2018_2019学年高中数学第一章常用逻辑用语1.2.3充要条件课时作业北师大版选修2_1

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1.2.3 充要条件

[基础达标] 1.设 x∈R,则 x>e 的一个必要不充分条件是( A.x>1 C.x>3 B.x<1 D.x<3 α ,则“l⊥β ”是“α ⊥β ”成立的 )

解析:选 A.∵x>1? / x>e,而 x>e? x>1. 2.设 α ,β 分别为两个不同的平面,直线 l ( ) A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析:选 A.根据两个平面垂直的判定定理知“l⊥β ”是“α ⊥β ”的充分条件,但由 两个平面垂直的性质知 α ⊥β 时,平面α 内只有和它们的交线垂直的直线才能垂直于平面 β ,故本题中由“α ⊥β ”不能得到“l⊥β ”,因此选 A. 3.设 a,b 都是非零向量,则“a·b=±|a||b|”,是“a,b 共线”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 C.设〈a,b〉=θ ,a·b=|a||b|cos θ ,当|a||b|·cos θ =±|a||b|时, cos θ =±1,θ =0 或π ,则 a 与 b 共线,若 a、b 共线,则〈a,b〉=0 或π ,则 a·b= ±|a||b|. 4.若 a,b∈R,则“a>b”是“a3+b3>a2b+ab2”的( A.充分非必要条件 C.充分且必要条件
3 3 2 2

)

)

B.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件
2 3 3 2 2

解析:选 D.a +b -a b-ab =(a+b)(a-b) ,a>b? / a +b >a b+ab ,故选 D. 5.设{an}是等比数列,则“a1<a2<a3”是“数列{an}是递增数列”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 C.设公比为 q,由 a1<a2<a3 得 a1<a1q<a1q , ∴?
?a1>0 ? ?a1<0 ? 或? ,∴充分性成立; ?q>1 ? ?0<q<1 ?
2

)

1

当{an}递增时,则?

? ?a1>0

? ?a1<0 或? ,∴a1<a2<a3,必要性成立. ? ?q>1 ? ?0<q<1

6.在△ABC 中, “sin A=sin B”是“a=b”的________条件. 解析:在△ABC 中,由正弦定理及 sin A=sin B 可得 2Rsin A=2Rsin B,即 a=b;反 之也成立. 答案:充要 7.设 A 是 B 的充分不必要条件,C 是 B 的必要不充分条件,D 是 C 的充要条件,则 D 是

A 的________条件.
解析:由题意知:A? B? C?D,∴A? D. 答案:必要不充分 8.已知条件 p:|x-1|>a 和条件 q:2x2-3x+1>0,则使 p 是 q 的充分不必要条件的 最小整数 a=________. 解析:由题意知 a>0,设 A={x||x-1|>a}={x|x<1-a 或 x>1+a},B={x|2x - 1 3x+1>0}={x|x< 或 x>1}, 2 由题意,A
2

B,

1 1 ? ?1-a≤ ? ?1-a< 2 2. ∴由数轴可得? 或? ? ?1+a>1 ? ?1+a≥1 1 ∴a≥ ,故 a 的最小整数为 1. 2

答案:1 9.已知 p,q 都是 r 的必要条件,s 是 r 的充分条件,q 是 s 的充分条件,那么: (1)s 是 q 的什么条件? (2)r 是 q 的什么条件? (3)p 是 q 的什么条件?

解:如图所示,可知: (1)因为 q? s,s? r? q,所以 s 是 q 的充要条件. (2)因为 r? q,q? s? r,所以 r 是 q 的充要条件. (3)因为 q? s? r? p,而 p? / q,所以 p 是 q 的必要不充分条件. 10.求证:关于 x 的方程 x2+mx+1=0 有两个负实根的充要条件是 m≥2. 证明:(1)充分性:因为 m≥2,所以 Δ =m -4≥0,所以方程 x +mx+1=0 有实根,设 两根为 x1,x2,由根与系数的关系知,x1·x2=1>0,所以 x1,x2 同号. 又 x1+x2=-m≤-2<0,所以 x1,x2 同为负数.即 x +mx+1=0 有两个负实根的充分
2
2 2 2

条件是 m≥2. (2)必要性:因为 x +mx+1=0 有两个负实根,设其为 x1,x2,且 x1x2=1,
?Δ =m -4≥0, ? 所以? ? ?x1+x2=-m<0,
2 2

即?

?m≥2或m≤-2, ? ?m>0, ?

所以 m≥2,即 x +mx+1=0 有两个负实根的必要条件是 m≥2.
2

2

综上可知,m≥2 是 x +mx+1=0 有两个负实根的充要条件. [能力提升] 1.对于数列{an}, “an+1>|an|(n=1,2,…)”是“{an}为递增数列”的( A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 B.若{an}单调递增,不一定能够说明 an+1>|an|一定成立, 如 an:{-n,-(n-1),…,-2,-1}显然不满足 an+1>|an|一定成立,但是该数列 递增;如果 an+1>|an|>0,那么无论 an 的值取正还是取负,一定能够得到{an}单调递增,所 以 an+1>|an|是{an}为递增数列的充分不必要条件,选 B. 2.设 a1、b1、c1、a2、b2、c2 均为非零实数,不等式 a1x2+b1x+c1>0 和 a2x2+b2x+c2>0 的解集分别为 M 和 N,那 么“ = = ”是“M=N”的________条件(充分不必要、必要不充分、充要、既不充 分也不必要). 解析:如果 = = >0,则 M=N;如果 = = <0,则 M≠N,∴ = = ? / M= )

a1 b1 c1 a2 b2 c2

a1 b1 c1 a2 b2 c2

a1 b1 c1 a2 b2 c2

a1 b1 c1 a2 b2 c2

N.
反之,若 M=N=?,即说明二次不等式的解集为空集、与它们的系数比无任何关系,只 要求判别式小于零. 因此,M=N? /

a1 b1 c1 = = . a2 b2 c2

答案:既不充分也不必要 3.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=aqn+b(a≠0,q 是不等于 0 和 1 的常数),求证数列 {an}为等比数列的充要条件是 a+b=0. 证明:(1)必要性. ∵数列{an}为等比数列,

a1(1-qn) a1 a1 n ∴Sn= = - q. 1-q 1-q 1-q
∵Sn=aq +b,∴a=- ,b= . 1-q 1-q ∴a+b=0. (2)充分性.
3
n

a1

a1

∵a+b=0,∴Sn=aq +b=aq -a. ∵an=Sn-Sn-1 =(aq -a)-(aq =a(q-1)q
n-1 n n-1

n

n

-a)

(n>1),

an+1 a(q-1)qn ∴ = =q(n>1). an a(q-1)qn-1
又∵a1=aq-a,a2=aq -aq, ∴ =
2

a2 aq2-aq =q . a1 aq-a

故数列{an}是公比为 q 的等比数列. 综上所述,数列{an}为等比数列的充要条件是 a+b=0. 4.已知命题 p:|x-1|<a(a>0),命题 q:x +21>10x,且 p 是 q 的既不充分也不必 要条件,求 a 的取值范围. 解:由|x-1|<a(a>0),解得 1-a<x<1+a. ∴命题 p 对应的集合为 A={x|1-a<x<1+a,a>0}. 由 x +21>10x,解得 x<3 或 x>7. ∴命题 q 对应的集合为 B={x|x<3 或 x>7}. 显然集合 B A,即 q? / p,所以 p 不是 q 的必要条件. 如果 p 是 q 的充分条件,则 p? q,即 A? B,所以 1+a≤3 或 1-a≥7. 又 a>0,所以 0<a≤2. ∴若 p 是 q 的既不充分也不必要条件,应有 a>2.
2 2

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