18学年高中数学第3章概率2第3课时互斥事件教学案北师大版必修3

内部文件,版权追溯 第 3 课时 互 斥 事 件 [核心必知] 1.互斥事件 (1)定义:在一个随机试验中,我们把一次试验下不能同时发生的两个事件 A 与 B 称作互斥 事件. (2)规定:事件 A+B 发生是指事件 A 和事件 B 至少有一个发生. (3)公式: ①在一个随机试验中,如果随机事件 A 和事件 B 是互斥事件,那么有 P(A+B)=P(A)+P(B). ②一般地,如果随机事件 A1,A2,…,An 中任意两个是互斥事件,那么有 P(A1+A2+…+An) =P(A1)+P(A2)+…+P(An). 2.对立事件 (1)定义:在一次试验中,如果两个事件 A 与 B 不能同时发生,并且一定有一个发生,那么 - 事件 A 与 B 称作对立事件,事件 A 的对立事件记为 A . - - (2)性质:P(A)+P( A )=1,即 P(A)=1-P( A ). [问题思考] 1.P(A+B)=P(A)+P(B)成立的条件是什么? 提示:事件 A 与 B 是互斥事件. 2.互斥事件与对立事件有什么区别和联系? 提示:对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件. 讲一讲 1.判断下列给出的条件, 是否为互斥事件, 是否为对立事件, 并说明理由: 从 40 张扑克牌(红 桃、黑桃、方块、梅花点数从 1~10 各 10 张)中,任取一张. -1- (1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”; (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”; (3)“抽出的牌的点数为 5 的倍数”与“抽出的牌的点数大于 9”. [尝试解答] (1)是互斥事件,不是对立事件. 从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张,“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的,所以 是互斥事件.同时,不能保证其中必有一个发生, 这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”, 因此,二者不是对立事件. (2)既是互斥事件,又是对立事件. 从 40 张扑克牌中,任意抽取 1 张,“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”,两个事件不可能同 时发生,且其中必有一个发生,所以它们既是互斥事件,又是对立事件. (3)不是互斥事件,当然不可能是对立事件. 从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张, “抽出的牌的点数为 5 的倍数”与“抽出的牌的点数大于 9” 这两个事件可能同时发生, 如抽得点数为 10, 因此, 二者不是互斥事件, 当然不可能是对立事件. 1.判断两个事件是否为互斥事件,主要看它们能否同时发生,若不同时发生,则这两个事 件是互斥事件,若能同时发生,则这两个事件不是互斥事件.判断两个事件是否为对立事件,主 要看是否同时满足两个条件:一是不能同时发生;二是必有一个发生.这两个条件同时成立,那 么这两个事件是对立事件,只要有一个条件不成立,那么这两个事件就不是对立事件. 2.“互斥事件”与“对立事件”都是对两个事件而言的.对立事件必是互斥事件,但互斥 事件不一定是对立事件. 练一练 1. 从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球, 那么互斥而不对立的两个事件是( A.“至少有 1 个白球”和“都是红球” B.“至少有 1 个白球”和“至多有 1 个红球” C.“恰有 1 个白球”和“恰有 2 个白球” D.“至多有 1 个白球”和“都是红球” 解析:选 C 该试验有三种结果:“恰有 1 个白球”、“恰有 2 个白球”、“没有白球”, 故“恰有 1 个白球”和“恰有 2 个白球”是互斥事件而不是对立事件. 答案: ) 讲一讲 2.玻璃盒子中装有各色球 12 只,其中 5 红、4 黑、2 白、1 绿,从中任取 1 球.设事件 A 为 “取出 1 只红球”,事件 B 为“取出 1 只黑球”,事件 C 为“取出 1 只白球”,事件 D 为“取出 -2- 5 1 1 1 1 只绿球”.已知 P(A)= ,P(B)= ,P(C)= ,P(D)= . 12 3 6 12 求:(1)“取出 1 球为红或黑”的概率; (2)“取出 1 球为红或黑或白”的概率. [尝试解答] 由于事件 A,B,C,D 彼此为互斥事件,所以 法一:(1)“取出 1 球为红或黑”的概率为 P(A+B)=P(A)+P(B)= + = . (2)“取出 1 球为红或黑或白”的概率为 5 1 12 3 3 4 P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)= + + = . 法二:(1)“取出 1 球为红或黑”的对立事件为“取出 1 球为白或绿”,即 A+B 的对立事件 为 C+D,所以 5 1 1 11 12 3 6 12 P(A+B)=1-P(C+D)=1-P(C)-P(D)=1- - = . 1 11 (2)A+B+C 的对立事件为 D,所以 P(A+B+C)=1-P(D)=1- = . 12 12 1 6 1 3 12 4 1.可将一个事件的概率问题分拆为若干个互斥事件,分别求出各事件的概率,然后用加法 公式求出结果. 2.运用互斥事件的概率加法公式解题时,首先要分清事件间是否互斥,同时要学会把一个 事件分拆为几个互斥事件,做到不重不漏. 练一练 2.向三个相邻的军火库投掷一颗炸弹,炸中第一个军火库的概率是 0.025,炸中其他两个的 概率都是 0.1.已知只要炸中一个,另外两个都会爆炸.求这三个军火库都爆炸的概率和都没有爆 炸的概率. 解:设以 A,B,C 分别表示炸中第一、第二、第三个军火库的事件,则 P(A)=0.025,P(B) =P(C)=0.1.由题意,知 A,B,C 两两互斥,且“三个军火库都爆炸”意味着炸弹炸中其中任何 一个. 设 D 表示事件“三个军火库都爆炸”, 则 D=A+B+C,其中 A,B,C 两两互斥. 所以,P(D)=P(A+B+C) =P(A)+P(B)+P(C) =0.025+0.1+0.1=0.225. 所以,三个军火库都没有爆炸的概率为 1-P(D)=0.775. -3- 讲一讲 3.据统计,某储蓄所一个窗口等候的人数及相

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