【赢在高考】2014届高考数学第一轮复习配套课件:6.1 数列的概念及简单的表示法 _图文

第六章 数列

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第 1 讲 数列的概念 及简单的表示法

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考 纲 展 示

考 纲 解 读
1.数列的概念部分在高考中一般不单独命题, 但用归纳法写出一个数列的通项公式, 能培养 学生观察、 分析和解决问题的能力, 因此考题经 常出现, 应予以重视. 2.关于数列的 Sn 与 an 的关系, 即已知 Sn 与 an 的 函数关系求数列的通项, 在高考中属于重点问 题, 多出现在解答题的第一问, 应予以重视. 3.高考对递推数列的要求是能根据递推关系写 出数列的前几项, 但近几年的高考题中对于递 推数列的考查力度较大, 多与数列求和结合形 成综合性的大题, 解题方法上强调构造新数列 的方法.

1.了解数列的概念 和几种简单的表 示 方法 (列表 、图 象、通项公式) . 2.了解数列是自变 量为正整数的一 类特殊函数.

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1.数列的定义 按照一定顺序排列着的一列数称为数列, 数列中的每一个数叫 做这个数列的项.

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2.数列的分类 分类原 类型 则 有穷 项数有限 按项数 数列 分类 无穷 项数无限 数列 按项与 递增数列 项间 递减数列 的大小 关系 常数列 分类 有界 存在正数 M, 使|an|≤M 按其他 数列 标准分 从第 2 项起, 有些项大于它的前一 摆动 类 项, 有些项小于它的前一项的数列, 数列 如 1, 1, … -1, -1,

满足条件

an+1>an an+1<an an+1=an

其 中 n∈ N*

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3.数列的表示法 数列有三种表示法, 它们分别是列表法、图象法和解析法. 4.数列的通项公式 如果数列{an}的第 n 项 an 与序号 n 之间的关系可以用一个公式 an=f( 来表示, n) 那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 5.数列通项的表示及最大项、最小项的含义 1 , = 1, 已知数列{an}的前 n 项和 Sn, 则其通项 an= 在数列 --1 , ≥ 2. {an}中, an 最大, 若 则 若 an 最小, 则 ≥ +1 ; ≤ +1 . ≥ -1 , ≤ -1 ,

6.数列的递推公式 如果已知数列{an}的首项( 或前几项)且任一项 an 与它的前一项 , an-1( n≥2) 或前几项) ( 间的关系可用一个公式来表示, 那么这个公式叫 做数列{an}的递推公式.
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1.下面有四个命题: ①如果已知一个数列的递推公式及其首项, 那么可以写出这个数列 的任何一项;
2345 ②数列3, , , , …的通项公式是 an=+1; 456

③数列的图象是一群孤立的点; ④数列 1, 1, …与数列-1, -1, …是同一数列. -1, -1, 1, 1, 其中正确命题的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】 D 【解析】 命题①错误, an+2=an+an+1, 1=1, 如 a 通过它就无法写出 a2; 命题②错误, n=+2; a 命题③正确; 命题④错误, 两数列的排列顺序不同.
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+1

5 7 9 2.数列{an}: - , , , 1, - …的一个通项公式是( 8 15 24 2-1 2+1 A.an=( n+1 2 -1) B.an=( n-1 2 -1) +n +2n 2-1 2+1 C.an=( n+12 +2n D.an=( n-12 +3n -1) -1)

)

【答案】 B 【解析】 可用验证法: n=1, 取 可知只有 B 项适合. ( )
1 B.108

3.(2012·浙江台州测试) 已知数列{an}中, 1=1, n+1= a a A.108 【答案】 D 【解析】
1 a1=1, 2= a 21 +3

, a5 等于 则 2 +3

C.161

1 D.161

=

1 2 , = a 5 3 22 +3

=

1 3 , = a 17 4 23 +3

=

1 4 , = a 53 5 24 +3

=

1 . 161
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4.若 Sn 为数列{an}的前 n 项和, 且
5 A. 6 1 C.30 6 B. 5

1 Sn= , 则 等于 +1 5

(

)

D.30
5 6 4 5 1 1 , =30. ∴ 30 5

【答案】 D 【解析】 ∵ 5=S5-S4= ? = a

2 × 3-1 ,n 为偶数, 5.已知数列{an}的通项公式是 an= 则 2-5,为奇数, a4·3= a . 【答案】 54 【解析】 a4·a3=2×33×( 2×3-5) =54.
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T 题型一根据数列中的项求通项公式
例 1 根据数列的前几项, 写出下面各数列的一个通项公
式: ( -1, -13, …; 1) 7, 19, ( 0.8, 2) 0.88, 0.888, …; ( 2, , 8, , 32, , 3) 4 - 16 - 64 …; ( , , , 4) 1, …; ( 0, 0, …. 5) 1, 1, 先观察各项的特点, 然后归纳出通项公式.
3 2 7 9 10 17 1 1 5 13 29 61

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【解】 ( 符号用( n 或( n+1 表示, 1) -1) -1) 题中数列各项的绝对值的 排列规律为: 后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大 6.故该数列 的通项公式为 an=( n( -1) 6n-5) . ( 将数列变形为 ( 2) 1-0.1) ( , 1-0.01) ( , 1-0.001) …, , 从而可知其通 项公式为 an=9 18 1 10 8 9 8 9 8 9

.

( ∵ 3) 各项的分母分别为 21, 2, 3, 4, 易看出第 2, 4 项的分子分 2 2 2 …, 3, 别比分母少 3, 因此把第 1 项变为- 2 , 至此原数列已化为 21 -3 22 -3 23 -3 24 -3 21 2-3

,

22

, -

23

,

24

, …,
n

∴ 其通项公式为

2 -3 an=( · . -1) 2

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倍加 1, 于是可得分子的通项公式为 bn=2n+1; 对于分母 2, 10, …, 5, 17, 联想到数列 1, 9, …, 4, 16, 即数列{n2}, 可得分母的通项公式为 cn=n2+1. 故该数列的一个通项公式为 an=2 +1.
0,为奇数, 1+(-1) 1+cosπ ( an= 5) 或 an= 2 或 an= 2 . 1,为偶数

35 7 9 ( 将原数列统一为2, , , , 对于分子 4) …, 5 10 17

3, 7, …是序号的 2 5, 9,

2+1

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(1) 根据所给数列的前几项求其通项公式时, 需仔细观察分析, 抓 住以下几方面的特征: ①分式中分子、分母的特征; ②相邻项的变化特征; ③拆项后的特征; ④各项符号特征等, 并对此进行归纳、联想. (2)根据数列的前几项写出该数列的一个通项公式是不完全归 纳法, 它蕴含着“从特殊到一般”的思想, 由不完全归纳得出的结果是 n 不可靠的, 要注意代值检验, 对于正负符号变化, 可用(-1) 或(-1)n+1 来 调整.

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1.写出下面各数列的一个通项公式: ( -1, , , , , , 1) - - …; ( 3, 333, 333, 2) 33, 3 …. 【解】 ( 因为奇数项为负, 1) 偶数项为正, 故通项公式中应含因子 ( n; -1) 又各项绝对值的分母组成数列 1, 3, …, 2, 4, 而各项绝对值的分子 组成的数列中, 奇数项为 1, 偶数项为 3, 即奇数项为 2-1, 偶数项为 2+1,
2+(-1) 所以 an=( · . -1) 1 - ,n 为正奇数, 也可写为 an= 3 ,n 为正偶数.
n

3 13 13 2 34 56

( 因为可将原数列各项改写为 , , 2) 而分子分别是 10-1, 2-1, 3-1, 4-1, 10 10 10 …, 所以 an=3( n-1) 10 .
1

9 99 999 9 999 , , 其分母都是 …, 3 3 3 3

3,

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T 题型二由 Sn 和 an 的关系求通项
例 2 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn. ( 若 Sn=( n+1· 求 a5+a6 及 an; 1) -1) n, ( 若 Sn=3n+2n+1, an. 2) 求 根据数列前 n 项和的概念, 可知 Sn 与 Sn-1 之差必为 an, 1 ,n = 1, * 但由于 n∈N , 为了保证 Sn-1 的存在性, an= 故 在实际应 --1 ,n ≥ 2, 用中要具体分析对待, an 的分段函数法实际上也符合了函数问题 求 中“定义域优先的原则”, 因此这种分类是运算合理性的“需要”.

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【解】 ( 因为 a5+a6=S6-S4=( -( =-2, 1) -6) -4) 当 n=1 时, 1=S1=1; a 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=( n+1·n-( n·( -1) -1) n-1) =( n+1·[ n-1)] -1) ·( -1) n+( =( n+1 2n-1) , 又 a1 也适合于此式, 所以 an=( n+1·( -1) 2n-1) . ( 因为当 n=1 时, 1=S1=6; 2) a 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=( n+2n+1) 3n-1+2( +1] 3 -[ n-1) =2×3n-1+2, 由于 a1 不适合此式, 6, = 1, 所以 an= 2 × 3-1 + 2,n ≥ 2.
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数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系是: 1 ,n = 1, an= 此公式经常使用, 应引起重视.当 n=1 时, 1 若 S --1 ,n ≥ 2. 适合 an=Sn-Sn-1, n=1 的情况可并入 n≥2 时的通项 an 中; n=1 时, 1 则 当 S 若不适合 an=Sn-Sn-1, 则用分段函数的形式表示.

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2.数列{an}的前 n 项和为 Sn, 1=1, n+1=3Sn( a a n=1, 3, , an. 2, …)求 【解】 ∵ n+1= Sn, an= Sn-1(n≥2) a ∴ . 于是 an+1-an=3( n-Sn-1) 3an( S = n≥2) , 即 an+1= an( n≥2) . 又 a1=1, 2=3S1=3a1=3, a ∴ 数列{an}是从第二项起, 公比为3的等比数列, 即 an=
1 4 -2 3 3 4 1 1 1 4 3 1 1 1 3 1 3

1

1, = 1, , n≥2.故 an= 1 4
3 3
-2

,n ≥ 2.
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T 题型三数列的函数性质
例 3 已知数列{an}的通项公式为
2 an= 2 . +1

( 0.98 是不是它的项? 1) ( 判断此数列的增减性. 2) ( 令 an=0.98, 1) 看能否求出正整数 n; ( 判断 an+1-an 的正负. 2) 【解】 ( 假设 0.98 是它的项, 1) 则存在正整数 n,
2 满足2 +1=0.98, n2=0.98n2+0.98. 即

∵ n=7 时等式成立, 0.98 是数列{an}中的项. ∴
2 2+1 ( ∵ n+1-an= 2) a ? 2 = >0, 2 +1 [(+1)2 +1](2 +1) (+1) +1 (+1)
2

∴ 数列{an}为递增数列.
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(1)看某数 k 是否为数列中的项, 就是看关于 n 的方程 an=k 是否 有正整数解. (2)判断数列的单调性就是比较 an 与 an-1 的大小.若 an>an-1, 则数 列增; an<an-1, 若 则数列减.此处与函数的单调性判断是一样的.

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3.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=-n2+24n( n∈N*) . ( 求{an}的通项公式; 1) ( 当 n 为何值时, n 达到最大?最大值是多少? 2) S 【解】 ( n=1 时, 1=S1=23.n≥2 1) a 时, n=Sn-Sn-1=-n2+24n+( 2-24( =-2n+25. a n-1) n-1) 经验证, 1=23 符合 an=-2n+25, a 故 an=-2n+25( n∈N*) . ( 方法一: Sn=-n2+24n, 2) ∵ ∴ n=12 时, n 最大且 Sn=144. S 方法二: an=-2n+25, ∵ 若要 Sn 达到最大, 则需 an=-2n+25>0, n< 2 , a12>0, 13<0. 即 ∴ a 故 S12 最大, 最大值为 144.
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25

T 题型四简单的递推关系(复杂的递推数列将在数 列综合部分讲解)
例 4(2012·福建福州高三质检)已知数列{an}
2 ,0 ≤ ≤ 2 , 4 中, 1= , n+1= a a 则 a2 012 等于( 1 5 2 -1, 2 < ≤ 1, A.5 周期性. 【答案】 C
4 1

)

B.5

3

C.5 D.5

2

1

利用递推关系逐项求取, 因为数据较大, 可考虑数列的

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【解析】 因为当 a1= 时, 2=2× -1= ; a 当 当 当

4 5 3 3 1 a2=5时, 3=2×5-1=5; a 1 1 2 a3=5时, 4=2×5 = 5; a 2 2 4 a4=5时, 5=2×5 = 5; a

4 5

3 5

… 所以数列{an}的周期为 4.
2 012

因为 4 =503, 所以 a2 012=a4=5.

2

简单的递推关系主要是利用通项公式的结构特点采用递 推的方式依次求数列中的项, 采用的主要方法就是依次求取.
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4.(2012·山东潍坊模拟) 在数列{an}中, an+1=2 , 1=1, a6 若 a 则 +1 等于( ) A.13 【答案】 D 【解析】 方法一: an+1=2 , 1=1, ∵ a +1 ∴ 2=3, 3=5, 4=7, 5=9, 6=11. a a a a a 故选 D.
1 1 1 1 1



B.13

1

C.11 D.11

1

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方法二: an+1=2 , ∵ +1 ∴
1 +1



=
1

1 1 +2, 即 +1

?

1 =2.

故 为等差数列. ∵ =1,
1

1

∴ =2n-1.于是 an=


1

1 . 2-1 1

故当 n=6 时, 6=11, a 应选 D.

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1.已知数列{an}中, 1=2, n+1=an+n, a7 为( a a 则 ) A.8 B.12 C.23 D.29 【答案】 C 2.在数列 1, 2, 3, 4, 4, …中, 25 项为( 2, 3, 3, 4, 4, 第 ) A.2 B.6 C.7 D.8 【答案】 C 【解析】 设数字有 n 个, 当数字 n=6 时, 共有 1+2+3+4+5+6=21 项, 因此第 25 项是 7.

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3.已知数列{an}中, n+1-an-3=0, a 则该数列是( ) A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.不确定 【答案】 A 【解析】 ∵ n+1-an-3=0, an+1-an=3>0, an+1>an. a ∴ 即 故数列{an}为递增数列. 4.已知数列{an}的通项公式为 an=+, 其中 a, c 均为正数, b, 那么 an 与 an+1 的大小关系是( A.an>an+1 C.an=an+1 【答案】 B ) B.an<an+1 D.与 n 的取值有关
由于 , +

【解析】 分子、分母同时除以 n, an= 得 列{an}递增, an<an+1. 即

y=是减函数, 故数

1

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5.(2013 届·山东泰安月考) 数列 1, 2, 5, 13, 34, …中 x 的值 1, 3, 8, x, 55, 为 . 【答案】 21 【解析】 观察数列中项的规律, 易看出数列从第三项开始每一项都 是其前两项的和.故 x 值应为 8+13=21.

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