高三数学一轮复习 2.4 函数的奇偶性与周期性课件 文 大纲人教版

2011届高三数学文大纲 版创新设计一轮复习课 件:2.4 函数的奇偶性 与周期性 第4讲 【考纲下载】 函数的奇偶性与周期性 了解函数奇偶性的概念,掌握判断一些简单函数奇偶性的方 法,并能应用性质解决相关问题; 了解周期函数的意义,利用函数的周期性解决一些问题. 1.函数的奇偶性 (1)奇函数:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都 有 f(-x)=-f(x) , 那么函数f(x)就叫做奇函数(odd function).奇函数的图象关于 原 点对称. (2)偶函数:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 f(-x)=f(x) , 那么函数f(x)就叫做偶函数(even function).偶函数的图象关于y轴对称. 提示:函数f(x)可以是奇函数,也可以是偶函数,也可以既是奇函数又是偶函 数,也可以两者都不是,但必须注意的是,研究函数的奇偶性必须首先明确函 数的定义域是否关于原点对称. 2.函数的周期性 对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的 常数 T,使得当x取定义域内的每个 值时,f(x+T)=f(x)都成立,那么就把函数y=f(x)叫做周期函数.对于一个周 期函数来说,如果在所有周期中存在着一个最小的正数,就把这个最小的正数 叫做 最小正周期 . 提示:(1)一个周期函数不一定有最小正周期; (2)若T为f(x)的周期,则kT(k∈Z,k≠0)也一定是f(x)的周期. 1.已知函数f(x)=ax3+bx2+c是奇函数,则( A.b=c=0 C.b=0,a≠0 B.a=0 D.c=0 ) 解析:由f(-x)=-f(x),得-ax3+bx2+c=-ax3-bx2-c, ∴b=c=0. 答案:A 2.已知f(x)是偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,a=f b=f(- A.a<c<b C.b<c<a 解析:f =f ), c = f ,则有( B.b<a<c D.c<a<b , f(- )= f( ). ) , ∵0< 即 f(- < < )<f ,∴f( <f )<f <f , ,∴b<c<a. 答案:C 3.(2009· 辽宁)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调增加,则满足 f(2x-1)<f A. 的x取值范围是( B. ) C. D. 解析:∵f(x)为偶函数,∴f(2x-1)=f(|2x-1|), ∴|2x-1|< 答案:A ,解得 <x< . 4.(2010· 改编题) 设定义在R上的函数 f(x) 满足 f(x+4)=f(x), 若f(2) =2,则 f(2 010)=________. 解析:由 f(x+4)=f(x) 知 f(x)的最小正周期为4, ∴f(2 010)=f(502×4+2)=f(2)=2. 答案:2 利用定义判断函数奇偶性的方法: 1.首先求函数的定义域,定义域关于原点对称是函数是奇函数或偶函数的 必要条件. 2.如果函数的定义域关于原点对称,可进一步判断f(-x)=-f(x), 或f(-x)=f(x)是否对定义域内的每一个x恒成立(恒成立要给予证明,否则 要举出反例). 【例1】 判断下列各函数的奇偶性. (1) f (x)= (2) f(x)=(x-1) ; ; (3) f(x)= . 思维点拨:(1)考虑定义域;(2)利用定义域化简函数;(3)分段讨论. 解:(1)函数定义域为[-1,0)∪(0,1],在定义域内,原函数可化为 f(x)= ,显然f(x)是奇函数. (2)由 ≥0得定义域为[-1,1),不关于原点对称,故f(x)是非奇非偶函数. (3)当x<0时,-x>0, 则f(-x)=-(-x)2-x=-(x2+x)=-f(x); 当x>0时,-x<0, 则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x). 综上,得对任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有f(-x)=-f(x). ∴f(x)为奇函数. 求解过程注意以下结论的应用: f(x)是偶函数:f(-x)=f(x)恒成立; f(x)是奇函数:f(-x)=-f(x)恒成立. 【例2】 设a>0,f(x)= + 是R上的偶函数,求实数a的值. 解:解法一:∵f(x)是R上的偶函数, ∴f(-x)=f(x)在R上恒成立. 即 ∴ + = + ,即(a2-1)e2x+1-a2=0,对任意的x恒成立, 解得a=1. 解法二:∵f(x)是R上的偶函数, ∴f(-1)=f(1),∴ ∴ e+ · +ae= =0, + , ∴ ∴a- (e2-1)=0, =0.又a>0,∴a=1. 经验证当a=1时,有f(-x)=f(x). ∴a=1 2 变式2: 已知y=f(x)是定义域为R的奇函数,当x≥0时,f(x)=x -2x. 求f(x)在R上的解析式. 解:设x<0,则-x>0,由题设f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x. ∵f(x)为奇函数, ∴f(-x)=-f(x), ∴f(x)=-f(-x)=-(x2+2x)=-x2-2x. ∴f(x)= 与奇函数、偶函数有关的求周期函数解析式问题,求解时将x设在所求解 析式的区间上,将x加上或减去周期的倍数,转化为已知解析式的区间, 利用奇、偶函数和周期函数的性质求出解析式. 【例3】已知f(x)是定义在R上的奇函数,且是周期为2的周期函数, 当x∈[0,1)时,f(x)=2x-1,则f(log 1 6)的值为( 2 ) D.-6 A.- B.-5 C.- 解析: 设-3<x<-2,∴-1<x+2<0.∴0<-x-2<1. ∴f(-x-2)=2-x-2-1. ∵f(x)是以2为周期的奇函数, ∴f(-x-2)=-f(x+2)=-f(x). ∴f(x)=1-2-x-2. 答案:C 已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当x∈(0,2)时, 变式3: f(x)=

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