2017-2018学年高中数学必修五学案(41份) 人教课标版9(优秀教案)

2.数列的递推公式(选学)
.体会递推公式是数列的一种表示方法. .理解递推公式的含义,能够根据递推公式写出数列的前几项. .掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式.

.数列的递推公式 如果已知数列的(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的与它的前一项(或前几项) 间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的公式.

()与所有的数列不一定都有通项公式一样,并不是所有的数列都有递推公式.

()递推公式也是给出数列的一种重要方法.事实上,递推公式与通项公式一样,都是关

于的恒等式,我们可用符合要求的正整数依次去替换,从而可以求出数列的各项.

【做一做】数列,…的递推公式是( ).

.=-+(≥) .=-(≥) .=-+,=(≥) .=-,=(≥) .通项公式与递推公式的区别与联系

区别

联系

通项公式

项是序号的函数式=()

已知(或前几项)及相邻项(或相 递推公式
邻几项)间的关系式

都是给出数列的方法,可求出数 列中任意一项

【做一做-】已知在数列{}中,=,=-+(≥),则{}的通项公式是( ).









【做一做-】在数列{}中,=,=,且+-=+(-)(≥),则=.

一、通项公式与递推公式 剖析:递推公式是:已知数列{}的第项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一 项与它的前一项-(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数 列的递推公式.通项公式是:一个数列{}的第项与项数之间的关系,如果可以用一个公式= ()来表示,我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式. 通项公式反映的是项与项数之间的关系,而递推公式反映的是相邻两项(或几项)之间的 关系. 对于通项公式,只要将公式中的依次取值,,…即可得到相应的项;而递推公式则要已 知首项(或前几项),才可求得其他的项.往往我们要利用各种方法将递推公式转化为通项公 式,通项公式能够更直接地研究数列.

递推公式也是给出数列的一种重要方法,有时并不一定要知道数列的通项公式,只要知 道数列的递推公式,即可解决问题,有的递推公式与通项公式之间也可以进行互化.
二、教材中的“?” ()你能猜想出例中这个数列的通项公式吗? 剖析:数列{}的通项公式为=. ()你能比较例中与+的大小吗?你能比较与+的大小吗? 剖析:不能比较+与的大小. 当为奇数时,+>;当为偶数时,+<.

题型由递推公式求通项公式 【例】已知数列{},=,=-+(≥). ()写出数列{}的前项; ()求数列{}的通项公式. 分析:()中只需利用代入法依次求出,,,即可; ()利用下列关系式 ①=(--)+(---)+…+(-)+(-)+; ②=-. 进行累加与裂项相消即可求出{}的通项公式. 反思:()根据递推公式写出数列的前几项,要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计 算即可.另外,解答这类问题时还需注意:若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面 的项表示后面的项的形式;若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的 项的形式. ()累加法 当--=()满足一定条件时,常用=(--)+(---)+…+(-)+累加来求通项公式.

下列说法错误的是( ).

.递推公式也是数列的一种表示方法

.=-,=(≥)是递推公式

.给出数列的方法只有图象法、列表法、通项公式

.=-,=(≥)是递推公式

已知数列{}的首项=,且=-+(≥),则为( ).



..



已知数列{}的第项是,第项是,以后各项由=-+-(>)给出,则该数列的第项等于

( ).



..



一个数列{}的首项=,=,从第二项起每一项等于它的前一项的倍再加上后一项,请写

出构成这个数列的递推公式=.

已知数列{}满足=(为正整数),且=,则数列{}的通项公式为=.

答案:

基础知识·梳理

.第项 任一项 - 递推 【做一做】 【做一做-】

【做一做-】 由题意,知-=+(-),-=+(-),-=+(-),…,-=+(-), 累加上述各式,可得-=.又因为=,所以=.
典型例题·领悟 【例】解:()=;=+=; =+=;=+=; =+=. ()由=-+,得--=(≥), ∴=(--)+(---)+…+(-)+(-)+ =++…+++ =(-)+(-)+…+(-)+(-)+ =-++=-=(∈+). 随堂练习·巩固 . 通过图象、列表、通项公式我们可以确定一个数列,另外根据递推公式,并且知道 数列的第一项,我们也可以确定数列,它也是给出数列的一种方法.=-(≥)与=-(≥),这 两个关系式虽然比较特殊,但都表示的是数列中的任意项与它的前后项间的关系,且都已知, 所以都是递推公式. . 利用递推式可逐个求出,,. . ∵=,=,=-+-(>), ∴=+=+=,=+=+=,=+=+=. .-++(≥) 这个数列给出的方法是不同的,它是由前后项之间的关系确定的,只需要 根据已知条件就可以直接列出关系式,要注意的取值范围. .-
学习是一件增长知识的工作,在茫茫的学海中,或许我们困苦过,在艰难的竞争中,或许我们疲劳过,在失败的阴影中,或许我们失望过。但我们发现自己的知识在慢慢的增长,从哑哑学语
的婴儿到无所不能的青年时,这种奇妙而巨大的变化怎能不让我们感到骄傲而自豪呢?当我们在学习中遇到困难而艰难的战胜时,当我们在漫长的奋斗后成功时,那种无与伦比的感受又有谁
能表达出来呢?因此学习更是一件愉快的事情,只要我们用另一种心态去体会,就会发现有学习的日子真好! 如果你热爱读书,那你就会从书籍中得到灵魂的慰藉;从书中找到生活的榜样;
从书中找到自己生活的乐趣;并从中不断地发现自己,提升自己,从而超越自己。 明天会更好,相信自己没错的! 我们一定要说积极向上的话。只要持续使用非常积极的话语,就能积累起
相关的重要信息,于是在不经意之间,我们就已经行动起来,并且逐渐把说过的话变成现实。


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