贵州遵义县第一中学-度高三数学文科第二次联考试卷

遵义县第一中学 2007-2008 高三第二次联考试题数学(文史类)
(总分:150 分 考试时间:120 分钟)

命题 汪喜生

审题 段朝刚

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. cos(?210。 )? A. ( ) B. ?

3 2

3 2

C.

1 2

D. ?

1 2


2.已知数列 ?an ? 满足 an ?1 ?

an ? 3 3 ? an ? 1

(n ? N ? ), 且a1 ? ? 3, 则a8 ? (
C. 3 ( )

A.1
2

B.0
2

D. ? 3

3.不等式 ( x ? 2 x ? 3)(x ? 4 x ? 4) ? 0 的解集为 A. x x ? ?1,或x ? 3

?

?

B. x ? 1 ? x ? 3

?

? ?
( ) D.51 ) D. ( )

C. x ? 1 ? x ? 2, 或2 ? x ? 3 4.已知等差数列 ?an ? 中, a1 = A.48

?

?

D. x ? 2 ? x ? 3

?

1 , a2 ? a5 ? 4, an ? 33, 则n ? 3
C.50

B.49

5. 设 a , b 都是单位向量,且 a 与 b 的夹角为 60°,且| a + b |=( A. 2 B. 3 C.

2

3

6.下列函数既是奇函数,又在区间 ??1,1? 上单调递减的是 A. f ( x) ? sin x C. f ( x ) ? B. f ( x) ? ? x ? 1 D. f ( x) ? ln

1 x ? a ? a? x ? 2
2

2? x 2? x
( )

7.函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 3在区间 [1,2] 上存在反函数的必要不充分条件是 A. a ? (??,1] C. a ? R B. a ? [?2, ??) D. a ? (??,1] ? [2, ??)

8.已知函数 y = f ( x )是 R 上的减函数,A(0,–2 ) ,B(–3,2)是其图象上的两点, 那么不等式|f ( x –2 )|>2 的解集是( ) A. (–1,2) B. (-∞,1)∪(4,+∞)

C. (-∞,–1)∪(2,+∞)
2

D. (-∞,–3)∪(0,+∞) ( ) D.

9.已知 f ( x ) = 2sin x ? sin 2 x ( x ? R ) ,最小正周期为 T,函数最小值为 f ( x)min , 则 T+ f ( x)min = A.

? ? 2 ?1

B.

? ? 2 ?1
1 2
f ( x)

C.

? ? 2 ?1
?1

? ? 2 ?1

10.已知函数 f ( x) 满足 ( ) 的图象是

? x ? 1, f
y

( x) 是 f ( x) 的反函数,则函数 y ? f ?1 ( x ? 1)
y y

y

1

o
?1

1

x

?1 ?1

o

x
1 3

o
?1

1

x

o
D.

1

2

x

A.

B.

C.

x 11. 函 数 f ( x ) 的 图 象 与 函 数 g ( x) ? ( ) 的 图 象 关 于 直 线 y ? x 对 称 , 设

? ( x) ? f (4x ? x2 ) ,则函数 ? ( x) 的递减区间是( )
A. (??, 2] B. [2, 4) C. (0, 4) D. (0, 2] 12、已知 A 箱内有红球 1 个和白球(n+1)个,B 箱内有白球(n-1)个(n∈N,且 n≥2),现随 意从 A 箱中取出 3 个球放入 B 箱,将 B 箱中的球充分搅匀后,再从中随意取出 3 个球放入 A 箱,则红球由 A 箱移到 B 箱,再返回到 A 箱的概率等于 A.

2 n ?1

B.

3 n?2

C.

9 (n ? 2)2

D.

1 (n ? 1)2

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. 13.已知数列 an 是公差不为零的等差数列,则 lim
n ??

nan = Sn



14. 设 ( 2 ? x)10 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ?

? a10 x10 , 则 (a0 ? a2 ? a4 ?

? a10 )2 - (a1 ? a3

?a5 ?

? a9 )2 的值为



? 1 x ?( ) ( x ? 4) 15.已知函数 f ( x) ? ? 2 ,则 f (log2 4) 的值是 . ? ? f ( x ? 1) ( x ? 4) 16.已知 f ?x ? 是定义在 R 上的不恒为零的函数,且对于任意的 a, b ? R ,满足
f (2n ) f (2n ) (n ? N ? ), bn ? (n ? N ? ) n 2n 下列结论:① f (0) ? f (1) ; ② f ( x) 为偶函数; ③ f ( x) 是奇函数; f (ab) ? af (b) ? bf (a ), f (2) ? 2, an ?
. (把你认为正确结论的序号全选上) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 2 17.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 c =bccosA+cacosB+abcosC.

④数列 ?an ? 为等比数列;⑤数列 ?bn ? 为等差数列.其中正确结论的序号是

(Ⅰ)试判断△ABC 的形状; (Ⅱ)若 AB BC ? ?3 , AB AC ? 9 ,求角 B 的大小. (本题满分 10 分)

18.设函数 f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? 3bx 的图像与直线 12 x ? y ? 1 ? 0 相切于点 (1, ?11) 。 (Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)讨论函数 f ( x ) 的单调性。 (本题满分 12 分)

19. 一次考试共有 12 道选择题,每道选择题都有 4 个选项,其中有且只有一个是正确的。 评分标准规定: “每题只选一个选项,答对得 5 分,不答或答错得零分” 。某考生已确定有 8 道题的答案是正确的,其余题中:有两道题都可判断两个选项是错误的,有一道题可判断一 个选项是错误的,还有一道题因不理解题意只好乱猜。请求该考生: (1)得 60 分的概率; (2)得多少分的可能性最大。 (本题满分 12 分)

20. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N * ). (I)证明:数列 ?an?1 ? an ? 是等比数列; (II)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 。 (本题满分 12 分)

) ,有 ?? ), 且 满 足 f ( 4 )? 1, 对 任 意 x1 , x2 ? (0, ? ? 21 . 设 f ( x ) 的 定 义 域 为 ( 0 ,
f( x f( 2 x,当 ) 1? x 2 ) ? f( x 1 )?

x ? (0,1) 时, f ( x ) ? 0 。

(1)求 f (1) 的值; (2)证明 f ( x ) 在 (0, ??) 上是增函数; (3)解不等式

f (3x ? 1) ? f (2 x ? 6) ? 3 (本题满分 12 分)

22 . 在 数 列 {an } 中,a1 ? 1, 其前n项和S n 满 足 关 系 3tS 式 n ? (2t ? 3) S n?1 ? 3t

(t ? 0, n ? 2,3,?) (1)求证:数列 {an } 是等比数列;
(2)设数列 {an } 的公比为 f (t ),作数列 {bn } , 使b1 ? 1, bn ? f ( (3)求 1 2

1 ), n ? (2,3,?), 求bn bn?1

bb ? b2b3 ? b3b4 ?b4b5 ? ?b2 n?1b2 n ?b2 nb2 n ?1 的值。 (本题满分 12 分)

[参考答案]

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1 B 2 C 3 B 4 C 5 D 6 D 7 C 8 C 9 C 10 A 11 D 12 C 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. 13. 2 14. 1 15.

1 16

16

①③④⑤

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解: (Ⅰ)由余弦定理得:

c 2 ? bc ?
故: c
2

b2 ? c2 ? a 2 c2 ? a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? c2 ? ca ? ? ab ? 2bc 2ca 2ab

? a 2 ? b2

所以⊿ ABC 是以角 C 为直角的直角三角形。 另解:由正弦定理得 sin C ? sin B sin C cos A ? sin C sin A cos B ? sin A sin B cos C
2

2sin 2 C ? sin Asin( B ? C) ? sin B sin(C ? A) ? sin C sin( A ? B)
? sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C
即 sin (Ⅱ)
2

C ? sin 2 A ? sin 2 B

从而有

c2 ? a 2 ? b2

AB ? CB ? CA 又AB ? BC ? ?3?(CB ? CA) ? BC ? ?3
2

故 BC ? 3? BC ? 3 在 Rt ⊿ ABC 中, tan B ?

同理

AC ? 3
?
3

AC BC

? 3 ?B ?

18. (Ⅰ)求导得 f ' ( x) ? 3x2 ? 6ax ? 3b 。

由于 f ( x) 的图像与直线 12 x ? y ? 1 ? 0 相切于点 (1, ?11) ,所以 f (1) ? ?11, f ' (1) ? ?12 ,
即: 1-3a+3b = -11 解得: a ? 1, b ? ?3 .

3-6a+3b=-12 ' 2 2 (Ⅱ)由 a ? 1, b ? ?3 得: f ( x) ? 3x ? 6ax ? 3b ? 3( x ? 2 x ? 3) ? 3( x ? 1)( x ? 3) 19.(1)设“有两道题可判断两个选项是错误的”选对的为事件 A, “有一道题可判断 一个选项是错误的”选对的为事件 B, “有一道题不理解题意”选对的为事件 C

1 4 1 1 1 1 1 所以,得 60 分的概率为 P ? ? ? ? ? 2 2 3 4 48 1 1 2 3 6 (2)得 40 分的概率为 P ? ? ? ? ? 2 2 3 4 48 1 1 2 3 1 1 1 3 1 1 2 1 17 得 45 分的概率为 P ? C1 ; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 2 2 3 4 2 2 3 4 2 2 3 4 48 1 1 2 3 1 1 1 3 1 1 2 1 得 50 分的概率为 P ? ? ? ? ? C1 ? ? ? ? C1 ? ? ? 2 ? 2 ? 2 2 3 4 2 2 3 4 2 2 3 4 1 1 1 1 17 ; ? ? ? ? ? 2 2 3 4 48 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 3 7 得 55 分的概率为 P ? C1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 2 2 3 4 2 2 3 4 2 2 3 4 48
∴ P(A) ? ,P(B) ? ,P(C) ? 得 45 分或 50 分的可能性最大 20. (I)证明:

1 2

1 3

a1 ? 1, a2 ? 3,

??an?1 ? an ? 是以 a2 ? a1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列.
(II)解:由(I)得 an?1 ? an ? 2n (n ? N * ),

an?2 ? 3an?1 ? 2an , ? an?2 ? an?1 ? 2(an?1 ? an ), a ?a ? n? 2 n?1 ? 2(n ? N * ). an?1 ? an

?an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ... ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? 2n?1 ? 2n?2 ? ... ? 2 ? 1 ? 2n ?1(n ? N * ).
在则 Sn = a1 ? a2 ? a3 ? = 2 ?1 ? 2 ?1 ?
2

? an
? 2n ? 1



2(1 ? 2n ) ? n = 2n?1 ? 2 ? n 1? 2

21.解: (1)令

x1 ? x2 ? 1 ,则 f (1) ? 0
时,

(2) ?x1 , x2 ? (0, ??) 且 x1 ? x2 因为 0 ? x1 ? x2 ? 0 ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (

x1 ) x2 ,

x1 ? 1 ,又当 x ? (0,1) 时, f ( x) ? 0 , x2

所以

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (

x1 ) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (0, ??) 上单调增。 x2

(3)令

x1 ? x2 ? 4 ,则 f (16) ? f (4) ? f (4) ? 2 ;

令 x1 所以

? 4, x2 ? 16 ,则 f (64) ? f (4) ? f (16) ? 3

f (3x ? 1) ? f (2 x ? 6) ? 3 ? f (64) ,

?3 x ? 1 ? 0 ? ? x ? (3,5] ?2 x ? 6 ? 0 所以 ?(3 x ? 1)(2 x ? 6) ? 64 ?
22. 解: (1)由已知 3tS n ? (2t ? 3)S n?1 ? 3t ,即有

3t (a1 ? a2 ) ? (2t ? 3)a1 ? 3t 由 a1 ? 1 解得 a 2 ?
当 n ? 2时,有

2t ? 3 3t

所以

a 2 2t ? 3 ? a1 3t

① 3tS n+1 ? (2t ? 3)S n ? 3t ② 3tS n ? (2t ? 3)S n?1 ? 3t an?1 2t ? 3 ①-②得 ? 3tan+1 ? (2t ? 3)an ? 0 an 3t a 2t ? 3 n ? 1 因此 {an } 是等比数列; 综上所述,知 n?1 ? an 3t 1 2? ?3 bn ?1 2t ? 3 2 (2) 由(1)知 f (t ) ? 则 使b1 ? 1, bn ? ? ? bn ?1 1 3t 3 3? bn ?1 2 n ? (2,3,?) 所以 bn ? bn?1 ? 3 2 1 因此, {bn } 是等差数列,且 b1 ? 1, bn ? b1 ? (n ? 1)d ? n ? 3 3 (3) b1b2 ? b2b3 ? b3b4 ? b4b5 ? ? ? b2n?1b2n ? b2n b2n?1 = b2 (b1 ? b3 ) ? b4 (b3 ? b5 ) ? ? ? b2n (b2n?1 ? b2n?1 ) 5 4n ? 1 n( ? ) 4 4 n(b2 ? b2n ) 4 3 3 = ? (b2 ? b4 ? ? ? b2 n ) ? ? ? ?? ? 3 3 2 3 2 8 2 4 =? n ? n 9 3


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