42常系数线性微分方程的解法常微分方程课件高教社王高雄教材配套50页PPT_图文

§4.2 常系数线性微分方程的解法
?复值函数和复值解 ?常系数齐次线性特征方程 ?常系数非齐次线性方程比较系数法 ?拉普拉斯变换法 ?质点振动
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复值函数和复值解

? 设实变量t在区间a≤t≤b上有实函数?(t)、?(t),

i ? ?1 为虚数,则可在区间上定义复值函数
z (t)= ?(t)+i?(t) ,称?(t)为其实部, ?(t)为其虚 部。

? 复值函数和实函数有同样的极限、连续、导数、 微分、积分及数乘、函数和等性质。

?

满足微分d d n tn z 方? a 程1 (t) (d d 1n t)? n 1 ? 1 z?? a n ? 1 (t)d d z t? a n (t)z?f(t)

的复值函数z(t)称为方程(1)的复值解。

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复值函数性质

? ? ? 极限

lim z(t)? lim (t)? ilim(t) 连续

t? t0 t? t0

t? t0

limz(t)
t?t0

?z(t0)

? 导数 tl? im t0z(t)t? ?tz0(t0)?dzd(tt0)?z'(t0)

dz(t)?d?(t)?id?(t)
dt dt dt

? 微分

d d t[z1 (t)? c z2(t)]?dz d 1 t(t)? cdz d 2 t(t)

d d t[z 1 ( t)?z 2 ( t) ]? d z d 1 t ( t)?z 2 ( t)? z 1 ( t)?d z d 2 t( t)

? 积分及函数和 ?z(t)d t? ??(t)d t? i?? (t)d t

? [ z 1 ( t ) ? c z 2 ( t ) ] d t? ? z 1 ( t ) d t? c ? z 2 ( t ) d t
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复指数函数性质

? 设?、?为实数,t为实变量,则K= ?+i? 为复数,复指

? ? 数函数定义为e K t? e ( ? ? i?) t? e ? t( c o st? is int)

? ? ? 有 c o st? 1 ( e i? t? e ? i? t) ,s int? 1 ( e i? t? e ? i? t)

2

2

? 称复数K= ?+i?的共轭复数为 K???i? 有

e K t? e K t,e ( K 1 ? K 2 )? e K 1 ?e K 2 , d d e t K t? K e K t, d d n t e n K t? K n e K t.

? 复指数函数有性质(K、K1 、 K2 为复数)

cos?t?1(ei?t?e?i?t),
2

sin?t?1(ei?t?e?i?t).
2

e(K1?K2)t ?eK1t?eK2t,

deKt ?KeKt, dt

dd ntenKt ?KneKt.

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复指数函数性质


? ? e K t? e (?? i?)t? e ? t(c o st? is int)? e K t.

?? ?? e (K 1 ? K 2)t? e (?1 ? ?2)t? i(?1 ? ?2)t? e (?1 ? ?2)t[c o s(1?2 )t? isin (1?2 )t] ? ? ? ? ? ? ? ? ? e (?1 ? ?2)t[c o s1 t?c o s2 t? sin1 t?sin2 t? i(sin1 t?c o s2 t? c o s1 t?sin2 t)] ? ? ? ? ? e ?1 t(c o s1 t? isin1 t)?e ?2 t(c o s2 t? isin2 t)? eK 1 t?eK 2 t.

deKt ?d[e(??i?)t]?d(e?t?ei?t)?de?t?ei?t?e?t?dei?t

dt dt

dt

dt

dt

??e?t?ei?t ?e?t? d(cos?t?isin?t)??e?t?i?t ?e?t?(??sin?t?i?cos?t)
dt

??eKt?i?e?t?ei?t ?(??i?)eKt ?KeKt

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实系数线性微分方程的复值解
d d n tn x? a 1 (t)d d n t? n 1 ? 1 x?? a n ? 1 (t)d d x t? a n (t)x? 0(* )
? 定理8 对实系数函数微分方程(*)的复值解的实部、 虚部及其共轭复值函数均是原方程(*)的解。
? 定理9 设非齐函数为复值函数:f(t)=u(t)+iv(t)
d d n tn x ? a 1 ( t)d d n t ? n 1 ? 1 x ? L ? a n ? 1 ( t)d d x t? a n ( t) x ? u ( t) ? iv ( t) .( * * )
? 如复值函数x=U(t)+iV(t)是微分方程(**)的复值解, 则实函数U(t)、V(t)分别是实微分方程的解:
ddntnx?a1(t)ddnt?n1?1x?L?an?1(t)ddxt ?an(t)x?u(t) ddntnx?a1(t)ddnt?n1?1x?L?an?1(t)ddxt ?an(t)x?v(t).
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常系数齐次线性特征方程

? 系数为实常数时的常系数齐次线性方程

L [x]?d d n tn x? a 1d d n t? n 1 ? 1 x?? a n ? 1d d x t? a n x? 0

? 可以寻求指数函数形式的解 x ? e? t

? 代入方程右端可得到

L[e?t]?dd nten?t ?a1dd n? t1ne ?1 ?t ? ?an?1ddet?t ?ane?t ?

其中

?(?n?a1?n?1? ?an?1??an)e?t ?F(?)e?t

?? ? ? F ()?n ? a 1n ? 1 ? L ? a n ? 1? a n是?的n次多项式。

?? ? ? F ()? n ? a 1n ? 1 ? L ? a n ? 1? a n ? 0 .

称为微分方程的特征方程。特征方程的根称为特征根。

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(a)实单特征根

(a) ?为(实)单根时,齐次线性方程有解 e?t

设?1, ?2,…, ?n是特征方程的n个相异或相同但非重的实根, 则相应的微分方程有n个解 e?1t,e?2t,L,e?nt.

因 ?i≠ ?j (i≠ j),行列式

e?1 t

e?2 t L e?nt

1 1L 1

? ? ? ? ? ? ??? W (t)? 1 e?1 t M

2e?2 t L M

ne?nt ?e(?1? ?2? L? ?n)t M

1 2L MM

M n ?

(i?j)?0 .

1 ?j? i? n

? ? ? 1 n? 1 e?1 t 2 n? 1 e?2 t L n n? 1 e?nt

? ? ? n? 1 1

n? 1 2

L

n? 1 n

即n个解在区间上线性无关,构成的基本解组。

方程有通解

x? c 1 e?1 t? c 2 e?2 t? L? c n e?n t.

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(b)复特征根
(b)代数方程有复根 ?1 ???i?,因方程的系数为实数, 复根将成对共轭地出现,即 ?2??1???i?也是特征根
? 有两共轭复值解
? ? e ? 1 t? e ( ? ? i?) t? e ? t( c o st? is int) ,
? ? e ? 2 t? e ? 1 t? e ( ? ? i?) t? e ? t( c o st? is int) .
? 对应的两实值解:
e?tcos?t, e?tsin?t.
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(c)(1)重 0 实根
? ? ? ? (c) ?= ?1为k重实根时,它表示为 F ( 1 ) ? F '( 1 ) ? L ? F ( k ? 1 ) ( 1 ) ? 0 ,F ( k ) ( 1 ) ? 0 .
(1) 当?1=0时,特征方程有因子?k ,于是
a n? a n ? 1? L? a n ? k? 1? 0 .
? 即特征方程的形状为 ? ? ? n? a 1n ? 1? L? a n ? kk? 0 .
? 对应的微分方程为 d dntn x?a1d dnt? n1?1 x? ?an?kd dktkx?0 ? 易见它有k个解 1, t, t2, … , tk. 且它们是线性无关的。 ? 因此特征方程的k重零根对应微分方程的k个线性无关的解:
1, t, t2, … , tk-1.
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(c)(2)重非0实根

? ? ? (2) ?= ? ≠0为k重实根时 因

? ? x ( m )? 1( y e t) ( m )? e 1 t? ? ? y ( m ) ? m ,1 y ( 作m ? 1 变) ? 量m ( m 变2 ! ? 换1 )1 x2 y ?( m y? e2 ?) 1t? . L ? 1 m y ? ? ? .

?有

L [y e ? 1 t]? ? ? ? ?d d n tn y? b 1 d d n t? n 1 ? 1 y?? b n ? 1 d d y t? a n y ? ? ? ?e ? 1 t? L 1 [y ]e ? 1 t

于是微分方程化为

d ny d n ? 1y

dy

L 1 [y ]?d tn? b 1d tn ? 1?? b n ? 1d t? a ny? 0

??? ? ? 其中b1,…,bG n( 仍) 为? 常n ? 数b 1 。n ? 相1 ? 应L 的? b 特n ? 1 征? 方b n 程? 0 为.

??? ? ? ? ?? ?? ? ? 直接计算易得 F ( ? 1 ) e ( ? 1 ) t ? L [ e ( ? 1 ) t ] ? L 1 [ e t ] e 1 t ? G ( ) e ( ? 1 ) t .
? 即 F(???1)?G(?)



?? ? F (j)(? 1 )? G (j)() , j? 1 ,2 ,L ,k .

? 因此F(?)=0的根对应于G(μ)=0的根,且重数相同。

? 问题化为前面已讨论的情形。

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(续) (c)(2)重非0实根

? 已知特征方程 G(μ)=0 的k1重根μ1=0对应于微分方程 L1=0的k1个解y=1, t, t2, … , tk-1。因此,对应于特征方 程F(?)=0的k1重根?1,微分方程L=0有个解 e?1t,te?1t,t2 e?1t, ,tk 1? 1 e?1t

? 同样,假设特征方程L=0的其他根?2, ?3,…, ?m的重 次依次为k2, k3,…, km ,且
?? k 1 ? k 2 ?? k m ? n ,i?j( i? j)

? 则微分方程L=0对应地有解

? e?2t, te?2t, t2e?2t, ? ? ??e?mt, te?mt, t2e?mt,

, tk2?1e?2t , tkm?1e?mt

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(续) (c)(2)重非0实根

证 全体个解构成微分方程L=0的基本解组。

? e?1t, te?1t, t2e?1t,L , tk1?1e?1t

?

?

LL

??e?mt, te?mt, t2e?mt,L , tkm?1e?mt

? 反证法。假设这些函数线性相关,则有

? ? m (A 0 (r)? A 1 (r)t? L ? A k (r r ? )1 tk r? 1 )e ?rt?m P r(t)e ?rt? 0 .

r? 1

r? 1

? 设多项式Pm(t)不恒为零。将上式除于 e?1t ,并对t微分k1次,

可得

m

?Qr(t)e(?r??1)t ?0.

r?2

? 其中

?? Q r(t)? (r?1 )k 1P r(t)? S r(t).

? Qr(t)与Pr(t)次数相同且Qr(t)不恒为零。等式类似,但项数减 少了。

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(续) (c)(2)重非0实根

? 进一步对施于同样手续,除于e(?2-?1) t 并微分k2次,

? 则得到项数更少的类似多项式。继续经m-1次后将得

到等式 ? 这不可能因

Rm(t)e(?m??m?1)t ?0.

?????? R m ( t ) ? ( m ? 1 ) k 1 ( m ? 2 ) k 2 L ( m ? m ? 1 ) k m ? 1 P m ( t ) ? W m ( t ) .

其中Wm是次数低于Pm(t)的次数的多项式。 而Rm(t)与Pm(t)次数相同且Rm(t)不恒为零。 ? 假设函数线性相关引出矛盾
证明了全部n个解线性无关且构成微分方程的基本解组

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(d) k重共轭复根时
?= ?+i? 微分方程有k对共轭复值解 e ?t,e ?t,te ?t,te ?t,L ,tk ? 1 e ?t,tk ? 1 e ?t.
? 或对应的2k对实值解:
e?tcos?t, te?tcos?t, L, tk? 1e?tcos?t, e?tsin?t, te?tsin?t, L, tk? 1e?tsin?t.
? 类似的,对含有单实根、共轭复根、重实根及 重共轭复根的混合情形,
? 可由前面讨论过的分别进行处理,求得对应其 特征根的微分方程的解,且这些解线性无关。
? 当所有根计及其重次总和为微分方程的次数时, 这些解构成微分方程的基本解组。
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例1

求方程

d4 x d t4

?

x

?

0

的通解

解 特征方程 ?4-1=0的根为 ?1=1, ?2=-1, ?3=i, ?4=-i.
? 有两个单实根和一对单共轭复根, 故方程的通解为
x ? c 1 e t? c 2 e ? t? c 3 c o st? c 4 s in t.

? 这里c1, c2, c3, c4,为任意常数。

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例2

求解方程

d3 x d t3

?

x

?

0

解 特征方程?3+1=0有根

?1??1,

?2,3 ?12?i

3. 2

? 通解为

x?c1e?t?e1 2t????c2cos23t?c3sin23t????.
? 其中c1, c2, c3为任意常数。

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例3 求方程 的通解 dd3t3x?3dd2t2x?3ddxt ?x?0

解 特征方程

?3? 3 ?2? 3 ?? 1? (?? 1 )3? 0

的根为三重根?=1 。 ? 因此方程有通解
x?(c1?c2t?c3t2)et

? 其中c1, c2, c3为任意常数。

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例4 求解方程 d4x dt4

?3dd2t2x

?x

?0

解 特征方程

? ? ? 4? 22? 1 ? (2? 1 )2? 0

的根为?=±i重根。 方程有4实值解
c o s t ,tc o s t ,s i n t ,ts i n t .
? 得通解
x ? ( c 1 ? c 2 t)c o s t? ( c 3 ? c 4 t)s in t

? 其中c1, c2, c3 , c4为任意常数。

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欧拉方程 x nd d n x n y? a 1 x n ? 1d d n x ? n 1 ? y 1?? a n ? 1 xd d x y? a n y? 0

称为欧拉方程。其中a1,a2,…,an 为实常数。
? 引进自变量变换 x=et, t=ln x (x=-et同样,取 t=ln |x| )

?有

d y ? d y ? dt ?e?t d y dx dt dx dt

d2 y dx2

? e?t

dy dt

???e?t

dy dt

? ??

? e?2t

? ???

d2 y dt2

?dy dt

? ???,

d3 y dx3

? e?t

dy dt

????e?2t

? ???

d2 y dt2

?dy dt

?? ??????

? e?3t

? ???

d3 y dt3

d2 y ?3 dt2

?2d y dt

? ???,

? 代入欧拉方程得常系数齐次线性微分方程
d dn tn y?b 1d dn t? n 1 ? 1 y? ?bn? 1d dy t?bny?0
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例5 求解方程 x2 dd2x2y?xddxy?y?0

解 令x=et ,方程变为

d2 y dt2

?2d y dt

?

y

?

0

? 特征方程为 ?2? 2 ?? 1?(?? 1 )2?0
? 有重根?=1,通解为
y?(c1?c2t)et
? 原方程的通解为

y?(c1?c2lnx)x

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常系数非齐次线性方程比较系数法

? 常系数非齐次线性方程
L [x ]? d d n tn x? a 1d d n t? n 1 ? 1 x?? a n ? 1d d x t? a n x?f(t)
? 可按非齐项f(t)的类型用比较系数法求方程特解。

类型Ⅰ:

f( t)? ( b 0 tm ? b 1 tm ? 1 ? L ? b m ? 1 t? b m ) e ? t

特解为 x ? tk ( B 0 tm ? B 1 t m ? 1 ? L ? B m ? 1 t? B m ) e ? t
其中k为特征方程F(?)=0的根?的重数。

当不是特征根时k=0;单根时k=1。

可以将特解代入方程比较t的同幂次项系数确定Bi。
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例6

求方程

d2x dx

dt2

?2 dt

?3x?3t

?1

的通解

解 先求对应的齐次线性微分方程

d2 x dt2

?2dx dt

?3x

?0

的通解。其特征方程为?2-2?-3=0有根?1=3,?2=-1.
齐次方程有通解 x?c1e3t ?c2e?t
? 再求非齐次方程的一个特解,这里f(t)=3t+1, ? = 0。

? 因? = 0不是特征方程的根,k=0。

特解形式为 x=A+Bt,其中A,B为待定常数。

? 将x代入原方程, ? 2 B ? 3 A ? 3 B t? 3 t? 1

比较t的同幂次系数得 解为 B ? ?1, A ? 1 即
3

x

?

1 3

?t

? 原方程的通解为

??3B ? 3

? ?

?2B

?

3A

?

1

x?c1e3t

?c2e?t

?t?1 3

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例7 求方程 的通解 d d3t3 x?3d d2t2 x?3d dx t?x?e?t(t?5)

解 特征方程为?3+3?2+3?+1=0,有三重根?1,2,3=1

齐次方程有通解 x?(c1?c2t?c3t2)e?t

? 再求非齐次方程 f(t)?e?t(t?5),???1的一个特解,

? 特解形式为 x?t3(A?Bt)e?t 将特解代入原方程 (6A ?2 4B t)e? t?e? t(t?5 )

比较系数得 从而

A??5,B? 1 6 24

x? 1 t3(t?20)e?t 24

? 故原方程的通解为 x? (c 1? c 2 t? c 3 t2)e? t?2 1 4t3 (t? 2 0 )e? t

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? ? b) 类型Ⅱ f(t)? [A (t)c o st? B (t)s int] e ? t
其中?,?为常数,A(t),B(t)是的最髙次数为m次的实系数多项 式。
? ? ? 设则?方=程?有+特i?解为特征x 方? t 程k [ FP (( ?t) )=c 0o 的sk重t? 根Q 。( t)s int] e ? t
这里P(t),Q(t)为待定的的最髙次数为m次的实系数多项式。
? 将特解代入方程,比较t的同幂次系数, 可得一系列线性方程,解之得特解。
注意:待定系数法的关键是正确写出特解形式! P(t),Q(t)应为m次完全多项式。
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例8 求方程 dd2t2x?4ddxt ?4x?cos2t 的通解

解 特征方程为?2+4?+4=(? +2)2=0,有重根?1,2=-2
齐次方程有通解 x?(c1?c2t)e?2t

? 求非齐次方程 f(t)?cos2t,???2i的一个特解,

? 因?=±2i不是特征方程的根,特解形式为

x?A cos2t?B sin2t

? 将特解代入原方程 8 B c o s 2 t? 8 A s i n 2 t? c o s 2 t

? 比较系数得
? 即 x ? 1 sin 2t

A ? 0, B ? 1 8

?

8
故原方程的通解为

x?(c1?c2t)e?2t

?1sin2t 8

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拉普拉斯变换法

? 实或复值连续函数 f(t) 当 t≥0 满足 | f(t)|<Meσt

时称

? F(s)? ?e??t 0

f(t)dt

为原函数f(t)的拉普拉斯变换

F(s)称为象函数,在复平面 Re s>σ上有定义。

?

对常系数非齐线性方程 及初始条件

d d n tn x?a 1d d n t? n 1 ? 1 x? ?an? 1d dx t?anx?f(t)

x ( 0 ) ? x 0 ,x '( 0 ) ? x 0 ',L ,x ( n ? 1 ) ( 0 ) ? x 0 ( n ? 1 )

? 设f(t)为连续函数且满足原函数条件。

则方程的解 x(t) 及其各阶导数均是原函数。

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(续) 拉普拉斯变换法

d d n tn x?a 1d d n t? n 1 ? 1 x? ?an? 1d dx t?anx?f(t) x ( 0 ) ? x 0 ,x '( 0 ) ? x 0 ',L ,x ( n ? 1 ) ( 0 ) ? x 0 ( n ? 1 )

? ? 记 F(s) ??[f (t)]? ?e??t f (t)dt, 0

? X(s) ??[x(t)]? ?e??tx(t)dt. 0

? 有 ? [x'(t)]?sX(s)?x0,
LL

? [x(n)(t)]?snX(s)?sn?1x0?sn?2x0' ?L?x0(n?1).

? 如对方程两边进行拉普拉斯变换,利用线性性质可 得关系式
snX(s)?sn?1x0?sn?2x0' ?L?x0(n?1)
?a1[sn?1X(s)?sn?2x0?sn?3x0' ?L?x0(n?2)]
?L?an?1[sX(s)?x0]?anX(s)?F(s).

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拉普拉斯变换法 (续)

d dtnn x?a 1d dtnn ? 1 ? 1 x?L?an? 1d d x t?anx?f(t)

x ( 0 ) ? x 0 ,x '( 0 ) ? x 0 ',L ,x ( n ? 1 ) ( 0 ) ? x 0 ( n ? 1 )

?即

(sn? a 1 sn ? 1? L? a n ? 1 s? a n)X (s)?F (s)? (sn ? 1? a 1 sn ? 2 ? L? a n ? 1 )x 0? (sn ? 2? a 1 sn ? 3? L? a n ? 2)x 0 ' ? L? x 0 (n ? 1 ).

? 或 A(s)X(s)=F(s)+B(s)

?

其中A,B均为已知多项式。因此有

X(s)? F(s)?B(s) A(s)

? 这是方程满足初始条件的解的象函数X(s)。 ? 再利用拉普拉斯反变换公式可得方程的解x(t)。 ? 此即为拉普拉斯变换方法。

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拉普拉斯变换和反变换表
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例9

求方程

d x ? x ? e2t 满足初值条件

dt
x(0)=0

的解

解 对方程两端施行拉普拉斯变换,

得到象函数方程

sX(s)?x(0)?X(s)? 1 s?2

由初值条件x(0)=0得

X(s)? 1 ? 1 ?1 (s?1)(s?2) s?2 s?1

? 查拉普拉斯变换表知

1 s? 2



1 s?1

的原函数分别为 e2t 和

et

? 利用线性性质,求得X(s)的原函数为

x(t) ?e2t ?et
这就是所要求的解。

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例10 求解方程 x ''? 2x '? x ? e?t ,
x(1) ? x '(1) ? 0 解 先令? = t-1将方程化为 x''? 2x'? x ? e?(??1),
x(0) ? x'(0) ? 0

? 再对方程两端实行拉普拉斯变换,利用初值条件得到

11
即 X(s) ? (s ?1)3 ? e

s2X(s)?2sX(s)?X(s)?1?1 s?2e

? 查拉普拉斯变换表得

x(?) ? 1?2e???1
2

从而

x(t)?1(t ?1)2e?t 2

此即为所要求的解。

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例11 求解方程 x'''?3x''?3x'?x?1
x(0)?x'(0)?x''(0)?0

解 对方程两端施行拉普拉斯变换得



X

(s)

?

1 s(s ?1)3

(s3?3s2?3s?1)X(s)?1 s

? 把上式右端分解为部分分式

s(s1 ?1)3?1 s?s1 ?1?(s? 11)2?(s? 11)3

? 各分式分别查拉普拉斯变换表,

利用线性性质,求得的原函数即方程的解

x ( t)? 1 ? e ? t? te ? t? 1 t2 e ? t? 1 ? 1 ( t2 ? 2 t? 2 ) e ? t

2

2

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§1-1 例2 数学摆 阻力与近似方程

数学摆方程

d2?
dt2

?

g l

sin?

?0

如摆在一个粘性介质中运动,阻力

系数为μ,则方程为:

dd2t?2 ?m ?dd?t ?glsin??0

近似方程 令 sin???

则数学摆近似方程

d2 ?
dt2

?

g l

带粘性介质的数学摆近似方程

?

?0
dd2t?2 ?m ?dd?t ?gl ??0

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质点线性振动

? 质点线性振动 ? (1) 无阻尼

d2 ?
dt2

?

g l

?

?

0

? (2) 有阻尼

dd2t?2 ?m ?dd?t ?gl ??0

(a)小阻尼 (2) 大阻尼 (3) 临界阻尼

? (3) 无阻尼强迫振动(μ= 0) (a) p≠ω (b) p=ω
? (4) 小阻尼强迫振动

dd2t?2 ?m ?dd?t ?gl??m 1lF(t)

? 质点非线性振动 第6章讨论

dd2t?2 ?m ?dd?t ?glsin??0

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质点振动

? 振动----钟摆,弹簧,乐器,机械,桥梁,电路... ? (1) 数学摆的无阻尼微小自由振动方程为

d2 ? dt2

?

g l

?

?

0



dd2t?2 ??2??0,

(?2?g)
l

? 特征方程为?2+ω2 = 0,特征根为共轭复根? 1,2=± ω i。

? 通解为

??c1co s?t?c2sin?t

?令

? ? ? s in?c 1 ,c o s?c 2 .

c 1 2 ? c 2 2

c 1 2 ? c 2 2

A ? c 1 2 ? c 2 2 ,

? a r c ta n c 1 . c 2

? 则通解式可改写为

??

? c12?c22???

c1 cos?t?
c12?c22

c1

?
sin?t?

c12?c22

??

?A(sin?cos?t?cos?sin?t)
? 即 ??Asin(?t??)

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(1) 数学摆的无阻尼微小自由振动
? 从通解式 ??Asin(?t??)
中可看出,不管初状态 为何值, 摆的运动总一 个正弦 函数,且是周期 函数。 如图(4.1)

? 这种运动称为简谐振动

ω称为圆频率,A为振幅,

θ为初相位。

?

周期为 T ? 2 ?
?

,频率为

??1? ? T 2?

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(1) 数学摆的无阻尼微小自由振动
d d 2 t? 2? ? 2 ?? 0 , (? 2?g l), ??A sin (?t? ?)

? 数学摆的振幅A、初相位θ均依赖于初值条件。 ? 数学摆的周期只依赖于摆长l,与初值无关。

? ?

当把数学摆移至位置?= 再松开时其初值条件为 将上式代入通解得

? ??? ?? ?0即t?0 时???0,dd?t ?0 |t? 0 ? A sin?0 ,d d tt? 0? Ac o s? 0 .

初相位 ? ? ?
2

,振幅A= ?0 。

? 因此,所求的特解为 ???0sin????t??2?????0cos?t

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(2) 有阻尼自由振动 dd2t?2 ?m ?dd?t ?gl ??0

? 有阻尼自由振动方程为

d d 2 t? 2?2 nd d ? t? ?2 ??0 ,

(n??,?2?g)
2 m l

? 特征方程为
?2?2n???2?0

? 有特征根

?1,2??n? n2??2

根据 n 大于、小于和等于ω分为小阻尼、大阻尼和临界 阻尼三种情况进行讨论。

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(a) 小阻尼n<ω时

小阻尼n<ω时特征方程有共轭复根 ?1,2??n? n2??2

通解为

? ? ? ? e ? n t(c 1 c o s1 t? c 2 sin1 t)

? 和前面(1)一样可将上通解改写为 ??Ae?ntsin(?1t??)

? 有小阻尼时摆的运

动已不是周期的,

其振幅逐渐减小。

按?=Ae-nt的变化减小,

减小的周期为 T ? 2 ?
当t→∞时?(t)摆动?地1

(振动着)趋于零。如图

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(b) 大阻尼n>ω时

大阻尼时:通这解时为特征? 方? 程c有1e?两1t不?c同2e负?2t实根?2<?1<0

? 从式中可知摆的运动也不是周期的,

且因方程 c1e?1t ?c2e?2t ?0 最多只有一个解,故摆最多只通

过平衡位置一次;

同时由

?? ? ? ? d d t? c 11 e ? 1 t? c 22 e ? 2 t? e ? 1 t[ c 11 ? c 22 e ( ? 2 ? ? 1 )t]

? 知当t足够大时, d?/dt与c1的符号相反, 即经过一段时间后, 摆单调地趋于平衡
位置。如图(4.3)

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(c) 临界阻尼 n =ω时
临界阻尼n =ω时:特征方程有重根?2=?1=-n
方程的通解为 ??e?nt(c1?c2t)
? 摆的运动也不是周期的,其图形和图(4.3)类似,
当t→∞时?(t)趋于零。摆不具有振动的性质。
? 值n =ω称为阻尼的临界值,正好可以抑制振动。 ? 实际上,当n≥ω时如图(4.3),摆不振动;
而当n<ω时如图(4.2),摆虽衰减但仍振动。
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(3) 无阻尼强迫振动

无阻尼强迫振动方程为 ? 令 ?2?g, 1F(t)?Hsinpt
l ml

d2?
dt2

?

g?
l

?

1 ml

F(t),

其中H为已知常数,p为外力圆频率, 此时上式变为 dd2t?2 ??2??Hsinpt ? 方程对应的齐次线性微分方程的通解为
??Asin(?t??)

这里A,θ为任意常数。下面求非齐方程的特解。
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(3) (a)无阻尼p≠ω

d2?
dt2

??2??Hsin

pt

(a) p≠ω 有形如

?? M c o sp t? N sinp t

? 的解,这里M,N是待定常数。将上式代入方程,比较同 类项系数,可得 M?0, N??2H ?p2

? 最后得方程的通解为 ??Asin(?t??)??2H ?p2sinpt
? 通解中包括无阻尼自由振动的项(固有振动) 和外力引发的频率相同、振幅不同的项(强迫振动)
? 当外力的圆频率越接近固有圆频率时,强迫振动项的振 幅越大。

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(3) (b)无阻尼p=ω

d2?
dt2

??2??Hsin

pt

当p=ω时, 有形如

?? t(M c o sp t? N s in p t)

的解。将它代入方程,比较同类项系数,可得

M?? H, N?0

2?

? 方程的通解为

??Asin(?t??)?2 H ?tcospt

? 随时间的增大,摆的偏离将无限增加,

? 这种现象称为共振现象。

? 但实际上,当摆的偏离将无限增加到一定程度时,方 程已不一定能描述摆的运动状态了。

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(4) 小阻尼n<ω强迫振动
小阻尼n <ω强迫振动:方程为
d d2 t? 2?2nd d? t??2??H sinpt, n??
? 由(2)(a)有阻尼自由振动情形知方程对应的齐
次线性微分方程的通解为 ??Ae?ntsin(?1t??)
? 这里A,θ为任意常数, ?1 ? ?2 ?n2 ? 现求方程的一个特解。此特解有形状
?? M c o sp t? N sinp t
? 将上式代入方程,比较同类项系数
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(续) (4) 小阻尼n<ω强迫振动

? 得到

? ?? M ? (2? ? p 2 2 n )2 p ? H 4 n 2p 2, N ? (2 (? p 2 2 ? )2 p ? 2 )4 H n 2p 2

? ? ? 如令 M ? H ? s in? , N ? H ?c o s?

其中

? H ? ?M 2 ? N 2?

H,

? ? (2 ? p 2 )2 ? 4 n 2 p 2

ta n? ?? 2 2 ? n p p 2

? 则特解可写为

? ? ? ? % ? H ? s i n ? c o s p t ? H ? c o s ? s i n p t ? H ? s i n ( p t ? ? )

? 因此程的通解为

?

其中

? ?? ? ? ? A e ? n ts in (1 t?)?(2? p 2 H )2? 4 n 2 p 2s in (p t?? )

?1? ?2?n2,

tg?*? ?2np . ?2?p2

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(续) (4) 小阻尼n<ω强迫振动

? ?? ? ? ? A e ? n ts in (1 t?)?(2? p 2 H )2? 4 n 2 p 2s in (p t?? )

? 通解中由有阻尼自由振动的固有振动项和外力引发的强迫振 动项两部分叠加而成。

? 强迫振动项的振幅不随时间而变,其频率与外力的频率相同, 但相位和振幅不同。

? 现讨论外力的园频率p取何值时强迫振动项的振幅H*取最大值

从H*的表达式知,取p使函数 ? ? (p )?(2?p2)2?4 n 2p2

? 最小即可。即取 ? '(p )? ? 4 p (2? p 2 )? 8 n 2 p ? 0

? 只要 2n2<ω2 ,上式可解得 p? ?2 ?2n2

? 当p取此值时有

?''(p)?8p2 ?0

? 即此时?(p)为最小值。将p代入得

? ? H m *ax?
(

H

?

2?p2)2?4n2p2 2n

H 2?n2

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(续) (4) 小阻尼n<ω强迫振动
? 即当外力的园频率 p? ?2 ?2n2 时强迫振动项的振幅H*达最大值H*max。 这时的园频率称为共振频率。 所产生的现象也叫共振现象。
? 工程技术中共振现象往往具破坏性, 如桥梁、建筑要避免共振现象。
? 无线电、乐器则利用共振现象。
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