 ? 3?3 ,试证明 ?1, ?2 , ?3 线性相关
证明 设 k1?1 ? k2?2 ? k3?3 ? 0 则有

(k1 ? 2k3)?1 ? (?k1 ? k2 ? k3)?2 ? (2k1 ? k2 ? 3k3)?3 ? 0

因为 ?1,?2 ,?3 线性无关

所以有

?k1 ? 2k3 ? 0 ???k1 ? k2 ? k3 ? 0 ??2k1 ? k2 ? 3k3 ? 0

由于

102 ?1 1 ?1 ? 0 2 ?1 3

所以 k1, k2 , k3不全为零

所以 ?1, ?2 , ?3 线性相关
事实上,可取 k1 ? 2, k2 ? 1, k3 ? ?1

定理 若向量组?1,?2, ,?m 线性无关,而向量组

?1,?2, ,?m,? 线性相关,则向量 ? 可由向量组

?1,?


2

,?

线性表示,而且表示方法惟一。
m

证明 因为向量组 ?1,?2, ,?m,? 线性相关

所以存在一组不全为零的数 k1, k2 ,?, km ,使得

k1?1 ? k2?2 ?? ? km?m ? k? ? 0

则 k ? 0 否则,若 k ? 0

则由 ?1,?2 ,?,?m 线性无关,

可推得 k1 ? k2 ? ? ? km ? 0
于是向量组 ?1,?2, ,?m,? 线性无关

这与已知矛盾,所以 k ? 0

于是

?

?

?

1 k

(k1?1

? k2?2

?

? km?m )

所以 ?

可由向量组

?1,?


2

,? m

线性表示。

假设另有表达式 ? ? l1?1 ? l2?2 ? ? lm?m

则可得

(l1

?

k1 k

)?1

?

(l2

?

k2 k

)?2

?

由于 ?1,?2 ,?,?m 线性无关,

?

(lm

?

km k

)?m

?

0

所以

li

?

?

ki k

(i ? 1,2,?, m)

所以 ?

可由向量组

?1,?


2

,? m

线性表示,且表示方法唯一

定理 向量组 ?1,? 2 ,?,? n 线性相关的充分必要条件
是该向量组中至少有一个向量可由其余的向量组线性

表示。

证明 因为向量组 ?1,?2 ,?,?n 线性相关

所以存在不全为零的数 k1, k2 , , kn 使得 k1?1 ? k2?2 ? ? kn?n ? 0

不妨设 k1 ? 0

于是有

?1

?? 1 k1

反过来,若有 ?1

(k2?
可由

2

?
?

k3?3
2 ,?3

?
,

? kn?n )
,?n 线性表示

?1 ? l2?2 ? l3?3 ? ? lm?m

则有 l2?2 ? l3?3 ? ? lm?m ??1 ? 0 所以 ?1,? 2 ,?,? n 线性相关

? ? 例7 设 ?1 ? ?1? ?,1,1?,?2 ? ?1,1? ?,1?,?3 ? ?1,1,1? ? ?, ? ? 1,?,?2
试问 ? 为何值时, ? 可由 ?1,?2 ,?3 线性表示,且表示

方法唯一?

解 设 ? ? x1?1 ? x2?2 ? x3?3

则有

??1?
?

??

x1

?

x2

?

x3

?1

?x1 ? ?1? ? ? x2 ? x3 ? ?

? ?

x1

?

x2

?

?1?

??

x3

?

?2

(*)

因为 ? 可由 ?1,?2 ,?3 线性表示,且表示方法唯一

所以,方程组(*)只有唯一的一组解

1?? 1 1
所以有 1 1? ? 1 ? 0 解得 ? ? 0且? ? ?3

1 1 1??

小结:
(1)向量组 ?1,?2 , ,?n 线性相关
齐次线性方程组
x1?1 ? x2?2 ? ? xn?n ? 0 有非零解 (2) 向量组 ?1,?2 , ,?n 线性无关
齐次线性方程组
x1?1 ? x2?2 ? ? xn?n ? 0 只有零解 (3) 向量 ? 可由向量组 ?1,?2 , ,?n 线性表示
线性方程组 x1?1 ? x2?2 ? ? xn?n ? ? 有解

●向量组的线性相关性的几个性质定理
1、单个非零向量是线性无关的。
2、两个向量线性相关的充分必要条件是对应分量成比例。
3、增加向量,不改变向量组的线性相关;减少向量,不改变 向量组的线性无关。即部分相关,则整体相关;整体无关, 则部分无关。
4、增加分量,不改变向量组的线性无关;减少分量,不改变向 量组的线性相关。即低维无关,则高维无关;高维相关,则 低维相关。
5、n+1 个 n 维的向量构成的向量组是线性相关的。

●向量组的极大无关组

如果向量组 ?1,?2 ,

,?n 的部分组 ?i1 ,?i2 ,

,

?

满足
ir

(1)?i1 ,?i2 , ,?ir 线性无关;(2)任意增加一个向量 ? j (如果存在的话),向量组 ?i1 ,?i2 , ,?ir ,? j线性相关。

则称向量组 ?i1 ,?i2 , ,?ir 为向量组 ?1,?2 , ,?n

的一个极大线性无关组,简称为极大无关组。

例如:向量组 ?1 ? ?1,1, 2,3?,?2 ? ?2, 2, 4,6?,?3 ? ?1,0, 4,0?
?1,?2 ,?3 线性相关,?1,?3 线性无关。

向量组

?1

,

?

是向量组
3

?1

,

?

2

,?

3

的一个极大无关组。

向量组 ?2 ,?3也是向量组 ?1,?2 ,?3 的一个极大无关组。

可见,一个向量组的极大无关组不是惟一的。

●向量组的秩
向量组 ?1,?2 , ,?n 的极大无关组中所含向量的个数, 称为向量组的秩。记作 R{?1,?2 , ,?n}
例如:向量组 ?1 ? ?1,1, 2,3?,?2 ? ?2, 2, 4,6?,?3 ? ?1,0, 4,0?
的秩为 2 。 如果向量组的秩等于向量组所含向量的个数,即
R{?1,?2 , ,?n} ? n ,则向量组 ?1,?2 , ,?n 线性无关。
如果向量组的秩小于向量组所含向量的个数,即
R{?1,?2 , ,?n} ? n ,则向量组 ?1,?2 , ,?n 线性相关。
矩阵A的秩 = 矩阵A的行向量组的秩 = 矩阵A的列向量组的秩
可利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组。

●向量组的等价关系
如果向量组A: ?1,?2 , ,?n 中的每一个向量可由向量 组B: ?1, ?2 , , ?m 线性表示,同时,向量组B中的每一
个向量可由向量组A线性表示,则称向量组A与向量组B等价。
一个向量组和它的任意一个极大无关组是等价的。 等价向量组的性质 (1)反身性:向量组A与自身等价; (2)对称性:如果向量组A与B等价,则向量组B 与A等价; (3)传递性:如果A与B等价,B与C等价,则A与C等价。
定理:等价向量组的秩相等。

例1 判别下列向量组的线性相关性

?1? ?1 ? ??1,0, 2,1?, ?2 ? ?3, 4,0, ?2?, ?3 ? ?1, 4, 4,0?

? ?1 0 2 1 ?





A

?

? ?

3

4

0

?2

? ?

?? 1 4 4 0 ??

? ?1 0 2 1 ? ? ?1 0 2 1? ? ?1 0 2 1 ?

? ?

3

4

0

?2

? ?

?

? ?

0

4

6

1??

?

? ?

0

4

6

1

? ?

?? 1 4 4 0 ?? ?? 0 4 6 1?? ?? 0 0 0 0 ??

因为 R??1,?2,?3? ? R? A? ? 2 ? 3
所以 ?1,?2 ,?3 线性相关。

例2 判别下列向量组的线性相关性

?2? ?1 ? ?1,1,3, ?4?T , ?2 ? ?2,0, ?1,1?T , ?3 ? ?3,1,3, ?2?T

? 1 1 3 ?4 ?

解:令

A

?

? ?

2

0

?1

1

? ?

?? 3 1 3 ?2 ??

? 1 1 3 ?4 ?

? 1 1 3 ?4 ?

A r2 r3

? 2r1 ? 3r1

? ?

0

?? 0

?2 ?2

?7 ?6

9

? ?

10 ??

r3 ? r2

? ?

0

?? 0

?2 0

?7 1

9

? ?

1 ??

因为 R ? A? ? 3, 所以 ?1, ?2 , ?3 线性无关。

例3 求向量组的秩及一个极大无关组,并用该极大无关组表示 余下的向量。
?1 ? ?1,1, 2,3?,?2 ? ?1, ?1,1,1?,?3 ? ?1,3,3,5?, ?4 ? ?4, ?2,5, 6?,?5 ? ??3, ?1, ?5, ?7?
解 构成矩阵,令

?1

? ?

1

A?? 1

? ?

4

?? ?3

1 ?1 3 ?2 ?1

2 1 3 5 ?5

3 1 5 6 ?7

?1 ?

?

2

? ?

? ?

3 4

? ? ?

?5 ??

r2 ? r1 r3 ? r1

?1

? ?

0

?0

r4 r5

? 4r1 ? 3r1

? ?

0

?? 0

1 ?2 2 ?6 2

2 ?1 1 ?3 1

3 ?2 2 ?6 2

?1 ?

?2

? ?1

? ?

?3 ??1 ?4 ? 4?1

? ? ?

?5 ? 3?1 ??

?1 1 2 3

r3 ? r2 r4 ? 3r2

? ?

0

?2 ?1 ?2

?1

?

?2 ??1

? ?

r5 ? r2

?0 0

? ?

0

0

0 0

0 0

?3 ?4

? ?

?2 3?

? 2?1 2 ? ?1

? ? ?

?? 0 0 0 0 ?5 ? ?2 ? 2?1 ??

于是, R??1,?2,?3,?4,?5? ? 2
?1,?2 是它的一个极大无关组。

且 ?3 ? 2?1 ??2 ,?4 ? ?1 ? 3?2 ,?5 ? ?2?1 ??2

例4 求下列向量组的一个极大无关组

?1 ? ?1 2 0 1?, ?2 ? ?0 1 0 1?

?3 ? ?1 3 0 2?, ?4 ? ?1 2 1 1?

解法1:作矩阵

?1 2 0 1 ?1 ?

?1 2 0 1

?1 ?

A

?

? ?

0

1

0

1

?2

? ?

r3

?

r1

?

r2

? ?

0

1

0

1

?2

? ?

?1 ??? 1

3 2

0 1

2 1

? ?

3 4

? ???

r4 ? r1

?0 ??? 0

0 0

0 1

0 0

?3 ??1 ?? ?4 ??1

2

? ???

?1

r3 ? r4

? ?

0

?0

??? 0

2 1 0 0

0 0 1 0

1 1 0 0

?1 ?

?2

? ? 记作

?4 ??1 ?3 ??1 ??

2

? ???

? ?1 ?

B

?

? ?

?2

? ?

? ???

?3 ?4

? ???

例4 求下列向量组的一个极大无关组

?1 ? ?1 2 0 1?, ?2 ? ?0 1 0 1?

?3 ? ?1 3 0 2?, ?4 ? ?1 2 1 1?

解法1:. . . . . .

? ?1 ?

A

?

? ?

?

2

? ?

? ???

?3 ?4

? ???

?1

r3

? r4

? ?

0

?0

??? 0

2 1 0 0

0 0 1 0

1 1 0 0

?1 ?2

?

? ?1 ?

? ?

记作

B

?

? ?

?

2

? ?

?4 ??1 ?3 ??1 ??

2

? ???

? ???

?3 ?4

? ???

因为 ?1, ?2 , ?3 是由 ?1,?2 ,?4 经初等行变换而得,

所以 ?1, ?2 , ?3与 ?1,?2 ,?4 等价,故有相同的秩。

显然 ?1, ?2 , ?3 线性无关, 所以 ?1,?2 ,?4 线性无关,
又 R? A? ? R?B? ? 3, 所以 ?1,?2 ,?4 是一极大无关组。

●求向量组的极大无关组的另解

重要结论——

若矩阵 A 经过有限次初等行变换变成矩阵 B ,则 A 的

行向量组与 B 的行向量组等价,而 A 的任意 K 个列向量与

B 中对应的 K 个列向量有相同的相关性;

若矩阵 A 经过有限次初等列变换变成矩阵 B ,则 A 的

列向量组与 B 的列向量组等价,而 A 的任意 K 个行向量与

B 中对应的 K 个行向量有相同的相关性。

相关

相关

无关

?1

? ?

0

1 1

1?

0

? ?

r2

?

r3

?1 ??1

1 1

1? 1??

相关

?? 1 0 1 ??

??1 0 1??

无关

无关

例4 求下列向量组的一个极大无关组
?1 ? ?1 2 0 1?, ?2 ? ?0 1 0 1?
?3 ? ?1 3 0 2?, ?4 ? ?1 2 1 1?
解法2:作矩阵

?1 0 1 1?

?1 0 1 1?

?1 0 1 1?

A

?

? ?

2

1

3

2

? ?

r2

?

2r1

? ?

0

1

1

0

? ?

r4

? r2

? ?

0

1

1

0

? ?

? 0 0 0 1 ? r4 ? r1 ? 0 0 0 1 ?

?0 0 0 1?

??? 1 1 2 1 ???

??? 0 1 1 0 ???

??? 0 0 0 0 ???

因为 R? A? ? R?B? ? 3

而 B 中第一、二、四列的向量是线性无关的,

由于初等行变换不改变列向量组对应的相关性

(记作 B)

故 A 中第一、二、四列的向量是线性无关的,
所以 ?1,?2 ,?4 是一极大无关组。


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