高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.5空间向量运算的坐标表示课件新人教A版选修2_1

第三章 §3.1 空间向量及其运算 3.1.5 空间向量运算的坐标表示 学习目标 1.理解空间向量坐标的概念,会确定一些简单几何体的 顶点坐标. 2.掌握空间向量的坐标运算规律,并会判断两个向量是 否共线或垂直. 3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式,并 能运用这些知识解决一些相关问题. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 空间向量的坐标运算 思考 设m=(x1,y1),n=(x2,y2),那么m+n,m-n,λm, m· n如何运算? 答案 m +n=(x1+x2 ,y1 +y2) ,m -n=(x1 -x2 ,y1 -y2) ,λm =(λx1,λy1),m· n=x1x2+y1y2. 梳理 空间向量a,b,其坐标形式为a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3). 向量运 向量表 算 加法 减法 示 a+b a-b (a1+b1,a2+b2,a3+b3) 坐标表示 (a1-b1,a2-b2,a3-b3) ________________ (λa1,λa2,λa3) a1b1+a2b2+a3b3 ______ ________________ ______ 数乘 λa _______________ 知识点二 空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 名 称 满足条件 向量表示形 式 a=λb(λ∈R) a· a 坐标表示形式 a1b1 +a b a3b 0= 2+ 3= a1=λb λb a3 1,a2 2= 2, 2 ∈R 2 ) 2 λb ( λ |a|= 3a1+a2+a3 a∥ b a⊥ b 模 a1b1+a2b2+a3b3 a · b a bb = 0 cos〈 a· , 〉 = cos〈__________________ a,b〉 = 2 2 2 2 2 2 |a||b| a1+a2+a3 b1+b2+b3 |a|=_____ ________________ 题型探究 类型一 空间向量的坐标运算 例1 已知a=(1,-2,1),a-b=(-1,2,-1),则 b等于解析 答案 A.(2,-4,2) B.(-2,4,-2) C.(-2,0,-2) D.(2,1,-3) 依题意,得b=a-(-1,2,-1)=a+(1,-2,1) =2(1,-2,1)=(2,-4,2). 反思与感 悟 关于空间向量坐标运算的两类问题 (1)直接计算问题 首先将空间向量用坐标表示出来,然后准确运用空间向量坐标 运算公式计算. (2)由条件求向量或点的坐标 首先把向量坐标形式设出来,然后通过建立方程组,解方程求 出其坐标. 跟踪训练1 若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1), 且满足条件(c-a)· (2b)=- x=___. 22,则 答案 解析 据题意,有c-a=(0,0,1-x),2b=(2,4,2), 故(c-a)· 2b=2(1-x)=-2,解得x=2. 类型二 空间向量平行、垂直的坐标表示 例 2 已知空间三点 A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设 a → → =AB,b=AC. → (1)若|c|=3,c∥BC.求 c; 解答 → → 因为BC=(-2,-1,2),且 c∥BC, → 所以设 c=λBC=(-2λ,-λ,2λ), 得|c|= ?-2λ?2+?-λ?2+?2λ?2=3|λ|=3, 解得λ=±1.即c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2). (2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求解答 k. → → 因为 a=AB=(1,1,0),b=AC=(-1,0,2), 所以ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4). 又因为(ka+b)⊥(ka-2b),所以(ka+b)· (ka-2b)=0. 即(k-1,k,2)· (k+2,k,-4)=2k2+k-10=0. 5 解得 k=2 或 k=-2. 引申探究 若将本例(2)中改为“若ka-b与ka+2b互相垂直”,求k的值 解答 . 由题意知ka-b=(k+1,k,-2),ka+2b=(k-2,k,4), ∵(ka-b)⊥(ka+2b), ∴(ka-b)· (ka+2b)=0, 5 即(k+1)(k-2)+k -8=0,解得 k=-2 或 k=2, 5 故所求 k 的值为-2 或2. 2 反思与感 悟 (1)平行与垂直的判断 ①应用向量的方法判定两直线平行,只需判断两直线的方向向 量是否共线. ②判断两直线是否垂直,关键是判断两直线的方向向量是否垂 直,即判断两向量的数量积是否为0. (2)平行与垂直的应用 ①适当引入参数(比如向量a,b平行,可设a=λb),建立关于参 数的方程. ②选择坐标形式,以达到简化运算的目的. 跟踪训练 2 在正方体 AC1 中,已知 E 、 F 、 G 、 H 分别是 CC1 、 BC、CD和A1C1的中点. 证明:(1)AB1∥GE,AB1⊥EH; 证明 (2)A1G⊥平面EFD. 证明 ? ? 1 ?? → ?? 1?? → ??1 ? → ? ∵A1G=?2,1,-1?,DF=?1,-2,0?,DE=?1,0,2?, ? ? ? ? ? ? 1 → → 1 1 → → 1 ∴A1G· DF=2-2+0=0,A1G· DE=2+0-2=0, ∴A1G⊥DF,A1G⊥DE. 又DF∩DE=D,∴A1G⊥平面EFD. 类型三 空间向量的夹角与长度的计算 例3 棱长为 1 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中, E , F , G 分别是 DD1,BD,BB1的中点. (1)求证:EF⊥CF; 证明 → → (2)求EF与CG所成角的余弦值; 解答 1 1 1 1 → → 1 因

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