2017_2018版高中数学第一章常用逻辑用语3.1全称量词与全称命题3.2存在量词与特称命题学案北师大版选修2_1

3.1 学习目标 全称量词与全称命题 3.2 存在量词与特称命题 1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和特称命题的概念.3. 能判定全称命题和特称命题的真假并掌握其判断方法. 知识点一 全称量词、全称命题 思考 观察下面的两个语句,思考下列问题: P:m≤5; Q:对所有的 m∈R,m≤5. (1) 上面的两个语句是命题吗?二者之间有什么关系? (2)常见的全称量词有哪些?(至少写出五个). 梳理 (1)概念 短语“______”“每一个”“任何”“__________”“一切”等都是在指定范围内,表示整 体或全部的含义,这样的词叫作全称量词,含有全称量词的命题,叫作__________. (2)全称命题的真假判定 要判定全称命题是真命题,需要对集合 M 中每个元素 x,证明 p(x)成立,但要判定全称命题 是假命题,只需举出一个 x0∈M,使得 p(x0)不成立即可. 知识点二 存在量词、特称命题 思考 观察下面的两个语句,思考下列问题: P:m>5; Q:存在一个 m∈Z,m>5. (1)上面的两个语句是命题吗?二者之间有什么关系? (2)常见的存在量词有哪些?(至少写出五个) 梳理 (1)概念 短语“________”“__________”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义,这样 的词叫作存在量词,含有存在量词的命题,叫作__________. (2)特称命题真假判定 1 要判定一个特称命题是真命题,只需在集合 M 中找到一个元素 x0,使 p(x0)成立即可,否则 这一特称命题就是假命题. 类型一 全称命题与特称命题的判断 命题角度 1 全称命题与特称命题的不同表述 例 1 设 p(x):2x 是偶数,试用不同的表述方式写出下列命题: (1)全称命题:任意 x∈N,p(x); (2)特称命题:存在 x∈N,p(x). 反思与感悟 全称命题或特称命题的表述形式虽然很多,但是具体到一个问题时最为恰当的 却只有一个,解题时注意理解. 跟踪训练 1 “有些整数是自然数”这一命题为________命题.(填“全称”或“特称”) 命题角度 2 全称命题与特称命题的识别 例 2 判断下列命题是全称命题,还是特称命题: (1)凸多边形的外角和等于 360°; (2)有的向量方向不定; (3)对任意角 α ,都有 sin α +cos α =1. 2 2 反思与感悟 判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看量词 .由于某些全称命题的 量词可能省略, 所以要根据命题表达的意义判断, 同时要会用相应的量词符号正确表达命题. 跟踪训练 2 判断下列命题是全称命题还是特称命题. (1)自然数的平方大于或等于零; (2)圆 x +y =1 上存在一个点到直线 y=x+1 的距离等于圆的半径; (3)有的函数既是奇函数又是增函数; (4)对于数列? ? ?,总存在正整数 n,使得 an 与 1 之差的绝对值小于 0.01. ?n+1? 2 2 n ? 2 类型二 全称命题与特称命题的真假的判断 例 3 判断下列命题的真假. (1)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点 P; (2)存在一个函数,既是偶函数又是奇函数; (3)每一条线段的长度都能用正有理数来表示; (4)存在一个实数 x,使得等式 x +x+8=0 成立; (5)任意 x∈R,x -3x+2=0; (6)存在 x∈R,x -3x+2=0. 2 2 2 反思与感悟 要判定全称命题“任意 x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合 M 中每个元素 x, 证明 p(x)都成立;如果在集合 M 中找到一个元素 x0,使得 p(x0)不成立,那么这个全称命题 就是假命题. 要判定特称命题“存在 x∈M,p(x)”是真命题,只需在集合 M 中找到一个元素 x0,使 p(x0) 成立即可;如果在集合 M 中,使 p(x)成立的元素 x 不存在,那么这个特称命题就是假命题. 跟踪训练 3 判断下列命题的真假: (1)有一些奇函数的图像过原点; (2)存在 x∈R,2x +x+1<0; (3)任意 x∈R,sin x+cos x≤ 2. 2 类型三 利用全称命题和特称命题求参数的值或取值范围 例 4 已知下列命题 p(x)为真命题,求 x 的取值范围. (1)命题 p(x):x+1>x; (2)命题 p(x):x -5x+6>0; (3)命题 p(x):sin x>cos x. 3 2 反思与感悟 已知含量词的命题真假求参数的取值范围, 实质上是对命题意义的考查.解决此 类问题,一定要辨清参数,恰当选取主元,合理确定解题思路. 解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识,利用函数、方程、不等 式等知识求解参数的取值范围,解题过程中要注意变量取值范围的限制. 跟踪训练 4 若方程 x +ax+1=0, x +2ax+2=0, x -ax+4=0 中至少有一个方程有实根, 求 a 的取值范围. 2 2 2 1.下列命题中,不是全称命题的是( A.任何一个实数乘以 0 都等于 0 B.自然数都是正整数 C.每一个向量都有大小 D.一定存在没有最大值的二次函数 ) 2.命题 p:存在 x∈N,x <x ;命题 q:任意 a∈(0,1)∪(1,+∞),函数 f(x)=loga(x-1) 的图像过点(2,0),则( A.p 假 q 真 C.p 假 q 假 x 3 2 ) B.p 真 q 假 D.p 真 q 真 3.已知函数 f(x)=|2 -1|,若命题“存在 x1,x2∈[a,b]且 x1<x2,使得 f(x1)>f(x2)”为真 命题,则下列结论一定成立的是( A.a≥0 B.a<0 C.b≤0 D.b>1 4.下列命题中,既是真命题又是特称命题的是( A.存在一个 α ,使 tan(90°-α )=tan α π B.存在实数 x,使 sin x= 2 C.对一

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