(新课标)高中数学《第一章 导数及其应用》知识点、考点、及其例题 新人教A版选修2-2

高中数学选修 2----2 知识点导数及其应用

知识点: 一.导数概念的引入

1. 导 数 的 物 理 意 义 : 瞬 时 速 率 。 一 般 的 , 函 数 y ? f (x) 在 x ? x0 处的瞬时变化率 是

lim f (x0 ? ?x) ? f (x0 ) ,

?x?0

?x

我们称它为函数 y ? f (x) 在 x ? x0 处的导数,记作 f ?(x0 ) 或 y? |x?x0 ,



f

?(x0 )

= lim ?x?0

f

( x0

? ?x) ? ?x

f

(x0 )

2. 导数的几何意义:曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点 Pn 趋近于 P 时,直线 PT 与

曲线相切。容易知道,割线 PPn 的斜率是 kn

?

f

(xn ) xn

? ?

f (x0 x0

)

,当点

Pn

趋近于

P

时,函



y

?

f (x) 在 x ?

x0 处的导数就是切线 PT 的斜率 k,即 k

? lim ?x?0

f (x n) xn

?f (x ? x0

)0

? f (?x)0

3. 导函数:当 x 变化时,f ?(x) 便是 x 的一个函数,我们称它为 f (x) 的导函数. y ? f (x) 的

导函数有时也记作 y? ,即 f ?(x) ? lim f (x ? ?x) ? f (x)

?x?0

?x

考点:无

知识点:

二.导数的计算

1)基本初等函数的导数公式:

1 若 f (x) ? c (c 为常数),则 f ?(x) ? 0 ;

2 若 f (x) ? x? ,则 f ?(x) ? ? x? ?1;

3 若 f (x) ? sin x ,则 f ?(x) ? cos x

4 若 f (x) ? cos x ,则 f ?(x) ? ?sin x ;

5 若 f (x) ? ax ,则 f ?(x) ? ax ln a

6 若 f (x) ? ex ,则 f ?(x) ? ex

7



f

(

x)

?

log

x a

,则

f ?(x) ?

1 x ln a

8 若 f (x) ? ln x ,则 f ?(x) ? 1 x

-1-

2)导数的运算法则
1. [ f (x) ? g(x)]? ? f ?(x) ? g?(x)

2. [ f (x) ? g(x)]? ? f ?(x) ? g(x) ? f (x) ? g?(x)

3.

[ f (x)]? ? g(x)

f ?(x) ? g(x) ? f (x) ? g?(x) [ g ( x)]2

3)复合函数求导

y ? f (u) 和 u ? g(x) ,称则 y 可以表示成为 x 的函数,即 y ? f (g(x)) 为一个复合函数

y? ? f ?(g(x)) ? g?(x)

考点:导数的求导及运算
★1、已知 f ? x? ? x2 ? 2x ?sin? ,则 f ' ?0? ?

★2、若 f ?x? ? ex sin x ,则 f ' ? x? ?

★3. f (x) =ax3+3x2+2 , f ?(?1) ? 4 ,则 a=(



A. 10 3

B. 13 3

C. 16 3

D. 19 3

★★4.过抛物线 y=x2 上的点 M (1 , 1) 的切线的倾斜角是() 24

A.30° B.45°

C.60°

D.90°

★★5.如果曲线 y ? 9 x2 ? 3与 y ? 2 ? x3 在 x ? x0 处的切线互相垂直,则 x0 =
2 三.导数在研究函数中的应用 知识点: 1.函数的单调性与导数:
一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系:

在某个区间 (a, b) 内,如果 f ?(x) ? 0 ,那么函数 y ? f (x) 在这个区间单调递增;

如果 f ?(x) ? 0 ,那么函数 y ? f (x) 在这个区间单调递减.
2.函数的极值与导数 极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.
求函数 y ? f (x) 的极值的方法是:

(1) 如果在 x0 附近的左侧 f ?(x) ? 0 ,右侧 f ?(x) ? 0 ,那么 f (x0 ) 是极大值; (2) 如果在 x0 附近的左侧 f ?(x) ? 0 ,右侧 f ?(x) ? 0 ,那么 f (x0 ) 是极小值;
4.函数的最大(小)值与导数

-2-

函数极大值与最大值之间的关系.
求函数 y ? f (x) 在[a,b] 上的最大值与最小值的步骤

(1) 求函数 y ? f (x) 在 (a, b) 内的极值;

(2) 将函数 y ? f (x) 的各极值与端点处的函数值 f (a) , f (b) 比较,其中最大的是一个最

大值,最小的是最小值. 四.生活中的优化问题
利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题 考点:1、导数在切线方程中的应用
2、导数在单调性中的应用 3、导数在极值、最值中的应用 4、导数在恒成立问题中的应用 一、题型一:导数在切线方程中的运用

★1.曲线 y ? x3 在 P 点处的切线斜率为 k,若 k=3,则 P 点为( )

A.(-2,-8)

B.(-1,-1)或(1,1)

C.(2,8)

11 D.(- 2 ,- 8 )

★2.曲线 y ? 1 x3 ? x2 ? 5 ,过其上横坐标为 1 的点作曲线的切线,则切线的倾斜角为( ) 3

?

?

?

A. 6

B. 4

C. 3

3? D. 4

二、题型二:导数在单调性中的运用

★1.(05 广东卷)函数 f (x) ? x3 ? 3x2 ?1是减函数的区间为(

)

A. (2, ??)

B. (??, 2) C. (??, 0)

D. (0, 2)

★2.关于函数 f (x) ? 2x3 ? 6x2 ? 7 ,下列说法不正确的是( )

A.在区间( ? ? ,0)内, f (x) 为增函数 B.在区间(0,2)内, f (x) 为减函数

C.在区间(2, ? ? )内, f (x) 为增函数 D.在区间( ? ? ,0) ? (2,??) 内, f (x) 为
增函数

★★3.(05 江西)已知函数 y ? xf ?(x) 的图象如右图所示(其中 f '(x) 是函数 f (x) 的导函数),

y 下面四个图象中 y ? f (x) 的图象大致是( )

1

x

-2 -1 O 1 2 -1

-3-

y
2 1 O -2 -1 1 2
-2
A

y

y

y

2

4

4

2

x

1 O

x

1

2

-2 -1 -2

12

-2 -1 O 1 -2

x

x -2

O

-1

2

B

C

D

★★★4、(2010 年山东 21)(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) ? 1nx ? ax ? 1? a ?1(a ? R). x
(Ⅰ)当 a ? ?1时,求曲线 y ? f (x)在点(2, f (2))处的切线方程;

(Ⅱ)当

a≤

1 2

时,讨论

f

(x)

的单调性.

三、导数在最值、极值中的运用:

★1.(05 全国卷Ⅰ)函数 f (x) ? x3 ? ax2 ? 3x ? 9 ,已知 f (x) 在 x ? ?3 时取得极值,则 a =

()

A.2

B. 3

C. 4

D.5

★2.函数 y ? 2x3 ? 3x 2 ?12 x ? 5 在[0,3]上的最大值与最小值分别是( )

A.5 , - 15

B.5 , 4

C.- 4 , - 15 D.5 , - 16

★★★3.(根据 04 年天津卷文 21 改编)已知函数 f (x) ? ax3 ? cx ? d (a ? 0) 是 R 上的奇函数, 当 x ?1时 f (x) 取得极值-2. (1)试求 a、c、d 的值;(2)求 f (x) 的单调区间和极大值; ★★★4.(根据山东 2008 年文 21 改编)设函数 f (x) ? x 2e x?1 ? ax3 ? bx2 ,已知 x ? ?2和x ? 1 为 f (x) 的极值点。 (1)求 a, b 的值; (2)讨论 f (x) 的单调性;

-4-


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