【赢在课堂】2016高考数学 1.4数学归纳法课件 北师大版选修2-2_图文

§1.4 数学归纳法

学习目标 1.能理解用数学归纳法 证明问题的原理. 2.会用数学归纳法证明与正 整数有关的等式及数列问 题. 3.能用数学归纳法证明与 n 有关的不等式整除问题. 4.注意总结用数学归纳法证 明命题的步骤与技巧方法.

思维脉络

1

2

1.数学归纳法 数学归纳法是用来证明某些与正整数 n 有关的数学命题的一种方法.

1

2

2.数学归纳法证明步骤 (1)基本步骤: ①验证:当 n 取第 1 个值 n0(如 n0=1 或 2 等)时,命题成立;

②在假设当 n=k(k∈N+,k≥n0)时命题成立的前提下,推出当 n=k+1 时,
命题成立. 根据①②可以断定命题对一切从 n0 开始的正整数 n 都成立. (2)数学归纳法能保证命题对所有的正整数都成立.因为根据①,验证了 当 n=1 时命题成立;根据②可知,当 n=1+1=2 时命题成立.由于当 n=2 时命 题成立,再根据②可知,当 n+1=3 时命题也成立,这样递推下去,就可以知道 当 n=4,5,?时命题成立,即命题对任意正整数 n 都成立.

1

2

温馨提示
数学归纳法是专门证明与自然数集有关的命题的一种方法 ,它是一种 完全归纳法,是对不完全归纳法的完善.证明分两步,其中第一步是命题成立 的基础,称为“归纳奠基”;第二步解决的是延续性问题,又称“归纳递推”. 运用数学归纳法证明有关命题注意以下几点: (1)两个步骤缺一不可; (2)在第一步中,n 的初始值不一定从 1 取起,也不一定只取一个数(有时 需取 n=n0,n0+1 等),证明应视具体情况而定; (3)第二步中,证明当 n=k+1 时,必须使用归纳假设,否则就会打破数学 归纳法步骤间的严密逻辑关系,造成推理无效; (4)证明当 n=k+1 时命题成立,要明确求证的目标形式,一般要凑出归纳 假设里给出的形式,以便使用归纳假设,然后再去凑出当 n=k+1 时的结论, 这样就能有效减少论证的盲目性.

1

2

做一做 1
用数学归纳法证明 3n>n3(n≥4,n∈N+),第一步应验证( A.n=1 C.n=3 B.n=2 D.n=4 )

解析:由题意知 n≥4,n∈N+,所以第一步应验证 n=4,故选 D. 答案:D

1

2

做一做 2
已知 f(n)=1+ + +…+ (n∈N+),求证:n+f(1)+…+f(n-1)=nf(n)(n≥2 且 n∈N+). 证明:(1)当 n=2 时,左边=2+f(1)=3,右边=2f(2)=3,等式成立. (2)假设 n=k 时,等式成立,即 k+f(1)+…+f(k-1)=kf(k). 那么当 n=k+1 时, k+1+f(1)+…+f(k-1)+f(k) =1+f(k)+kf(k)=(k+1)f(k)+1 1 =(k+1)·() + +1 =(k+1)f(k+1). 即 n=k+1 时,命题成立. 根据(1)和(2),可知结论正确.
1 2 1 3 1

探究一

探究二

探究三

探究四

探究一用数学归纳法证明恒等式
在利用数学归纳法证明恒等式时应特别注意以下三点: (1)在利用数学归纳法由 n=k 到 n=k+1 时,有时不只增加 1 项,并且等式 的左边和右边可能增加的项数不一定相同. (2)第二步中证明当 n=k+1 成立时,一定要用上当 n=k 时的假设. (3)在递推步骤的证明过程中,突出两个凑字:一“凑”假设;二“凑” 结论.关键是明确当 n=k+1 时证明的目标,充分考虑用由 n=k 到 n=k+1 时, 命题形式之间的区别与联系.

探究一

探究二

探究三

探究四

典例提升 1
用数学归纳法证明:1- + ? +?+
1 2 1 3 1 4 1 1 ? 2-1 2

=

1 1 1 + +?+ . +1 +2 2

思路分析:左边式子的特点为:各项分母依次为 1,2,3,…,2n.右边式子的 特点为:分母由 n+1 开始,依次增大 1,一直到 2n,共 n 项. 证明:(1)当 n=1 时,左边=1- = =
1 2 1 2 1 =右边, 1+1

∴ 等式成立.

探究一

探究二

探究三

探究四

(2)假设当 n=k 时等式成立,即
1 1 1 1 1 ? 2 3 4 2-1 2 1 1 1 = + +…+ . +1 +2 2

1- + ? +…+

那么,当 n=k+1 时,
1 2 1 3 1 4

1 1 1 1 ? + ? 2+1 2+2 2-1 2 1 1 1 1 1 = + +?+ + ? +1 +2 2 2+1 2+2 1 1 1 1 1 = +?+ + + +2 2 2+1 +1 2+2 1 1 1 1 = +…+ + + =右边. +2 2 2+1 2(+1)

左边=1- + ? +…+

∴ 当 n=k+1 时等式成立.
根据(1)和(2),可知等式对任意 n∈N+都成立.

探究一

探究二

探究三

探究四

点评
理解等式的特点:在等式左边,当 n 取一个值时,对应两项,即
1 1 ? ; 2-1 2

在等式右边,当 n 取一个值时,对应一项.无论 n 取何值,应保证等式左边有 2n 项,而等式右边有 n 项,然后再按数学归纳法的步骤要求给出证明.

探究一

探究二

探究三

探究四

1 1 1 1 1 变式训练 1 用数学归纳法证明: + + +?+ =1- (其中 2 2 2 2 2
2 3

n∈N+). 思路分析:左边是一个等比数列 虑用数学归纳法.
1 2

的前 n 项和,可用求和公式,这里考

探究一

探究二

探究三

探究四

证明:(1)当 n=1 时,左边= ,右边=1- = ,等式成立. (2)假设当 n=k(k≥1,k∈N+)时,等式成立,即 +
1 2
=1- .

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

2+

1 2

3+…+

1
-1

2

+

1

那么当 n=k+1 时, 左边= +
1 2 1 2
2+

2

1 2

3+…+

所以当 n=k+1 时,等式成立. 根据(1)和(2),可知等式对任意 n∈N+都成立.

2

+ -1

1

1 2

+

2

+1=1-

1

1 2

+

2

+1=1-

1

2-1

2

+1=1-

2

+1=右边.

1

探究一

探究二

探究三

探究四

探究二用数学归纳法证明不等式
利用数学归纳法证明不等式时,往往通过拼凑项或拆项用上归纳假设, 再应用放缩法或其他证明不等式的方法(比较法、综合法、分析法等)证得 当 n=k+1 时命题成立.

典例提升 2
求证:当 n∈N+,n≥2 时,
1 1 1 + +?+ +1 +2 2

>

13 . 24

思路分析:本题为与正整数 n 有关的不等式,可结合不等式的性质加以 变形.

探究一

探究二

探究三

探究四

证明:(1)当 n=2 时,

1 1 + 2+1 2+2

=

7 12

=

14 24

>

13 ,不等式成立. 24

(2)假设当 n=k(k≥2)时不等式成立, 即
1 1 1 + +…+ +1 +2 2

>

13 . 24

那么当 n=k+1 时,

1 1 1 1 1 + +…+ + + +2 +3 2 2+1 2+2 1 1 1 1 1 1 = + +…+ + + ? +1 +2 2 2+1 2+2 +1 1 1 1 1 1 13 1 = + +?+ + ? > + +1 +2 2 2+1 2+2 24 (2+1)(2+2)

>

13 . 24

∴ 当 n=k+1 时,不等式成立.
由(1)(2)知,当 n∈N+,n≥2 时不等式成立.

探究一

探究二

探究三

探究四

点评
应用数学归纳法证题时,关键是利用归纳假设证明当 n=k+1 时的步骤, 要证好这一步,须明确以下两点:一是要证明的结论,二是当 n=k+1 时命题 与归纳假设的区别(即当 n=k+1 时比当 n=k 时增加了哪些项).明确了这两 点也就明确了这一步的证明方向.

探究一

探究二

探究三

探究四

1 1 1 变式训练 2 已知 n>2(n∈N ),求证:1+ + +?+ > 2 3
+

+ 1.

证明:(1)当 n=3 时,左边=1+

1 1 + ,右边= 2 3

3 + 1=2,左边>右边,不等式成立.

(2)假设当 n=k(k∈N+,且 k≥3)时,不等式成立, 即 1+
1 1 1 + +…+ 2 3

> + 1.
1 1 1 1 + +…+ + 2 3 +1

那么当 n=k+1 时,1+ 因为 所以
+2 > +1 1 1+ + 2

> + 1 +

+2 = + 2 = +2 1 1 1 +…+ + 3 +1

1 +1

=

+1+1 +1

=

+2 . +1

( + 1) + 1, > ( + 1) + 1,

所以当 n=k+1 时,不等式成立. 故由(1)(2)知,对一切 n>2(n∈N+),不等式成立.

探究一

探究二

探究三

探究四

探究三用数学归纳法证明几何与整除问题
1.使用数学归纳法证明与正整数 n 有关的几何问题时,关键是找出 n=k 到 n=k+1 时的逆推关系,一般方法是分析增加一条与问题有关的曲线或直 线后,点、线段、曲线段等在 n=k 的基础上的变化情况,寻找递推关系. 2.使用数学归纳法证明整除性问题的常用方法是将 n=k+1 时的式子分 成两部分,一部分应用归纳假设,另一部分经过变形处理,确定其能被某数整 除,而变形的技巧是加减同一项以便提取公因式.

探究一

探究二

探究三

探究四

典例提升 3
根据平面上三角形、四边形、五边形内角和探究平面上凸 n(n≥3,n∈N+)边形的内角和,并证明你的结论. 思路分析:本题考查利用数学归纳法证明平面几何问题的方法.求解时 先根据三角形内角和为 π,四边形内角和为 2π,五边形内角和为 3π,归纳出凸 n(n≥3,且 n∈N+)边形内角和为(n-2)· π 后,再用数学归纳法证明即可.

探究一

探究二

探究三

探究四

证明:由三角形内角和为 π,四边形内角和为 2π,五边形内角和为 3π,猜 测凸 n(n≥3,且 n∈N+)边形内角和为(n-2)· π. 下面用数学归纳法证明: 记 f(n)=(n-2)· π, (1)当 n=3 时,三角形内角和 f(3)=π,而(3-2)· π=π,即命题成立. (2)假设 n=k(k≥3 且 n∈N+)时,命题成立,即 f(k)=(k-2)· π. 当 n=k+1 时,即多一个顶点时,凸 n 边形内角和多 π, f(k+1)=f(k)+π=(k-2)· π+π=(k-1)· π=[(k+1)-2]· π. 即当 n=k+1 时,命题也成立. 由(1)(2)知,对于 n≥3(n∈N+)时,命题成立. 故凸 n(n≥3,且 n∈N+)边形的内角和为(n-2)· π.

探究一

探究二

探究三

探究四

点评
使用数学归纳法探究 n=k 到 n=k+1 时的变化情况,可以利用 f(k+1)-f(k) 结合图形分析.

探究一

探究二

探究三

探究四

典例提升 4
已知 f(n)=(2n+7)· 3n+9. (1)求 f(1),f(2),f(3)的值; (2)是否存在不小于 2 的正整数 m,使得对于任意的正整数 n,f(n)都能被 m 整除?如果存在,求出最大的 m 值;如果不存在,请说明理由. 思路分析:本题考查利用数学归纳法证明整除问题的方法,求解时可先 由 f(1),f(2),f(3)的特征,探究出正整数 m 的值后,再用数学归纳法证明.

探究一

探究二

探究三

探究四

解:(1)由题意 f(n)=(2n+7)· 3n+9,

∴ f(1)=(2×1+7)×31+9=36,
f(2)=(2×2+7)×32+9=3×36=108, f(3)=(2×3+7)×33+9=10×36=360. (2)由(1)可以猜想最大 m=36, 下面用数学归纳法证明. ①当 n=1 时,f(1)=36,显然能被 36 整除;

②假设 n=k(k≥1,k∈N+)时,f(k)能被 36 整除,
即(2k+7)· 3k+9 能被 36 整除,

探究一

探究二

探究三

探究四

那么,当 n=k+1 时, [2(k+1)+7]· 3k+1+9 =[(2k+7)+2]· 3k· 3+9 =3[(2k+7)· 3k+9]+18(3k-1-1). 由假设可知(2k+7)· 3k+9 能被 36 整除,3k-1-1 是偶数,∴ 18(3k-1-1)也能被 36 整除, 由①②可知对任意 n∈N+,f(n)都能被 36 整除.

∴ 最大的 m 值为 36.

点评
用数学归纳法证明有关数或式的整除问题时,要充分利用整除的性质, 将 n=k+1 时的式子进行拆分或配凑.

探究一

探究二

探究三

探究四

探究四易错辨析
易错点:因未用上归纳假设而致误

典例提升 5
用数学归纳法证明:
1 1 1 1 + + +?+ 2×4 4×6 6×8 2(2+2)

=

. 4(+1)

探究一

探究二

探究三

探究四

错证:(1)当 n=1 时,左边=

1 1 ,右边= 2×4 4× (1+1)

=

1 ,等式成立. 4×2

(2)假设当 n=k 时等式成立,那么当 n=k+1 时,直接使用裂项相减法求得
1 1 1 1 1 + + +…+ + 2×4 4×6 6×8 2(2+2) (2+2)(2+4) 1 1 1 1 1 1 + + ? + + 1 1 1 2 4 4 6 2 2 +2 = × 2 2+2 2+4

= ×

1 2

1 1 2 2+4

=

+1 ,即 4[(+1)+1]

n=k+1 时等式成立.

由(1)和(2)可知,等式对一切 n∈N+都成立. 错因分析:由 n=k 到 n=k+1 时等式的证明没有用归纳假设,是典型的套 用数学归纳法的一种伪证.

探究一

探究二

探究三

探究四

正确证法:(1)当 n=1 时,左边= (2)假设当 n=k 时,
1 1 1 1 + + +…+ 2×4 4×6 6×8 2(2+2)

1 2×4

= ,右边= ,等式成立.

1 8

1 8

=

成立. 4(+1)

那么当 n=k+1 时,

1 1 1 1 1 + + +…+ + 2×4 4×6 6×8 2(2+2) (2+2)(2+4) 1 = + 4(+1) 4(+1)(+2) 2 (+2)+1 (+1) = = 4(+1)(+2) 4(+1)(+2) +1 +1 = = , 4(+2) 4[(+1)+1]

∴ 当 n=k+1 时,等式成立.
由(1)和(2),可知对一切 n∈N+等式都成立.

1

2

3

4

5

1.用数学归纳法证明“2n>n2+1 对于 n≥n0 的自然数 n 都成立”时,第一步 证明中的初始值 n0 应取( A.2 B.3 答案:C ) C.5 D.6

1

2

3

4

5

2.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)?(n+n)=2n×1×3×?×(2n-1)(n∈N+),从 “k 到 k+1”左端需增乘的代数式为( A.2k+1 B.2(2k+1) C.
2+1 +1

)

D.

解析:当 n=k 时,左边=(k+1)(k+2)…(k+k), 而当 n=k+1 时, 左边=[(k+1)+1][(k+1)+2]…[(k+1)+(k-1)][(k+1)+k][(k+1)+(k+1)] =(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2) =2(k+1)(k+2)…(k+k)(2k+1). 答案:B

2+3 +1

1

2

3

4

5

3.对于不等式 2 + <n+1(n∈N+),某同学用数学归纳法证明的过程如下: (1)当 n=1 时, 12 + 1<1+1,不等式成立. (2)假设当 n=k(k∈N+)时,不等式成立,即 2 + <k+1, 则当 n=k+1 时, ( + 1)2 + ( + 1) = 2 + 3 + 2 < ( 2 + 3 + 2) + ( + 2)=(k+1)+1,

∴ 当 n=k+1 时,不等式成立.

1

2

3

4

5

关于上述证法,下列说法正确的是( ) A.过程全部正确 B.n=1 时验证不正确 C.归纳假设不正确 D.从 n=k 到 n=k+1 的推理不正确 解析:因为从 n=k 到 n=k+1 的证明过程中没有用到归纳假设. 答案:D

1

2

3

4

5

4.用数学归纳法证明 1+ + +?+ 等式是
1 2 1 3

1 2

1 3

1 <n(n>1 2 -1

且 n∈N+)第一步要证明的不 项.

,从 n=k 到 n=k+1 时,左端增加了

解析:当 n=2 时,1+ + <2.当 n=k 时到第 2k-1 项,而当 n=k+1 时到第 2k+1-1 项,即 2k+1-1-(2k-1)=2k+1-2k=2· 2k-2k=2k. 答案:1+ + <2
1 2 1 3

2k

1

2

3

4

5

5.数列{an}中,a1=1,且 Sn,Sn+1,2S1 成等差数列,则 S2,S3,S4 分别为 , 由此猜想 Sn= . 解析:由题意得 2Sn+1=Sn+2S1,且 S1=a1=1,令式子中的 n 分别取 1,2,3 可得
3 7 15 S2= ,S3= ,S4= ,从而归纳得 2 4 8 3 7 15 2 -1 答案: , , 2 4 8 2-1

Sn=

2 -1 2
-1

.


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