北京各区2012-2013高三理科数学期末试题

北京市海淀区 2013 届高三第一学期期末考试数学(理)试 题
2013.1
本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项 中,选出符合题目要求的一项.
1. 复数

2 化简的结果为 1? i
B. ?1 ? i C. 1 ? i D. ?1 ? i

A. 1 ? i 2.已知直线 l : ?

? x ? 2 ? t, ? x ? 2cos? ? 1, ( t 为参数)与圆 C : ? ( ? 为参数) ,则直线 l 的倾斜 ? y ? ?2 ? t ? y ? 2sin ?

角及圆心 C 的直角坐标分别是 A. ,(1,0)

3.向量 a ? (3,4), b ? ( x,2) , 若 a ? b ?| a | ,则实数 x 的值为 A. ?1 B. ?

π 4

B. ,( ?1,0)

π 4

C.

3π ,(1,0) 4
1 3

D.

3π ,(?1,0) 4

1 2

C. ?

D. 1

开始 输入 p

4.某程序的框图如图所示, 执行该程序,若输入的 p 为 24 ,则输出 的 n , S 的值分别为 A. n ? 4, S ? 30 C. n ? 4, S ? 45 B. n ? 5, S ? 30 D. n ? 5, S ? 45
C

n ? 1,S ? 0
S?p
是 否

S = S + 3n n ? n ?1

输出 n ,S 结束

5.如图, PC 与圆 O 相切于点 C ,直线 PO 交圆 O 于 A, B 两点, 弦 CD 垂直 AB 于 E . 则下面结论中,错误 的结论是 .. A. ?BEC ∽ ?DEA C. DE 2 ? OE ? EP B. ?ACE ? ?ACP D. PC 2 ? PA ? AB

B

O

E D

A

P

* 6.数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? r ? an ? r( n ? N , r ? R 且 r ? 0 ) , 则 “ r ? 1” 是 “数列 ?an ?

成等差数列”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

7. 用数字 0,1, 2, 3 组成数字可以重复的四位数, 其中有且只有一个数字出现两次的四位数 的个数为 A. 144 B. 120 C. 108 D. 72 8. 椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,若椭圆 C 上恰好有 6 个不同的 a 2 b2

点 P ,使得 ?F1F2 P 为等腰三角形,则椭圆 C 的离心率的取值范围是 A. ( , )

1 2 3 3

B. ( ,1)

1 2

C. ( ,1)

2 3

D. ( , ) ? ( ,1)

1 1 3 2

1 2

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9. 以 y ? ? x 为渐近线且经过点 (2, 0) 的双曲线方程为______. 10.数列 {an } 满足 a1 ? 2, 且对任意的 m, n ? N* , 都有 和 Sn ? _____.

an ? m ? an , 则 a3 ? _____; {an } 的前 n 项 am

1 11. 在 ( ? 3x 2 )6 的展开式中,常数项为______.(用数字作答) x
12. 三棱锥 D ? ABC 及其三视图中的主视图和左视图如图 所示,则棱 BD 的长为_________.
D

4

? x ? 0, ? 13. 点 P ( x, y ) 在不等式组 ? x ? y ? 3, 表示的平面区域内, ? y ? x ?1 ?
若点 P ( x, y ) 到直线 y ? kx ? 1 的最大距离为 2 2 ,则 k ? ___.

A

C

2 主视图

2

2 3 左视图

B

14. 已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1 ,动点 P 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 表面上运动,
1 且 PA ? r( 0 ? r ? 3 ) , 记点 P 的轨迹的长度为 f (r ) , 则 f ( ) ? ______________;关于 r 的 2 方程 f ( r ) ? k 的解的个数可以为________.(填上所有可能的值).

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明 过程.
15. (本小题满分 13 分)

x x x 1 已知函数 f ( x) ? 3sin cos ? cos2 ? , ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边分别 2 2 2 2

为 a , b, c . (I)求 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅱ)若 f ( B ? C ) ? 1, a ? 3, b ? 1 ,求角 C 的大小.

16.(本小题满分 13 分) 汽车租赁公司为了调查 A,B 两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各 100 辆汽 车,分别统计了每辆车某个星期内的出租天数,统计数据如下表: A 型车 出租天数 车辆数 出租天数 车辆数 1 5 1 14 2 10 2 20 3 30 3 20 B 型车 4 16 5 15 6 10 7 5 4 35 5 15 6 3 7 2

(I)从出租天数为 3 天的汽车(仅限 A,B 两种车型)中随机抽取一辆,估计这辆汽车恰好 是 A 型车的概率; (Ⅱ)根据这个星期的统计数据,估计该公司一辆 A 型车,一辆 B 型车一周内合计出租天数 恰好为 4 天的概率; (Ⅲ)如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同,该公司需要从 A,B 两种车型中购买 一辆,请你根据所学的统计知识,给出建议应该购买哪一种车型,并说明你的理由.

17. (本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?BAC ? 90? ,
B1 A1 C1

AB ? AC ? AA1 ? 2, E 是 BC 中点.
(I)求证: A1B / / 平面 AEC1 ; (II)若棱 AA1 上存在一点 M ,满足 B1M ? C1E ,求 AM 的长; (Ⅲ)求平面 AEC1 与平面 ABB1 A1 所成锐二面角的余弦值.
B A E C

18. (本小题满分 13 分)

e ax . x ?1 (I) 当 a ? 1 时,求曲线 f ( x ) 在 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间.
已知函数 f ( x ) ? 19. (本小题满分 14 分) 已知 E ? 2,2 ? 是抛物线 C : y 2 ? 2 px 上一点,经过点 (2,0) 的直线 l 与抛物线 C 交于 A, B 两点(不同于点 E ) ,直线 EA, EB 分别交直线 x ? ?2 于点 M , N . (Ⅰ)求抛物线方程及其焦点坐标; (Ⅱ)已知 O 为原点,求证: ? MON 为定值.

20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ,若 y ? “一阶比增函数” ;若 y ?

f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数,则称 f ( x ) 为 x

f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数,则称 f ( x ) 为“二阶比增函数”. x2

我们把所有 “一阶比增函数” 组成的集合记为 ?1 , 所有 “二阶比增函数” 组成的集合记为 ? 2 . (Ⅰ)已知函数 f ( x) ? x3 ? 2hx2 ? hx , 若 f (x 求实数 h 的取值范围; ) ??,1 且 f ( x) ??2 , (Ⅱ)已知 0 ? a ? b ? c , f ( x) ??1 且 f ( x ) 的部分函数值由下表给出,

x
f ( x)
求证: d (2d ? t ? 4) ? 0 ;

a
d

b
d

c

a?b?c
4

t

(Ⅲ)定义集合 ? ? f ( x) | f ( x) ??2 , 且存在常数k , 使得任取x ? (0, ??),f ( x) ? k ,

?

?

请问: 是否存在常数 M , 使得 ?f ( x) ? ? ,?x ? (0, ??) , 有 f ( x ) ? M 成立? 若存在,求出 M 的最小值;若不存在,说明理由.

海淀区高三年级第一学期期末练习 数 学 (理) 2013.1

参考答案及评分标准
说明: 合理答案均可酌情给分,但不得超过原题分数. 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 A 2 C 3 A 4 B 5
[YJY.COM/]

6 A

7 C

8 D

D

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分,共 30 分) 9. x 2 ? y 2 ? 4 10. 8; 2n ?1 ? 2 13. ?1 11. 135

12. 4 2 三、 解答 题共 6 小题,共 80 分) 15. (本小题满分 13 分)

14.

3 π; 0,2,3,4 4
题 (本大

x x x 1 解: (I)因为 f ( x) ? 3sin cos ? cos2 ? 2 2 2 2
3 cos x ? 1 1 sin x ? ? 2 2 2 3 1 ? sin x ? cos x 2 2 ?

π ? sin( x ? ) 6

??????6 分

(2kπ ? 又 y ? sin x 的单调递增区间为

π π , 2kπ ? ), ( k ? Z) 2 2

所以令 2kπ ?

π π π ? x ? ? 2 kπ ? 2 6 2

解得 2kπ ?

2π π ? x ? 2kπ ? 3 3
2π π , 2 kπ ? ) , ( k ? Z ) 3 3
??????8 分

所以函数 f ( x ) 的单调增区间为 (2kπ ?

π (Ⅱ) 因为 f ( B ? C ) ? 1, 所以 sin( B ? C ? ) ? 1 , 6 π π 7π 又 B ? C ? (0, π) , B ? C ? ? ( , ) 6 6 6 π π π 所以 B ? C ? ? , B ? C ? , 6 2 3 所 A? 2π 3
??????10 分 由正弦定理 把



sin B sin A ? b a

a ? 3, b ? 1
1 2
b ? a,











sin B ?
12 分 又

??????

B? A







B?

π 6







C?

π 6

??????13 分

16.(本小题满分 13 分) 解: (I)这辆汽车是 A 型车的概率约为

出租天数为3天的A型车辆数 30 ? ? 0.6 出租天数为3天的A,B型车辆数总和 30 ? 20
这 0.6 分 (II)设“事件 Ai 表示一辆A型车在一周内出租天数恰好为 i 天” , 辆 汽 车 是 A 型 车 的 概 率 为 ??????3

“事件 B j 表示一辆B型车在一周内出租天数恰好为 j 天” , 其中 i, j ? 1,2,3,...,7 则该公司一辆 A 型车,一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好为 4 天的概率为

P( A1B3 ? A2 B2 ? A3B1 ) ? P( A1B3 ) ? P( A2 B2 ) ? P( A3B1 ) ? P( A1 ) P( B3 ) ? P( A2 )P( B2 ) ? P( A3 )P( B1 )
5 2 0 1 0 2 0 3 0 1 4 ? ? ? ? ? 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 9 ? 1 2 5 ?

??????5 分 ??????7 分

该公司一辆 A 型车,一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好为 4 天的概率为

9 125

??????9 分 (Ⅲ)设 X 为 A 型车出租的天数,则 X 的分布列为 1 2 3 4 X 5 0.15 6 0.03 7 0.02

P

0.05

0.10

0.30

0.35

设 Y 为 B 型车出租的天数,则 Y 的分布列为

Y P
=3.62

1 0.14

2
0.20

3
0.20

4 0.16

5 0.15

6 0.10

7

[Y.COM/]

0.05

E ( X ) ? 1 ? 0.05 ? 2 ? 0.10 ? 3 ? 0.30 ? 4 ? 0.35 ? 5 ? 0.15 ? 6 ? 0.03 ? 7 ? 0.02

E (Y ) ? 1 ? 0.14 ? 2 ? 0.20 ? 3 ? 0.20 ? 4 ? 0.16 ? 5 ? 0.15 ? 6 ? 0.10 ? 7 ? 0.05
=3.48
??????12 分 一辆 A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为 3.62 天,B 类车型一个星期出租天数的 平均值为 3.48 天. 从出租天数的数据来看,A 型车出租天数的方差小于 B 型车出租天数的 方差,综合分析,选择 A 类型的出租车更加合理 . ??????13 分 17.(本小题满分 14 分) (I) 连接 A1C 交 AC1 于点 O ,连接 EO 因为 ACC1 A1 为正方形,所以 O 为 A1C 中点,

又 E 为 CB 中点,所以 EO 为 ?A1BC 的中位线, 所以 EO / / A1B ??????2 分 又 EO ? 平面 AEC1 , A1B ? 平面 AEC1 所以 A1B / / 平面 AEC1 ??????4 分 (Ⅱ)以 A 为原点, AB 为 x 轴, AC 为 y 轴, AA1 为 z 轴建立空间直角坐标系 所以 A(0,0,0), A1 (0,0,2), B(2,0,0), B1 (2,0,2), C(0,2,0), C1 (0,2,2), E (1,1,0), 设 M (0,0, m)(0 ? m ? 2) ,所以 B1M ? (?2,0, m ? 2), C1E ? (1, ?1, ?2) , 因 为 B1M ? C1E , 所 以

?????

???? ?

????? ???? ? B1M ? C1E ? 0 , 解 得 m ? 1 , 所 以

AM ? 1

??????8 分

(Ⅲ)因为 AE ? (1,1,0), AC1 ? (0,2,2) ,

??? ?

???? ?

? 设平面 AEC1 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,
??? ? ? ? ?x ? y ? 0 ? AE ? n ? 0 ? ? 则有 ? ???? ,得 ? , ? ?y ? z ? 0 ? AC1 ? n ? 0


y ? ?1,



x ? 1, z ? 1













? n ? (1, ?1,1) ,
因 为

??????10 分

AC ?





A B 取 平 面 1 1B , A

ABB1 A1

的 法 向 量 为

??? ? AC ? (0,2,0)


??????11 分 以

c

? ?A

? A ? ? |A

3 3

o

? C

?

? C ? C|

??????13 分 平 面

AEC1 与 平 面

A B A 成 锐 二 面 角 的 余 弦 值 为 1 1B 所

3 3 18. (本小题满分 13 分)
解 : 当

??????14 分

a ?1





e ax f ( x) ? x ?1
??????2 分



f '( x ) ?

e x ( x ? 2) ( x ? 1)2

又 f (0) ? ?1 , f '(0) ? ?2 , 所 以

f ( x)



(0, f (0))







线







y ? ?2 x ? 1
(II) f '( x ) ?

??????4 分

eax [ax ? (a ? 1)] ( x ? 1)2
?1 ?0 ( x ? 1)2

当 a ? 0 时, f '( x ) ?

又函数的定义域为 {x | x ? 1} 所 以

f ( x)

















( ??,1),(1, ??)
当 a ? 0 时,令 f '( x ) ? 0 ,即 ax ? (a ? 1) ? 0 ,解得 x ? 分 当 a ? 0 时, x ?

??????6 分

a ?1 a

??????7

a ?1 ? 1, a

所以 f ?( x) , f ( x) 随 x 的变化情况如下表

x

( ??,1)
?

1
无定义

(1,

a ?1 ) a
?

a ?1 a
0

(

a ?1 , ??) a
?

f '( x)

f ( x)

?
a ?1 ), a

?

极小值

?

所以 f ( x) 的单调递减区间为 ( ??,1) , (1,

单调递增区间为 (

a ?1 , ??) a

??????10 分

当 a ? 0 时, x ?

a ?1 ?1 a

所以 f ?( x) , f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x

( ??,

a ?1 ) a

a ?1 a
0 极大值

(

a ?1 ,1) a
?

1
无定义

(

a ?1 , ??) a
?

f '( x) f ( x)

?

?

?

?

所以 f ( x) 的单调递增区间为 ( ??,

a ?1 ), a
??????13 分

单调递减区间为 (

a ?1 ,1) , (1, ??) a

19. (本小题满分 14 分)
2 解: (Ⅰ)将 E ? 2,2? 代入 y ? 2 px ,得 p ? 1









线







y2 ? 2x













1 ( ,0) 2
(Ⅱ)设 A(

??????3 分

y12 y2 , y1 ) , B( 2 , y2 ) , M ( xM , yM ), N ( xN , yN ) , 2 2

法一: 因为直线 l 不经过点 E ,所以直线 l 一定有斜率 设直线 l 方程为 y ? k ( x ? 2)

与抛物线方程联立得到 ?

? y ? k ( x ? 2)
2 ? y ? 2x

,消去 x ,得:

ky 2 ? 2 y ? 4k ? 0
则由韦达定理得:

y1 y2 ? ?4, y1 ? y2 ?

2 k
??????6 分

直线 AE 的方程为: y ? 2 ?

2 y1 ? 2 ? x ? 2? ? 2 , ? x ? 2 ? ,即 y ? 2 y1 ? 2 y1 ?2 2
, 得



x ? ?2

yM ?

2 y1 ? 4 y1 ? 2
??????9 分 理 可 得 :



yN ?

2 y2 ? 4 y2 ? 2
??????10 分

又 OM ? ( ?2, ym ), ON ? ( ?2,

???? ?

????

?4 ), ym
2 y1 ? 4 2 y2 ? 4 ? y1 ? 2 y2 ? 2

所以 OM ? ON ? 4 ? yM y N ? 4 ?

???? ? ????

? 4?

4[ y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4] [ y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4]

4 ? 4) k ?4? 4 4( ?4 ? ? 4) k 4( ?4 ?
?0
所以 OM ? ON ,即 ? MON 为定值 法二: ??????13 分

π 2

??????14 分

设直线 l 方程为 x ? my ? 2

与抛物线方程联立得到 ?

? x ? my ? 2
2 ? y ? 2x

,消去 x ,得:

y 2 ? 2my ? 4 ? 0
则由韦达定理得:

y1 y2 ? ?4, y1 ? y2 ? 2m
??????6 分 直线 AE 的方程为: y ? 2 ?

2 y1 ? 2 ? x ? 2? ? 2 , ? x ? 2 ? ,即 y ? 2 y1 ? 2 y1 ?2 2
, 得



x ? ?2

yM ?

2 y1 ? 4 y1 ? 2
??????9 分 理 可 得 :



yN ?

2 y2 ? 4 y2 ? 2
??????10 分

又 OM ? ( ?2, ym ), ON ? ( ?2,

???? ?

????

?4 ), ym

???? ? ???? 4( y1 ? 2)( y2 ? 2) OM ? ON ? 4 ? yM y N ? 4 ? ( y1 ? 2)( y2 ? 2)
? 4? 4[ y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4] [ y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4]

?4?

4( ?4 ? 2m ? 4) 4( ?4 ? 2m ? 4)

?0
??????12 分

所以 OM ? ON ,即 ? MON 为定值

π 2

??????13 分

20. (本小题满分 14 分) 解: (I)因为 f ( x ??1 且 f ( x) ??2 , 即 g ( x) ?

)
??????1 分

f ( x) ? x 2 ? 2hx ? h 在 (0, ??) 是增函数,所以 h ? 0 x

而 h( x ) ?

f ( x) h h ? x ? ? 2h 在 (0, ??) 不是增函数,而 h '( x ) ? 1 ? 2 2 x x x

当 h( x ) 是增函数时,有 h ? 0 ,所以当 h( x ) 不是增函数时, h ? 0 综 上 ??????4 分 (Ⅱ) 因为 f ( x) ??1 ,且 0 ? a ? b ? c ? a ? b ? c 所以 , 得

h?0

f (a ) f (a ? b ? c) 4 ? = , a a?b?c a?b?c
4a , a?b?c 4b 4c , f (c) ? t ? a?b?c a?b?c

所以 f ( a ) ? d ?

同理可证 f (b) ? d ?

三式相加得 f (a ) ? f (b) ? f (c ) ? 2d ? t ? 所

4(a ? b ? c ) ? 4, a?b?c


2d ? t ? ?
??????6 分 因为

4

d d b?a ? , 所以 d ( ) ? 0, a b ab


而 0 ? a ? b , 所以 d ? 0 所

d (2d ? t ? 4) ? 0
??????8 分 (Ⅲ) 因为集合 ? ? f ( x) | f ( x) ??2 , 且存在常数k , 使得任取x ? (0, ??),f ( x) ? k , 所以 ?f ( x) ? ? ,存在常数 k ,使得 f ( x ) ? k 对 x ? (0, ??) 成立 我们先证明 f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立 假设 ?x0 ? (0, ??), 使得 f ( x0 ) ? 0 , 记 因为 f ( x ) 是二阶比增函数,即 所以当 x ? x0 时,
f ( x0 ) ?m?0 x0 2

?

?

f ( x) 是增函数. x2

f ( x ) f ( x0 ) ? ? m ,所以 f ( x ) ? mx 2 x2 x0 2

所以一定可以找到一个 x1 ? x0 ,使得 f ( x1 ) ? mx12 ? k 这 盾
f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立



f ( x) ? k



x ? (0, ??)







??????11 分 所以 ?f ( x) ? ? , f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立

下面我们证明 f ( x ) ? 0 在 (0, ??) 上无解 假设存在 x2 ? 0 ,使得 f ( x2 ) ? 0 , 则因为 f ( x ) 是二阶增函数,即 一定存在 x3 ? x2 ? 0 ,
f ( x) 是增函数 x2

f ( x3 ) f ( x 2 ) ? ? 0 ,这与上面证明的结果矛盾 x3 2 x2 2

所以 f ( x ) ? 0 在 (0, ??) 上无解 综上,我们得到 ?f ( x) ? ? , f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立 所以存在常数 M ? 0 ,使得 ?f ( x) ? ? , ?x ? (0, ??) ,有 f ( x ) ? M 成立

1 x f ( x) ?1 又有 2 ? 3 在 (0, ??) 上是增函数 ,所以 f ( x ) ? ? , x x 而任取常数 k ? 0 ,总可以找到一个 x0 ? 0 ,使得 x ? x0 时,有 f ( x ) ? k

又令 f ( x) ? ? ( x ? 0) ,则 f ( x) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立,

所 0



M
??????13 分











北京市西城区 2012 — 2013 学年度第一学期期末试卷

高三数学(理科)
第Ⅰ卷(选择题
共 40 分)

2013.1

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1.已知集合 A ? {x ? R | 0 ? x ? 1} , B ? {x ? R | (2 x ? 1)( x ? 1) ? 0},则 A ? B ? ( (A) (0, ) (C) (??, ?1) ? ( , ??) )

1 2

(B) (?1,1)

1 2

(D) (??, ?1) ? (0, ??)

2.在复平面内,复数 (A)第一象限

5i 的对应点位于( 2?i
(B)第二象限

) (C)第三象限 (D)第四象限

3.在极坐标系中,已知点 P(2, ) ,则过点 P 且平行于极轴的直线的方程是( (A) ? sin ? ? 1 (B) ? sin ? ? 3 (C) ? cos ? ? 1

? 6



(D) ? cos? ? 3

4.执行如图所示的程序框图.若输出 S ? 15 , 则框图中 ① 处可以填入( (A) k ? 2 (B) k ? 3 (C) k ? 4 (D) k ? 5 )

5.已知函数 f ( x) ? x ? b cos x ,其中 b 为常数.那么“ b ? 0 ”是“ f ( x ) 为奇函数”的( (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件



6.已知 a , b 是正数,且满足 2 ? a ? 2b ? 4 .那么 a 2 ? b 2 的取值范围是( (A) ( ,



4 16 ) 5 5

(B) ( ,16)

4 5

(C) (1,16)

(D) (

16 , 4) 5

7.某四面体的三视图如图所示.该四面体的 六条棱的长度中,最大的是( (A) 2 5 (B) 2 6 (C) 2 7 (D) 4 2 )

8.将正整数 1, 2,3, 4,5, 6, 7 随机分成两组,使得每组至少有一个数,则两组中各数之和相等的 概率是( (A) ) (B)

2 21

4 63

(C)

1 21

(D)

2 63

第Ⅱ卷(非选择题

共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 已知向量 a ? (1,3) , b ? (?2,1) , c ? (3, 2) .若向量 c 与向量 ka ? b 共线,则实数 k ? _____.

10.如图, Rt △ ABC 中, ?ACB ? 90? , AC ? 3 ,

BC ? 4 .以 AC 为直径的圆交 AB 于点 D ,则
BD ?
; CD ? ______.

11.设等比数列 {an } 的各项均为正数,其前 n 项和为 Sn .若 a1 ? 1 , a3 ? 4 , Sk ? 63 , 则 k ? ______.

12. 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点是 F1 ,F2 , 点 P 在该椭圆上. 若 | PF 1 | ? | PF 2 | ? 2, 4 2

则△ PF 1F2 的面积是______.

13. 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? 若 f ( x ) 的值域是 [ ?

π π ? ), 其中 x ? [? , a ] . 当 a ? 时, f ( x ) 的值域是______; 6 6 3

1 ,1] ,则 a 的取值范围是______. 2

14.已知函数 f ( x ) 的定义域为 R .若 ? 常数 c ? 0 ,对 ?x ? R ,有 f ( x ? c) ? f ( x ? c) , 则称函数 f ( x ) 具有性质 P .给定下列三个函数: ① f ( x) ? 2 ;
x

② f ( x) ? sin x ;

③ f ( x) ? x ? x .
3

其中,具有性质 P 的函数的序号是______.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 15. (本小题满分 13 分) 在△ ABC 中,已知 3 sin 2B ? 1 ? cos 2B . (Ⅰ)求角 B 的值; (Ⅱ)若 BC ? 2 , A ?

? ,求△ ABC 的面积. 4

16. (本小题满分 14 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形, PA ? PD , PA ? 平面 PDC ,

E 为棱 PD 的中点.
(Ⅰ)求证: PB // 平面 EAC ; (Ⅱ)求证:平面 PAD ? 平面 ABCD ; (Ⅲ)求二面角 E ? AC ? B 的余弦值.

17. (本小题满分 13 分) 生产 A, B 两种元件, 其质量按测试指标划分为: 指标大于或等于 82 为正品, 小于 82 为 次品.现随机抽取这两种元件各 100 件进行检测,检测结果统计如下: 测试指标 元件 A 元件 B

[70,76)

[76,82)
12

[82,88)

[88,94)

[94,100]

8

40 40

32 29

8

7

18

6

(Ⅰ)试分别估计元件 A,元件 B 为正品的概率; (Ⅱ)生产一件元件 A,若是正品可盈利 40 元,若是次品则亏损 5 元;生产一件元件 B, 若是正品可盈利 50 元,若是次品则亏损 10 元 .在(Ⅰ)的前提下,

(ⅰ)记 X 为生产 1 件元件 A 和 1 件元件 B 所得的总利润,求随机变量 X 的分布列 和数学期望; (ⅱ)求生产 5 件元件 B 所获得的利润不少于 140 元的概率.

18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

x ,其中 b ? R . x ?b
2

(Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)设 b ? 0 .若 ? x ? [ , ] ,使 f ( x) ? 1 ,求 b 的取值范围.

1 3 4 4

19. (本小题满分 14 分) 如图,已知抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F .过点 P(2, 0) 的直线交抛物线于 A( x1 , y1 ) ,

B( x2 , y2 ) 两点,直线 AF , BF 分别与抛物线交于点 M , N .
(Ⅰ)求 y1 y2 的值; (Ⅱ) 记直线 MN 的斜率为 k1 , 直线 AB 的斜率为 k2 .证明:

k1 为定值. k2

20. (本小题满分 13 分) 如图, 设 A 是由 n ? n 个实数组成的 n 行 n 列的数表, 其中 aij (i, j ? 1, 2,3, ?, n) 表示位 于第 i 行第 j 列的实数,且 aij ?{1, ?1} .记 S ( n, n ) 为所有这样的数表构成的集合. 对于 A ? S ( n, n ) ,记 ri ( A) 为 A 的第 i 行各数之积,c j ( A) 为 A 的第 j 列各数之积.令

l ( A) ? ? ri ( A) ? ? c j ( A) .
i ?1 j ?1

n

n

(Ⅰ)请写出一个 A ? S ( 4, 4) ,使得 l ( A) ? 0 ; (Ⅱ)是否存在 A ? S (9, 9) ,使得 l ( A) ? 0 ?说明理由; (Ⅲ)给定正整数 n ,对于所有的 A ? S ( n, n ) ,求 l ( A) 的取值集合.

北京市西城区 2012 — 2013 学年度第一学期期末

高三数学(理科)参考答案及评分标准
2013.1 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.D; 2.B; 3.A; 4.C; 5.C; 6.B; 7.C; 8.B.

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. ? 1 ; 12. 2 ;

10.

16 12 , ; 5 5 1 ? ? 13. [ ? ,1] , [ , ] ; 2 6 2

11. 6 ; 14.①③.

注:10、13 题第一问 2 分,第二问 3 分;14 题结论完全正确才给分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分标 准给分. 15. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解法一:因为 3 sin 2B ? 1 ? cos 2B , 所以 2 3 sin B cos B ? 2sin B .
2

………………3 分

因为 0 ? B ? ? , 所以 sin B ? 0 , 从而 tan B ? 3 , 所以 B ? ………………5 分 ………………6 分

π . 3

解法二: 依题意得

3 sin 2B ? cos 2B ? 1 ,

所以 2sin(2 B ? ) ? 1 ,

? 6

即 sin(2 B ?

? 1 )? . 6 2 ? ? 13? ? 2B ? ? , 6 6 6

………………3 分

因为 0 ? B ? ? , 所以 所以 2 B ?

? 5? ? . 6 6 π 所以 B ? . 3 ? π (Ⅱ)解法一:因为 A ? , B ? , 4 3 AC BC ? 根据正弦定理得 , sin B sin A BC ? sin B ? 6. 所以 AC ? sin A 5? 因为 C ? ? ? A ? B ? , 12
所以 sin C ? sin

………………5 分 ………………6 分

………………7 分 ………………8 分 ………………9 分

5? ? ? 6? 2 , ? sin( ? ) ? 12 4 6 4 1 3? 3 . AC ? BC sin C ? 2 2

………………11 分

所以 △ ABC 的面积 S ? 解法二:因为 A ?

………………13 分

? π ,B ? , 4 3 AC BC ? 根据正弦定理得 , sin B sin A BC ? sin B ? 6. 所以 AC ? sin A
2 2 2 根据余弦定理得 AC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC ? cos B , 2 化简为 AB ? 2 AB ? 2 ? 0 ,解得 AB ? 1 ? 3 .

………………7 分 ………………8 分 ………………9 分 ………………11 分

所以 △ ABC 的面积 S ?

1 3? 3 . AB ? BC sin B ? 2 2

………………13 分

16. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:连接 BD 与 AC 相交于点 O ,连结 EO . 因为四边形 ABCD 为正方形,所以 O 为 BD 中点. 因为 E 为棱 PD 中点.
z P E D x A O B y C

所以 PB // EO .

………………3 分

因为 PB ? 平面 EAC , EO ? 平面 EAC , 所以直线 PB //平面 EAC . ………………4 分 (Ⅱ)证明:因为 PA ? 平面 PDC ,所以 PA ? CD . 因为四边形 ABCD 为正方形,所以 AD ? CD , 所以 CD ? 平面 PAD . 所以平面 PAD ? 平面 ABCD . (Ⅲ)解法一:在平面 PAD 内过 D 作直线 Dz ? AD . 因为平面 PAD ? 平面 ABCD ,所以 Dz ? 平面 ABCD . 由 Dz, DA, DC 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系 D ? xyz . …………9 分 设 AB ? 4 ,则 D(0,0,0), A(4,0,0), B(4, 4,0), C(0, 4,0), P(2,0, 2), E (1,0,1) . 所以 EA ? (3,0,?1) , AC ? (?4,4,0) . ………………7 分 ………………8 分 ………………5 分

??? ? ? ?n ? EA ? 0, 设平面 EAC 的法向量为 n = ( x, y,z ) ,则有 ? ???? ? ?n ? AC ? 0.
所以 ? 取 x ? 1 ,得 n ? (1,1,3) . ?? 4 x ? 4 y ? 0. 易知平面 ABCD 的法向量为 v ? (0, 0,1) . 所以 | cos 〈n, v〉 |?

? 3x ? z ? 0,

………………11 分

………………12 分

| n ? v | 3 11 . ? | n || v | 11

………………13 分

由图可知二面角 E ? AC ? B 的平面角是钝角, 所以二面角 E ? AC ? B 的余弦值为 ?

3 11 . 11

………………14 分

解法二:取 AD 中点 M , BC 中点 N ,连结 PM , MN . 因为 ABCD 为正方形,所以 MN // CD . 由(Ⅱ)可得 MN ? 平面 PAD .
P E
M

z

D O
N

C y

x

A

B

因为 PA ? PD ,所以 PM ? AD . 由 MP, MA, MN 两两垂直,建立如图所示 的空间直角坐标系 M ? xyz . ………………9 分

设 AB ? 4 ,则 A(2,0,0), B(2, 4,0), C(?2, 4,0), D(?2,0,0), P(0,0, 2), E (?1,0,1) . 所以 EA ? (3,0,?1) , AC ? (?4,4,0) .

??? ? ? ?n ? EA ? 0, 设平面 EAC 的法向量为 n = ( x, y,z ) ,则有 ? ???? ? ?n ? AC ? 0.
所以 ? 取 x ? 1 ,得 n ? (1,1,3) . ?? 4 x ? 4 y ? 0. 易知平面 ABCD 的法向量为 v ? (0,0,1) . 所以 | cos 〈n, v〉 |?

? 3x ? z ? 0,

………………11 分

………………12 分

| n ? v | 3 11 . ? | n || v | 11

………………13 分

由图可知二面角 E ? AC ? B 的平面角是钝角, 所以二面角 E ? AC ? B 的余弦值为 ?

3 11 . 11

………………14 分

17. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:元件 A 为正品的概率约为

40 ? 32 ? 8 4 ? . 100 5 40 ? 29 ? 6 3 ? . 元件 B 为正品的概率约为 100 4

………………1 分 ………………2 分 ………………3 分

(Ⅱ)解: (ⅰ)随机变量 X 的所有取值为 90, 45,30, ?15 .

4 3 3 P( X ? 9 0 ?) ? ? ; 5 4 5 4 1 1 P ( X ? 30) ? ? ? ; 5 4 5
所以,随机变量 X 的分布列为:

1 3 3 P( X ? 45) ? ? ? ; 5 4 20 1 1 1 P( X ? ?15) ? ? ? . 5 4 20

………………7 分

X
P

90
3 5

45
3 20

30
1 5

?15
1 20
………………8 分

3 3 EX ? 9 0? ? 4 ? 5 ? 5 20

1 1 3 ?0 ? ? ( ? 1 5 )? 5 20

. 66

………………9 分

(ⅱ)设生产的 5 件元件 B 中正品有 n 件,则次品有 5 ? n 件. 依题意,得 50n ? 10(5 ? n) ? 140 , 所以 n ? 4 ,或 n ? 5 . 设“生产 5 件元件 B 所获得的利润不少于 140 元”为事件 A ,
4 4 则 P ( A) ? C5 ( ) ?

解得 n ?

19 . 6
………………11 分

3 4

1 3 5 81 ?( ) ? . 4 4 128

………………13 分

18.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:① 当 b ? 0 时, f ( x) ?

1 . x
………………1 分

故 f ( x ) 的单调减区间为 (??, 0) , (0, ??) ;无单调增区间. ② 当 b ? 0 时, f ?( x) ?

b ? x2 . ( x 2 ? b) 2

………………3 分

令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? b , x2 ? ? b .

f ( x) 和 f ?( x ) 的情况如下:
x
f ?( x) f ( x)

(??, ? b )

? b

(? b , b )

b

( b , ? ?)

?

0

?

0

?







故 f ( x ) 的单调减区间为 (??, ? b ) , ( b , ??) ;单调增区间为 (? b , b ) .

………………5 分 ③ 当 b ? 0 时, f ( x ) 的定义域为 D ? {x ? R | x ? ? ?b}. 因为 f ?( x) ?

b ? x2 ? 0 在 D 上恒成立, ( x 2 ? b) 2

故 f ( x ) 的单调减区间为 (??, ? ?b ) , 无单调增区间. (? ?b , ?b ) , ( ?b , ??) ; ………………7 分 (Ⅱ)解:因为 b ? 0 , x ? [ , ] , 所以 f ( x) ? 1 等价于 b ? ? x2 ? x ,其中 x ? [ , ] .
2 设 g ( x) ? ? x ? x , g ( x) 在区间 [ , ] 上的最大值为 g ( ) ?

1 3 4 4

1 3 4 4

………………9 分

1 3 4 4

1 2

1 .………………11 分 4

则“ ? x ? [ , ] ,使得 b ? ? x2 ? x ”等价于 b ? 所以, b 的取值范围是 (0, ] .

1 3 4 4

1 . 4
………………13 分

1 4

19. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:依题意,设直线 AB 的方程为 x ? my ? 2 . 将其代入 y ? 4 x ,消去 x ,整理得 y ? 4my ? 8 ? 0 .
2 2

………………1 分 ………………4 分 ………………5 分

从而 y1 y2 ? ?8 . (Ⅱ)证明:设 M ( x3 , y3 ) , N ( x4 , y4 ) .

y12 y2 2 ? y ? y4 x1 ? x2 y3 ? y4 k 4 4 ? y1 ? y2 . 则 1 ? 3 ? ? 2 ? 2 k2 x3 ? x4 y1 ? y2 y3 y1 ? y2 y3 ? y4 y ? 4 4 4
设直线 AM 的方程为 x ? ny ? 1 ,将其代入 y ? 4 x ,消去 x ,
2

………………7 分

整理得 y ? 4ny ? 4 ? 0 .
2

………………9 分 ………………10 分

所以 y1 y3 ? ?4 .

同理可得 y2 y4 ? ?4 . 故

………………11 分

k1 y1 ? y2 y ? y2 yy ? ? 1 ? 1 2. k2 y3 ? y4 ?4 ? ?4 ?4 y1 y2

………………13 分

由(Ⅰ)得

k1 ? 2 ,为定值. k2

………………14 分

20. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:答案不唯一,如图所示数表符合要求.

?1 1 1 1

?1 1 1 1

?1 1 1 1

?1 1 1 1
………………3 分 ………………4 分

(Ⅱ)解:不存在 A ? S (9, 9) ,使得 l ( A) ? 0 . 证明如下: 假设存在 A ? S (9, 9) ,使得 l ( A) ? 0 . 因为 ri ( A) ?{1, ?1} , c j ( A) ?{1, ?1} (1 ? i ? 9,1 ? j ? 9) ,

所以 r1 ( A) ,r2 ( A) ,? ,r9 ( A) ,c1 ( A) ,c2 ( A) ,? ,c9 ( A) 这 18 个数中有 9 个 1 ,

9 个 ?1 .
令M ?r 1 ( A) ? r 2 ( A) ??? r 9 ( A) ? c1 ( A) ? c2 ( A) ? ?? c9 ( A) .
9 数中有 9 个 1 , 9 个 ?1 ,从而 M ? (?1) ? ?1 . ①

一方面, 由于这 18 个

81 个实数之积为 另一方面, r 1 ( A) ? r 2 ( A) ? ?? r 9 ( A) 表示数表中所有元素之积(记这
; c1 A ( )c ? A ( ? c? ?A ( 9) m) 2 )
2 也表示 m , 从而 M ? m ? 1 .

② ………………8 分

①、②相矛盾,从而不存在 A ? S (9, 9) ,使得 l ( A) ? 0 .
2 (Ⅲ)解:记这 n 个实数之积为 p .

一方面,从“行”的角度看,有 p ? r 1 ( A) ? r 2 ( A) ??? r n ( A) ;

另一方面,从“列”的角度看,有 p ? c1 ( A) ? c2 ( A) ??? cn ( A) . 从而有 r 1 ( A) ? r 2 ( A) ??? r n ( A) ? c1 ( A) ? c2 ( A) ??? cn ( A) . ③ ………………10 分

注意到 ri ( A) ?{1, ?1} , c j ( A) ?{1, ?1} (1 ? i ? n,1 ? j ? n) . 下面考虑 r1 ( A) , r2 ( A) , ? , rn ( A) , c1 ( A) , c2 ( A) , ? , cn ( A) 中 ?1 的个数: 由③知,上述 2 n 个实数中,?1 的个数一定为偶数,该偶数记为 2k (0 ? k ? n) ;则1 的个数为 2n ? 2k , 所以 l ( A) ? (?1) ? 2k ? 1? (2n ? 2k ) ? 2(n ? 2k ) . 对数表 A0 : aij ? 1 (i, j ? 1, 2,3, ?, n) ,显然 l ( A0 ) ? 2n . 将数表 A0 中的 a11 由 1 变为 ?1 ,得到数表 A1 ,显然 l ( A 1 ) ? 2n ? 4 . 将数表 A1 中的 a22 由 1 变为 ?1 ,得到数表 A2 ,显然 l ( A2 ) ? 2n ? 8 . 依此类推,将数表 Ak ?1 中的 akk 由 1 变为 ?1 ,得到数表 Ak . 即数表 Ak 满足: a11 ? a22 ? ? ? akk ? ?1(1 ? k ? n) ,其余 aij ? 1 . 所以 r 1 ( A) ? r 2 ( A) ? ? ? rk ( A) ? ?1 , c1 ( A) ? c2 ( A) ? ? ? ck ( A) ? ?1 . 所以 l ( Ak ) ? 2[(?1) ? k ? (n ? k )] ? 2n ? 4k . 由 k 的任意性知, l ( A) 的取值集合为 {2(n ? 2k ) | k ? 0,1, 2, ?, n}.……………13 分 ………………12 分

东城区 2012-2013 学年度第一学期期末教学统一检测 高三数学 (理科)

学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页,共 150 分。考试 时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷 和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷(选择题
要求的一项。

共 40 分)

一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目

(1)设集合 A ? {1, 2},则满足 A ? B ? {1, 2,3} 的集合 B 的个数是 (A) 1 (2)已知 a 是实数, (A) ?1 (B) 3 (C) 4 (D) 8

a?i 是纯虚数,则 a 等于 1? i
(B) 1 (C) 2 (D) ? 2

(3)已知 {an } 为等差数列,其前 n 项和为 Sn ,若 a3 ? 6 , S3 ? 12 ,则公差 d 等于 (A) 1 ( B)

5 3

(C) 2

(D) 3

(4)执行如图所示的程序框图,输出的 k 的值为 (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (5)若 a , b 是两个非零向量,则“ a ? b ? a ? b ”是“ a ? b ”的 (A)充分不必要条件 (C)充要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

? x ? 0, ? y ? 0, (6)已知 x , y 满足不等式组 ? 当 3 ? s ? 5 时,目标函数 z ? 3x ? 2 y 的最大值的 ? x ? y ? s , ? ? ? y ? 2 x ? 4.
变化范围是

(A) [6,15]

(B) [7,15]

(C) [6,8]

(D) [7,8]

2 (7)已知抛物线 y ? 2 px 的焦点 F 与双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,抛物线的准线 7 9

与 x 轴的交点为 K ,点 A 在抛物线上且 | AK |? 2 | AF | ,则△ AFK 的面积为 (A)4 (B)8 (C)16 (D)32
1

(8)给出下列命题:①在区间 (0, ??) 上,函数 y ? x?1 , y ? x 2 , y ? ( x ? 1)2 , y ? x3 中有三 个是增函数;②若 logm 3 ? logn 3 ? 0 ,则 0 ? n ? m ? 1 ;③若函数 f ( x) 是奇函数,则

f ( x ? 1) 的图象关于点 A(1,0) 对称;④已知函数 f ( x) ? ?

?3x ?2 ,

x ? 2,

?log3 ( x ? 1), x ? 2,

则方程

f ( x) ?

1 有 2 个实数根,其中正确命题的个数为 2 (A) 1 (B) 2 (C) 3

(D) 4

第Ⅱ卷(共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)若 sin ? ? ?

y 3

y=3x2

3 ,且 tan ? ? 0 ,则 cos? ? 5

2 2



(10)图中阴影部分的面积等于

(11)已知圆 C : x ? y ? 6 x ? 8 ? 0 ,则圆心 C 的坐标为 若直线 y ? kx 与圆 C 相切, 且切点在第四象限, 则k ? (12) 一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的表面积为

; . .

O

1

x

(13)某种饮料分两次提价,提价方案有两种,方案甲:第一次 提价 p% ,第二次提价 q % ; 方案乙: 每次都提价 若 p ? q ? 0 ,则提价多的方案是 .

p?q %, 2

(14)定义映射 f : A ? B ,其中 A ? {(m, n) m, n ? R}, B ? R ,已知对所有的有序正整 数对 (m, n) 满足下述条件: ① f (m,1) ? 1; ②若 n ? m , f (m, n) ? 0 ; ③ f( m ?1 ,n ) ? n [ f(mn ,) 则 f (2, 2) ? , f (n, 2) ? .

f( ? mn , 1 ) ] ?



三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? 3sin x cos x ? cos2 x ? a . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期及单调递减区间; (Ⅱ)若 f ( x ) 在区间 [ ?

? ? 3 , ] 上的最大值与最小值的和为 ,求 a 的值. 6 3 2

(16) (本小题共 13 分) 已知 {an } 为等比数列,其前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2n ? a (n ? N* ) . (Ⅰ)求 a 的值及数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? (2n ? 1)an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

(17) (本小题共 14 分) 如图,在菱形 ABCD 中, ?DAB ? 60? , E 是 AB 的中点, MA ⊥平面 ABCD , 且在矩形 ADNM 中, AD ? 2 , AM ? (Ⅰ)求证: AC ⊥ BN ; (Ⅱ)求证: AN // 平面 MEC ; (Ⅲ)求二面角 M ? EC ? D 的大小. N M

3 7 . 7

D

C B

A (18) (本小题共 13 分) 已知 a ? R ,函数 f ( x) ?

E

a ? ln x ? 1 . x

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? 0,e? 上的最小值.

(19) (本小题共 13 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,动点 P 到两点 (? 3 , 0) , ( 3 , 0) 的距离之和等于 4 ,设

点 P 的轨迹为曲线 C ,直线 l 过点 E (?1, 0 ) 且与曲线 C 交于 A , B 两点. (Ⅰ)求曲线 C 的轨迹方程; (Ⅱ)是否存在△ AOB 面积的最大值,若存在,求出△ AOB 的面积;若不存在,说明 理由.

(20) (本小题共 14 分) 已知实数组成的数组 ( x1 , x2 , x3 ,?, xn ) 满足条件: ①

? xi ? 0 ;
i ?1

n



?x
i ?1

n

i

?1.

(Ⅰ) 当 n ? 2 时,求 x1 , x2 的值; (Ⅱ)当 n ? 3 时,求证: 3x1 ? 2x2 ? x3 ? 1; (Ⅲ)设 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ,且 a1 ? an (n ? 2) , 求证:

?a x
i ?1

n

i i

1 ? (a1 ? an ) . 2

东城区 2012-2013 学年度第一学期期末教学统一检测 高三数学参考答案及评分标准 (理科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)C (5)C (2)B (6)D (3)C (7)D (4)A (8)C

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) ?

4 5

(10) 1 (13)乙

(11) (3, 0) (14) 2

?

2 4

(12) 75 ? 4 10

2n ? 2

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ?

3 1 ? cos 2 x sin 2 x ? ?a 2 2

? 1 ? sin(2 x ? ) ? a ? .?????????????????3 分 6 2
所以 T ? ? .???????????????????????4 分

? ? 3? ? 2k ? ? 2 x ? ? ? 2k ? , 2 6 2 ? 2? ? k? . 得 ? k? ? x ? 6 3 ? 2? ? k ?] ( k ? Z ) 故函数 f ( x ) 的单调递减区间是 [ ? k ?, .???????7 分 6 3 ? ? (Ⅱ)因为 ? ? x ? , 6 3 ? ? 5? 所以 ? ? 2 x ? ? . 6 6 6 1 ? 所以 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 .??????????????????????10 分 2 6 ? ? 1 1 1 3 因为函数 f ( x ) 在 [ ? , ] 上的最大值与最小值的和 (1 ? a ? ) ? (? ? a ? ) ? , 6 3 2 2 2 2 所以 a ? 0 .????????????????????????????13 分
由 (16) (共 13 分) 解: (Ⅰ)当 n ? 1 时, S1 ? a1 ? 2 ? a .???????????????1 分

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n?1 .???????????????????3 分 因为 {an } 是等比数列, 所以 a1 ? 2 ? a ? 21?1 ? 1 ,即 a1 ? 1 . a ? ?1 .??????????????5 分 所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n?1 (n ? N* ) .?????????????6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 bn ? (2n ?1)an ? (2n ?1) ? 2n?1 . 则 Tn ? 1?1 ? 3? 2 ? 5 ? 22 ? 7 ? 23 ? ?? (2n ?1) ? 2n?1 . ① ②

2Tn ?

1? 2 ? 3? 22 ? 5 ? 23 ? ?? (2n ? 3) ? 2n?1 ? (2n ?1) ? 2n .

①-②得 ?Tn ? 1?1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 22 ? ?? 2 ? 2n?1 ? (2n ?1) ? 2n ???????9 分

? 1 ? 2(2 ? 22 ? ? ? 2n?1 ) ? (2n ?1) ? 2n ? 1 ? 4(2n?1 ?1) ? (2n ?1) ? 2n ? ?(2n ? 3) ? 2n ? 3 .???????????????????12 分
所以 Tn ? (2n ? 3) ? 2n ? 3 .???????????????????????13 分 (17) (共 14 分) 解: (Ⅰ)连结 BD ,则 AC ? BD . 由已知 DN ? 平面 ABCD , 因为 DN ? DB ? D , 所以 AC ? 平面 NDB .????????2 分 又因为 BN ? 平面 NDB , 所以 AC ? BN .????????4 分 (Ⅱ) CM 与 BN 交于 F ,连结 EF . 由已知可得四边形 BCNM 是平行四边形, 所以 F 是 BN 的中点. 因为 E 是 AB 的中点, 所以 AN // EF .??????????7 分 又 EF ? 平面 MEC , A x E B D C F y M z N

AN ? 平面 MEC ,

所以 AN // 平面 MEC . ???????????????????????9 分 (Ⅲ)由于四边形 ABCD 是菱形, E 是 AB 的中点,可得 DE ? AB . 如图建立空间直角坐标系 D ? xyz ,则 D(0,0,0) , E( 3,0,0) , C (0, 2,0) ,

M ( 3, ?1,

3 7 ). 7

???? ? ??? ? 3 7 ) .????????????????10 分 CE ? ( 3, ?2.0) , EM ? (0, ?1, 7
设平面 MEC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) .

??? ? ? CE ? ? n ? 0, 则 ? ???? ? ? ? EM ? n ? 0.
? 3 x ? 2 y ? 0, ? 所以 ? 3 7 z ? 0. ?y ? 7 ?
令 x ? 2. 所以 n ? (2, 3,

21 ) .???????????????????????12 分 3

又平面 ADE 的法向量 m ? (0,0,1) , 所以 cos ? m, n ??

m?n 1 ? . m n 2

所以二面角 M ? EC ? D 的大小是 60°. ???????????????14 分 (18) (共 13 分) 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ?

1 ? ln x ? 1 , x ? (0,??) , x 1 1 x ?1 所以 f ?( x) ? ? 2 ? ? 2 , x ? (0,??) .????????????2 分 x x x 1 因此 f ?(2) ? . 4 1 即曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线斜率为 . ??????????4 分 4 1 又 f (2) ? ln 2 ? , 2 1 1 所以曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 y ? (ln 2 ? ) ? ( x ? 2) , 2 4
即 x ? 4 y ? 4ln 2 ? 4 ? 0 .?????????????????6 分

(Ⅱ)因为 f ( x) ?

a a 1 x?a ? ln x ? 1 ,所以 f ?( x) ? ? 2 ? ? 2 . x x x x

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? a . ?????????????????8 分 ①若 a≤0 ,则 f ?( x) ? 0 , f ? x ? 在区间 ? 0,e 上单调递增,此时函数 f ( x ) 无最小值. ②若 0 ? a ? e ,当 x ? ? 0, a ? 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ? x ? 在区间 ? 0, a ? 上单调递减, 当 x ? ? a,e? 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ? x ? 在区间 ? a,e 上单调递增, 所以当 x ? a 时,函数 f ( x ) 取得最小值 ln a .????????????10 分 ③若 a≥e ,则当 x ? ? 0,e? 时, f ?( x)≤0 ,函数 f ? x ? 在区间 ? 0,e 上单调递减, 所以当 x ? e 时,函数 f ( x ) 取得最小值

?

?

?

a .?????????????12 分 e

综上可知,当 a≤0 时,函数 f ? x ? 在区间 ? 0,e 上无最小值; 当 0 ? a ? e 时,函数 f ? x ? 在区间 ? 0,e 上的最小值为 ln a ; 当 a≥e 时,函数 f ? x ? 在区间 ? 0,e 上的最小值为 (19) (共 13 分) 解.(Ⅰ)由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 (? 3 , 0) , ( 3 , 0) 为焦点,长半轴长为 2 的椭圆.?????????????????????????????3 分 故曲线 C 的方程为

?

?

?

a .?????13 分 e

x2 ? y 2 ? 1. ???????????????????5 分 4

(Ⅱ)存在△ AOB 面积的最大值. ???????????????????6 分 因为直线 l 过点 E (?1, 0 ) ,可设直线 l 的方程为 x ? my ? 1 或 y ? 0 (舍) .

? x2 2 ? ? y ? 1, 则? 4 ? x ? my ? 1. ?
整理得 (m ? 4) y ? 2my ? 3 ? 0 .?????????????7 分
2 2

由 ? ? (2m) ? 12(m ? 4) ? 0 .
2 2

设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) .

解得

y1 ?

m ? 2 m2 ? 3 , m2 ? 4

y2 ?

m ? 2 m2 ? 3 . m2 ? 4

2 ?3 . 则 | y2 ? y1 |? 4 m 2 m ?4 1 因为 S ?AOB ? OE ? y1 ? y2 2

?

2 m2 ? 3 2 ? m2 ? 4 m2 ? 3 ?
2

1 m2 ? 3

. ?????????10 分

设 g (t ) ? t ? , t ? m ? 3 , t ? 3 . 则 g (t ) 在区间 [ 3, ??) 上为增函数. 所以 g (t ) ?

1 t

4 3 . 3

所以 S?AOB ?

3 3 ,当且仅当 m ? 0 时取等号,即 ( S ?AOB ) max ? . 2 2 3 .????????????????????????13 分 2

所以 S?AOB 的最大值为 (20) (共 14 分) (Ⅰ)解: ?

? ? x1 ? x2 ? 0, ? ? x1 ? x2 ? 1.

(1) (2)

由(1)得 x2 ? ? x1 ,再由(2)知 x1 ? 0 ,且 x2 ? 0 .

1 ? x ? , 1 ? ? 2 当 x1 ? 0 时, x2 ? 0 .得 2 x1 ? 1 ,所以 ? ???????????2 分 1 ?x ? ? . 2 ? ? 2 1 ? x1 ? ? , ? ? 2 当 x1 ? 0 时,同理得 ? ??????????????????4 分 ?x ? 1 . 2 ? ? 2
(Ⅱ)证明:当 n ? 3 时, 由已知 x1 ? x2 ? x3 ? 0 , x1 ? x2 ? x3 =1. 所以 3x1 ? 2x2 ? x3 ? x1 ? 2( x1 ? x2 ? x3 ) ? x3 ? x1 ? x3

? x1 ? x3 ? 1.??????????????????9 分
(Ⅲ)证明:因为 a1 ? ai ? an ,且 a1 ? an (i ? 1, 2,3,?, n) . 所以 (a1 ? ai ) ? (ai ? an ) ? (a1 ? ai ) ? (ai ? an ) ? a1 ? an , 即 a1 +an ? 2ai ? a1 ? an

(i ? 1, 2,3,?, n) .???????????11 分

? ai xi ?
i ?1

n

1 n 1 n 1 a x ? a x ? an ? xi ? ? i i 1? i 2 i ?1 2 i ?1 2 i ?1

n

? (2a ? a ? a ) x
i ?1 i 1 n

n

i

?

1 n 1 n ) ( a ? a ? 2 a x ? ( a1 ? an xi ) ? 1 n i i 2? 2 i ?1 i ?1 1 a1 ? an 2
n

?
?

?x
i ?1

i

1 ( a1 ? an ) .???????????????????????14 分 2

北京市朝阳区 2012-2013 学年度高三年级第一学期期末统一考试

数学测试题(理工类)
(考试时间 120 分钟 满分 150 分) 本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分

2013.1

第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1. 已知 i 是虚数单位,若复数 (1 ? ai)(2 ? i) 是纯虚数,则实数 a 等于 A. 2 B.

1 2

C. ?

1 2

D. ?2

2 2 2.“ k ? 1 ”是“直线 x ? y ? k ? 0 与圆 x ? y ? 1 相交”的

开始

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

输入 x

3.执行如图所示的程序框图.若输入 x ? 3 ,则输出 k 的值是 A. 3 C. 5 B. 4 D. 6

k ?0 x ? x?5
k ? k ?1

4.已知双曲线的中心在原点,一个焦点为 F1 (? 5,0) , 点 P 在双曲线上,且线段 PF1 的中点坐标为 (0, 2) ,则 此双曲线的方程是

x ? 23?
是 输出 k



x2 ? y2 ? 1 A. 4 x2 y2 ? ?1 C. 2 3

y2 2 ?1 B. x ? 4 x2 y2 ? ?1 D. 3 2

结束

5.某中学从 4 名男生和 3 名女生中推荐 4 人参加社会公益活动, 若选出的 4 人中既有男生又有女生,则不同的选法共有 A. 140 种 B. 120 种 C. 35 种 D. 34 种[ 6.已知三棱锥的底面是边长为 1 的正三角形,其正视图与俯视图如图所 示,则其侧视图的面积为

3

1
正视图

3 A. 4

3 B. 2

正 视 图
俯视图

C.

3 4

D. 1

2 2 7.设集合 A= x x ? 2 x ? 3 ? 0 ,集合 B= x x ? 2ax ? 1 ? 0, a ? 0 .若 A ? B 中恰含有一

?

?

?

?

个整数,则实数 a 的取值范围是 A. ? 0, ?

? ?

3? 4?

B. ? ,

?3 4 ? ? ?4 3 ?

C. ? , ?? ?

?3 ?4

? ?

D. ?1, ?? ?

AB , BD1 (不包括 8. 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,点 P1 , P 2 分别是线段
端点)上的动点,且线段 P 1 P 2 平行于平面 A 1 ADD 1 ,则四面体 PP 1 2 AB 1 的体积的最大值是 A.

1 24

B.

1 12

C.

1 6

D.

1 2

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. 9. 已知数列 1, a1 , a2 ,9 是等差数列,数列 1, b1 , b2 , b3 ,9 是等比数列,则

b2 的值为 a1 ? a2

.

10. 如图, AB , CD 是半径为 a 的圆 O 的两条弦,它们相交于 AB 的中点 P . 若 PD ?

2a , ?OAP ? 30? ,则 AB = 3

, CP ?

(用 a 表示).

O P

A D

C ? x …0, B ? 11.若关于 x , y 的不等式组 ? y …x, ( k 是常数)所表示的平面区域的边界是一个 ? kx ? y ? 1 …0 ?

直角三角形,则 k ?

. .

12. 在极坐标系中, 过圆 ? ? 4cos ? 的圆心, 且垂直于极轴的直线的极坐标方程为

13.在直角三角形 ABC 中, ?ACB ? 90? , AC ? BC ? 2 ,点 P 是斜边 AB 上的一个三等 分点,则 CP ? CB ? CP ? CA ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ?



14. 将整数 1, 2,3,?, 25 填入如图所示的 5 行 5 列的表格中,使每一行 的数字从左到右都成递增数列, 则第三列各数之和的最小值为 最大值为 . ,

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算 步骤或证明过程.

15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin

x x x cos ? cos 2 ? 1 . 2 2 2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及单调递减区间; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在 [ ,

? ?? ] 上的最小值. ? ?

16. (本小题满分 14 分) 在长方体 ABCD-A 2 ,点 E 在棱 CD 上,且 CE= CD . 1B 1C1D 1 中, AA=AD= 1 (Ⅰ)求证: AD1 ? 平面 A1B1D ;
D

1 3

E C

(Ⅱ)在棱 AA1 上是否存在点 P ,使 DP ∥平面 B1 AE ? 若存在, 求出线段 AP 的长; 若不存在, 请说明理由; (Ⅲ)若二面角 A-B1E-A1 的余弦值为 长. 17. (本小题满分 13 分) 某中学举行了一次“环保知识竞赛”,全校学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩 情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数,满分为 100 分)作为样本进行统计.请 根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图 (如图所示) 解决下列问题: 频率分布表
频率分布直方图
A1 B1 A B

30 ,求棱 AB 的 6

D1

C1

组别 第1组 第2组

分组 [50,60) [60,70)

频数 8 a

频率 0.16 ▓

(Ⅰ) 写出

0.040 x

频率 组距

a, b, x, y

的值; 20 0.40 第3组 [70,80) ▓ (Ⅱ) ▓ 0.08 第4组 [80,90) 在选 0.008 2 b 第5组 [90,100] y 取的 ▓ ▓ 合计 90 100 70 50 60 80 样本 成绩(分) 中,从竞赛成绩是 80 分以上(含 80 分)的同学 中随机抽取 2 名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动,求所抽取的 2 名同学来自 同一组的概率; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设 ? 表示所抽取的 2 名同学中来自第 5 组的人数,求 ? 的分布列 及其数学期望.



18. (本小题满分 13 分)
1 已知函数 f ( x) ? a( x ? ) ? 2ln x (a ? R) . x

(Ⅰ)若 a ? 2 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间;
a (Ⅲ)设函数 g ( x) ? ? .若至少存在一个 x0 ? [1,e] ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求实数 a 的 x

取值范围. 19.(本小题满分 14 分) 已知点 A 是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? t ? 0 ? 的左顶点,直线 l : x ? my ? 1( m ? R ) 与椭圆 9 t
16 . 3

C 相交于 E , F 两点,与 x 轴相交于点 B .且当 m ? 0 时,△ AEF 的面积为

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 AE , AF 与直线 x ? 3 分别交于 M , N 两点,试判断以 MN 为直径的圆是 否经过点 B ?并请说明理由. 20. (本小题满分 13 分) 将正整数 1, 2,3, 4,?, n ( n ? 2 )任意排成 n 行 n 列的数表.对于某一个数表,计算各
2

行和各列中的任意两个数 a , b( a ? b )的比值

a ,称这些比值中的最小值为这个数表的“特 b

征值”. (Ⅰ)当 n ? 2 时,试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值” ; (Ⅱ)若 aij 表示某个 n 行 n 列数表中第 i 行第 j 列的数( 1 ? i ? n , 1 ? j ? n ) ,且满足

?i ? ( j ? i ? 1)n, i ? j, 请分别写出 n ? 3, 4,5 时数表的“特征值” ,并由此归 aij ? ? ?i ? (n ? i ? j ? 1)n,i ? j,
纳此类数表的“特征值” (不必证明) ; (Ⅲ)对于由正整数 1, 2,3, 4,?, n 排成的 n 行 n 列的任意数表,记其“特征值”为 ? ,求
2

证: ? ?

n ?1 n

北京市朝阳区 2012-2013 学年度高三年级第一学期期末统一考试

数学测试题答案(理工类)
一、选择题: 题号 (1) (2) (3) (4) (5) (6)

2013.1

(7)

(8)

答案

A

A (10)

C (11)

B

D (12)

C (13)

B

A (14)

二、填空题: 题号 (9) 答案

3 10

3a ;

9a 8

?1 或 0

? cos ? ? 2

4

45 ; 85

(注:两空的填空,第一空 3 分,第一空 2 分) 三、解答题: (15) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? sin

x x 1 ? cos x cos ? ?1 2 2 2 1 1 1 ? sin x ? cos x ? 2 2 2

????????????????2 分

?

2 ? 1 sin( x ? ) ? . 2 4 2

?????????????????4 分

所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 2 ? . 由 2k ? ?

????????????????6 分

? ? 3? ? 5? ? x ? ? 2k ? ? , k ? Z ,则 2k ? ? ? x ? 2k ? ? . 2 4 2 4 4 ? 5? ] , k ? Z . ?????????9 分 函数 f ( x ) 单调递减区间是 [2k ? ? , 2k ? ? 4 4 ? ?? ? ? 7 ? (Ⅱ)由 ? x ? , 得 ? x? ? . ???????????????11 分 ? ? 2 4 4
则当 x ?

5? ? 3? 2 ?1 ? ,即 x ? 时, f ( x ) 取得最小值 ? . 4 4 2 2

???????13 分

(16) (本小题满分 14 分) 证明: (Ⅰ)在长方体 ABCD-A 1B 1C1D 1 中, 因为 A1B1 ? 面 A 1D 1 DA , 所以 A 1B 1 ? AD 1. ????????2 分
A B D E C

在矩形 A 2, 1D 1 DA 中,因为 AA=AD= 1 所以 AD1 ? A 1D .
A1

D1

C1

B1





AD1 ?



A1B1D . ????????????????????????4 分

(Ⅱ)如图,在长方体 ABCD-A 1B 1C1D 1 中,以 D 1 为原点建立空间直角坐标系 D 1 ? xyz . 依题意可知, D1 (0,0,0), A 1 (2,0,0), D(0,0, 2) ,
D z

E C

A(2,0, 2) ,
设 AB 的长为 x ,则 C1 (0, x,0), B1 (2, x,0) ,
A B

2 C (0, x, 2), E (0, x, 2) . 3
假设在棱 AA1 上存在点 P ,使得 DP ∥平面 B1 AE . 设点 P (2,0, y) ,则 DP ? (2,0, y - 2) ,
D1 C1

y

??? ?

A1 x B1

??? ? AP ? (0,0, y - 2) .
易知 B1 E=(-2, -

????

??? ? 1 2 x, 2), AE ? (-2, x, 0) . 3 3

设平面 B1 AE 的一个法向量为 n ? (a, b, c) ,

1 ? ???? -2a - xb ? 2c = 0 ? ? B E ? n = 0 ? ? 1 3 则 ? ??? ,即 ? .??????????????????7 分 ? 2 AE ? n = 0 ? ? -2a + xb = 0 ? ? 3 ?
3 3 x ,所以 n ? ( x,3, x) . 2 2 ??? ? 因为 DP ∥平面 B1 AE ,等价于 DP ? n ? 0 且 DP ? 平面 B1 AE .
令 b ? 3 得, a ? x, c ?

2 3 x ? 0 ,所以 y ? . 3 2 ??? ? ??? ? 4 4 4 所以 AP ? (0, 0, - ) , AP ? ,所以 AP 的长为 .????????????9 分 3 3 3
得 2 x + ( y - 2) ? (Ⅲ)因为 CD ∥ A1B1 ,且点 E ? CD , 所以平面 A 1B 1E 、平面 A 1B 1 D 与面 A 1B 1CD 是同一个平面. 由(Ⅰ)可知, AD1 ? 面 A1B1D , 所以 D1 A ? (2,0, 2) 是平面 A 1B 1E 的一个法向量.

???? ?

????????????11 分

由(Ⅱ)可知,平面 B1 AE 的一个法向量为 n ? ( x,3, 因为二面角 A-B1E-A1 的余弦值为

3 x) . 2

30 , 6

???? ? D1 A ? n 30 ? ???? ? 所以 cos ? ? ? 6 AD1 ? n
故 AB 的长为 3 2 . (17) (本小题满分 13 分)

2 x + 3x 3 2 2 ? x ? 9 ? ( x) 2 2
2

,解得 x ? 3 2 .

??????????????????????14 分

解: (Ⅰ)由题意可知, a ? 16, b ? 0.04, x ? 0.032, y ? 0.004 . ??????4 分 (Ⅱ)由题意可知,第 4 组有 4 人,第 5 组有 2 人,共 6 人. 从竞赛成绩是 80 分以上(含 80 分)的同学中随机抽取 2 名同学有
2 C6 ? 15 种情况.

????????????????????????6 分

设事件 A :随机抽取的 2 名同学来自同一组,则
2 2 C4 ? C2 7 P( A) ? ? . 2 C6 15

所以,随机抽取的 2 名同学来自同一组的概率是 (Ⅲ)由(Ⅱ)可知, ? 的可能取值为 0,1, 2 ,则

7 . ??????????8 分 15

P(? ? 0) ?

2 1 1 2 C4 C4 C2 8 C2 6 2 1 , , ? ? P ( ? ? 1) ? ? P ( ? ? 2) ? ? . 2 2 2 C6 15 5 C6 15 C6 15

所以, ? 的分布列为

?
P

0
2 5

1

2

8 15

1 15

????????????????12 分

所以, E? ? 0 ?

2 8 1 2 ? 1? ? 2 ? ? . ??????????????13 分 5 15 15 3

(18) (本小题满分 13 分)

解:函数的定义域为 ? 0, ??? ,

1 2 ax2 ? 2x ? a . ???????????????????1 分 ) ? ? x2 x x2 1 (Ⅰ)当 a ? 2 时,函数 f ( x) ? 2( x ? ) ? 2ln x , f (1) ? 0 , f ?(1) ? 2 . x f ?( x) ? a(1 ?
所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 0 ? 2( x ? 1) , 即 2 x ? y ? 2 ? 0 .???????????????????????????3 分 (Ⅱ)函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) . (1)当 a ? 0 时, h( x) ? ax2 ? 2x ? a ? 0 在 (0, ??) 上恒成立, 则 f ?( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立,此时 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递减. ?????4 分
2 (2)当 a ? 0 时, ? ? 4 ? 4a ,

(ⅰ)若 0 ? a ? 1 , 由 f ?( x) ? 0 ,即 h( x ) ? 0 ,得 x ?

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 或x? ; ??????5 分 a a

由 f ?( x) ? 0 ,即 h( x) ? 0 ,得

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 .?????????6 分 ?x? a a 1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 ) 和( , ??) , a a
??????????????7 分

所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0,

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 单调递减区间为 ( , ). a a

(ⅱ)若 a ? 1 , h( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立,则 f ?( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立,此时 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增. ????????????????????????8 分 (Ⅲ) )因为存在一个 x0 ? [1,e] 使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) , 则 ax0 ? 2ln x0 ,等价于 a ?

2 ln x0 .???????????????????9 分 x0

令 F ( x) ?

2 ln x ,等价于“当 x ? ?1,e? 时, a ? F ? x ?min ”. x
2(1 ? ln x) . x2
?????????????????10 分

对 F ( x) 求导,得 F ?( x) ?

因为当 x ? [1, e] 时, F ?( x) ? 0 ,所以 F ( x) 在 [1, e] 上单调递增. ?????12 分 所以 F ( x)min ? F (1) ? 0 ,因此 a ? 0 . 另解:
设 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? ax ? 2ln x ,定义域为 ? 0, ??? , ????????????????13 分

F? ? x? ? a ?

2 ax ? 2 ? . x x

依题意,至少存在一个 x0 ? [1,e] ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立, 等价于当 x ? ?1,e? 时, F ? x ?max ? 0 . (1)当 a ? 0 时, ???????????????9 分

F ? ? x ? ? 0 在 ?1,e? 恒成立, 所以 F ? x ? 在 ?1,e? 单调递减, 只要 F ? x ?max ? F ?1? ? a ? 0 ,
则不满足题意. ??????????????????????????10 分

(2)当 a ? 0 时,令 F ? ? x ? ? 0 得 x ? (ⅰ)当 0 ?

2 . a

2 ? 1 ,即 a ? 2 时, a

在 ?1,e? 上 F ? ? x ? ? 0 ,所以 F ? x ? 在 ?1,e? 上单调递增, 所以 F ? x ?max ? F ? e? ? ae ? 2 , 由 ae ? 2 ? 0 得, a ? 所以 a ? 2 . (ⅱ)当

2 , e

??????????????????????????11 分

2 2 ? e ,即 0 ? a ? 时, a e

在 ?1,e? 上 F ? ? x ? ? 0 ,所以 F ? x ? 在 ?1,e? 单调递减, 所以 F ? x ?max ? F ?1? ? a ,

2 .?????????????????????????12 分 e 2 2 (ⅲ)当 1 ? ? e ,即 ? a ? 2 时, a e 2 2 在 [1, ) 上 F ? ? x ? ? 0 ,在 ( , e] 上 F ? ? x ? ? 0 , a a 2 2 所以 F ? x ? 在 [1, ) 单调递减,在 ( , e] 单调递增, a a
由a ? 0得0 ? a ?

F ? x ?max ? 0 ,等价于 F ?1? ? 0 或 F ? e ? ? 0 ,解得 a ? 0 ,
所以,

2 ?a?2. e

综上所述,实数 a 的取值范围为 (0, ??) . ???????????????13 分

(19) (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)当 m ? 0 时,直线 l 的方程为 x ? 1 ,设点 E 在 x 轴上方,

? x2 y 2 ? 1, 2 2t 2 2t 4 2t ? ? 由? 9 解得 E (1, . ), F (1, ? ) ,所以 EF ? t 3 3 3 ? x ?1 ?
因为△ AEF 的面积为

1 4 2t 16 ? 4? ? ,解得 t ? 2 . 2 3 3
???????????????????4 分

所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1. 9 2

? x2 y 2 ? 1, ? ? 2 2 (Ⅱ)由 ? 9 得 (2m ? 9) y ? 4my ?16 ? 0 ,显然 m ? R .???????5 分 2 ? x ? my ? 1 ?
设 E( x1, y1 ), F ( x2 , y2 ) , 则 y1 ? y2 ?

?4m ?16 , y1 y2 ? ,??????????????????6 分 2 2m ? 9 2m 2 ? 9

x1 ? my1 ? 1 , x2 ? my2 ? 1 .

y1 ? ( x ? 3), y1 6 y1 ?y ? x1 ? 3 又直线 AE 的方程为 y ? 解得 M (3, ( x ? 3) ,由 ? ), x1 ? 3 x1 ? 3 ? x?3 ?

同理得 N (3,

???? ? 6 y2 6 y1 ???? 6 y2 ) .所以 BM ? (2, ), BN ? (2, ) ,????????9 分 x2 ? 3 x1 ? 3 x2 ? 3 6 y1 6 y2 ) ? (2, ) x1 ? 3 x2 ? 3

又因为 BM ? BN ? (2,

???? ? ??? ?

? 4?

36 y1 y2 36 y1 y2 ? 4? ( x1 ? 3)( x2 ? 3) (my1 ? 4)(my2 ? 4)

?

4(my1 ? 4)(my2 ? 4) ? 36 y1 y2 m2 y1 y2 ? 4m( y1 ? y2 ) ? 16

?16(4m2 ? 36) ? 16 ? 4m2 ? 16 ? 4(2m2 ? 9) ? ?32m2 ? 16(2m2 ? 9)
? ?64m2 ? 576 ? 64m2 ? 128m2 ? 576 ? 0 .??????????13 分 9

所以 BM ? BN ,所以以 MN 为直径的圆过点 B . ?????????????14 分 (20) (本小题满分 13 分) 证明: (Ⅰ)显然,交换任何两行或两列,特征值不变. 可设 1 在第一行第一列, 考虑与 1 同行或同列的两个数只有三种可能,2, 3 或 2, 4 或 3, 4 . 得到数表的不同特征值是 (Ⅱ)当 n ? 3 时,数表为
7 5 3

???? ?

????

3 4 或 . 2 3
1 8 6 4 2 9

????????????3 分

此时,数表的“特征值”为 .
1 3 1 0 7

4 3

????????????????????4 分

1 1 4 1 1

5 2 1 5

9 6 3

当 n ? 4 时,数表为

4

8

1 2

1 6

此时,数表的“特征值”为
2 1 1 7 1 3 9 5

5 . 4
1 2 2 1 8 1 4 1 0 6 2 2 3 1 9 1 5

?????????????????????5 分
1 1 7 3 2 4 2 0 1 6 1 2 8 4 2 5

当 n ? 5 时,数表为

此时, 数表的 “特征







6 . ??????????????????????6 分 5 n ?1 猜想“特征值”为 . ???????????????????????7 分 n
(Ⅲ)对于一个数表而言, n ? n ? 1, n ? n ? 2,?, n 这 n 个较大的数中,要么至少有两个
2 2 2

数在一个数表的同一行(或同一列)中,要么这 n 个较大的数在这个数表的不同行且 不同列中. ①当 n ? n ? 1, n ? n ? 2,?, n 这 n 个较大的数,至少有两个数在数表的同一行(或同一
2 2 2

列)中时,设 a , b ( a ? b )为该行(或列)中最大的两个数,则 ? ?

a n2 ? 2 , b n ? n ?1

因为

n2 n ? 1 n3 ? (n3 ? 1) 1 ? ? ?? ? 0, 2 2 2 n ? n ?1 n n(n ? n ? 1) n(n ? n ? 1)

所以

n2 n ?1 n ?1 ? . ,从而 ? ? 2 n n ? n ?1 n
2 2 2

????????????????10 分

②当 n ? n ? 1, n ? n ? 2,?, n 这 n 个较大的数在这个数表的不同行且不同列中时,
2 2 当它们中的一个数与 n ? n 在同行(或列)中,设 a 为与 n ? n 在同行、同列中的两

个最大数中的较小的一个.则有 ? ? 综上可得 ? ?

a n2 ? 1 n ? 1 ? ? . n2 ? n n2 ? n n

n ?1 . n

????????????????????????13 分

丰台区 2012~2013 学年度第一学期期末练习 高三数学(理科) 一、选择题:共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题

目要求的一项. 1.设全集 U={1,3,5,7},集合 M={1, a ? 5 }, CU M ? {5,7},则实数 a 的值为 (A)2 或-8 2.“ x ? 0 ”是“ x ? (B) -2 或-8 (C) -2 或 8 (D) 2 或 8

1 ? 2 ”的 x
(B) 必要但不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件

(A) 充分但不必要条件 (C) 充分且必要条件

3.从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球,则恰有一个红球的概率是 (A)

1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

5 6

4.如图,某三棱锥的三视图都是直角边为 2 的等腰直角三角形,则该三 棱锥的四个面的面积中最大的是 (A)

3

(B) 2 3

(C) 1

(D) 2

5.函数 y ? 2sin(? x ? ? ) 在一个周期内的图象如图所示,则此函数的解 析式可能是 (A) (B) (C) (D)

y ? 2sin(2 x ? ) 4 y ? 2sin(2 x ? ) 4 3? y ? 2sin( x ? ) 8 x 7? y ? 2sin( ? ) 2 16
开 始 S=0, n=0

?

?

6.执行如图所示的程序框图,则输出的 S 值为( ? x ? 表示不超过 x 的最 大整数) (A) 4 (B) 5 (C) 7 (D) 9

? S ?S?? ? n?

n=n+1 否

7.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A(1,0),B(0,1) ,点 C 在第二象限

??? ? ??? ? ??? ? 5? 内, ?AOC ? ,且 |OC|=2 ,若 OC ? ? OA ? ? OB ,则 ? , ? 的 6
值是( )

n>4? 是 输出 S 结 束

(A)

3 ,1

(B) 1, 3

(C)

-1, 3

(D) - 3 ,1

8.已知函数 f(x)= ax 2 ? bx ? c ,且 a ? b ? c, a ? b ? c ? 0 ,集合 A={m|f(m)<0},则 (A) ?m ? A, 都有 f(m+3)>0 (C) ?m0 ? A, 使得 f(m0+3)=0 (B) ?m ? A, 都有 f(m+3)<0 (D) ?m0 ? A, 使得 f(m0+3)<0

二、填空题:共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.某高中共有学生 900 人,其中高一年级 240 人,高二年级 260 人,为做某项调查,拟采 用分层抽样法抽取容量为 45 的样本,则在高三年级抽取的人数是 10.已知直线 y=x+b 与平面区域 C: ? 取值范围是________. 11.l1 , l2 是分别经过 A(1,1), B(0,?1)两点的两条平行直线, 当 l1 , l2 间的距离最大时, 直线 l1 的 方程是
2 2

______.

?| x |? 2, 的边界交于 A,B 两点,若|AB|≥2 2 ,则 b 的 ?| y |? 2


2 2

12.圆 ( x ? a) ? y ? 1 与双曲线 x ? y ? 1的渐近线相切,则 a 的值是 _______. 13.已知 ?ABC 中,AB= 3 ,BC=1,sinC= 3 cosC,则 ?ABC 的面积为______. 14. 右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列, 从第三行起, 每一行数成等比数列,而且每一行的公比都相等,记第 i 行第 j 列的数为 ,则 a53 等于 aij ( i ? j, i, j ? N * ) , amn ? ______(m ? 3) .

三、解答题:共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明 过程. 15. (本题共 13 分)

1 4 1 1 , 2 4 3 3 3 , , 4 8 16
?

函数 f ( x) ? lg( x ? 2 x ? 3) 的定义域为集合 A, 函数 g ( x) ? 2x ? a( x ? 2) 的值域为集合 B.
2

(Ⅰ)求集合 A,B; (Ⅱ)若集合 A,B 满足 A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围. 16. (本题共 13 分)

如图,在平面直角坐标系 xOy 中,锐角 ? 和钝角 ? 的终边分别与单位圆交于 A , B 两点. (Ⅰ)若点 A 的横坐标是

3 12 ,点 B 的纵坐标是 ,求 5 13

y B A

sin(? ? ? ) 的值;
(Ⅱ) 若∣AB∣= 17. (本题共 14 分) 如 图 , 在 三 棱 锥 P-ABC 中 , PA=PB=AB=2 , BC ? 3 ,

??? ? ??? ? 3 , 求 OA ? OB 的值. 2

O

x

?ABC ? 90 °,平面 PAB ? 平面 ABC,D、E 分别为 AB、AC 中点.
(Ⅰ)求证:DE‖平面 PBC; (Ⅱ)求证:AB ? PE; (Ⅲ)求二面角 A-PB-E 的大小. 18. (本题共 14 分)
B

P

A D E C

已知函数 f ( x) ? 个零点为-3 和 0.

ax ? bx? c (a ? 0)的导函数 y ? f '( x) 的两 ex
2

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 f(x)的极小值为 ? e ,求 f(x)在区间 [?5, ??) 上的最大值.
3

19. (本题共 13 分) 曲线 C1 , C2 都是以原点 O 为对称中心、离心率相等的椭圆.点 M 的坐标是(0,1) ,线 段 MN 是 C1 的短轴,是 C2 的长轴.直线 l : y ? m(0 ? m ? 1) 与 C1 交于 A,D 两点(A 在 D 的左 侧) ,与 C2 交于 B,C 两点(B 在 C 的左侧) .

(Ⅰ)当 m=

5 3 , AC ? 时,求椭圆 C1 , C2 的方程; 4 2

(Ⅱ)若 OB∥AN,求离心率 e 的取值范围. 20. (本题共 13 分)

已知曲线 C : y2 ? 2 x( y ? 0), A1 ( x1 , y1 ), A2 ( x2 , y2 ), ???, An ( xn , yn ), ??? 是曲线 C 上的点,且满足
0 ? x1 ? x2 ? ??? ? xn ? ??? ,一列点 Bi (ai ,0)(i ? 1, 2, ???) 在 x 轴上,且 ?Bi ?1 Ai Bi ( B0 是坐标原点)

是以 Ai 为直角顶点的等腰直角三角形. (Ⅰ)求 A1 、 B1 的坐标; (Ⅱ)求数列 { yn } 的通项公式;

? 2? 1 (Ⅲ)令 b ? , c ?
i

? yi

ai

i

2

,是否存在正整数 N,当 n≥N 时,都有

? b ? ? c ,若存
i ?1 i i ?1 i

n

n

在,求出 N 的最小值并证明;若不存在,说明理由.

丰台区 2012~2013 学年度第一学期期末练习 高三数学(理科)参考答案
一、选择题 题号 答案 二、填空题: 9.20; 10.[-2,2] ; 11. x+2y-3=0; 12. ? 2 (只写一个答案给 3 分); 1 D 2 C 3 C 4 A 5 B 6 C 7 D 8 A

13.

3 ; 2

14.

5 m , n ?1 16 2

(第一个空 2 分,第二个空 3 分)

三.解答题 15 . ( 本 题 共 13 分 ) 函 数 f ( x) ? lg( x ? 2 x ? 3) 的 定 义 域 为 集 合 A , 函 数
2

g ( x) ? 2x ? a( x ? 2) 的值域为集合 B.
(Ⅰ)求集合 A,B; (Ⅱ)若集合 A,B 满足 A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围. 解: (Ⅰ)A= {x | x ? 2 x ? 3 ? 0}
2

= {x | ( x ? 3)( x ? 1) ? 0} = {x | x ? ?1, 或x ? 3} ,..………………………..……3 分 B= { y | y ? 2x ? a, x ? 2} ? { y | ?a ? y ? 4 ? a} . ………………………..…..7 分 (Ⅱ)∵

A ? B ? B ,∴ B ? A ,

..……………………………………………. 9 分

∴ 4 ? a ? ?1 或 ? a ? 3 , …………………………………………………………...11 分 ∴ a ? ?3 或 a ? 5 ,即 a 的取值范围是 (??, ?3] ? (5, ??) .…………………….13 分 16. (本题共 13 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,锐角 ? 和 钝角 ? 的终边分别与单位圆交于 A , B 两点. (Ⅰ)若点 A 的横坐标是 的值; s i n( ? ?? ) (Ⅱ) 若∣AB∣=
y B A

3 12 ,点 B 的纵坐标是 ,求 5 13
O x

??? ? ??? ? 3 , 求 OA ? OB 的值. 2

解: (Ⅰ)根据三角函数的定义得,

12 . ………………………………………………………2 分 13 4 ∵ ? 的终边在第一象限,∴ sin ? ? . ……………………………………………3 分 5 5 ? ? ? .………………………………………4 分 ∵ ? 的终边在第二象限,∴ c o s 13 4 5 3 12 16 ∴ sin(? ? ? ) = sin ? cos ? ? cos ? sin ? = ?( ? ) + ? = .……………7 分 5 13 5 13 65 ??? ? ??? ? ??? ? (Ⅱ)方法(1)∵∣AB∣=| AB |=| OB ? OA |, ……………………………………9 分 co? s ? sin ? ?
2 又∵ | OB ? OA | ? OB ? OA ? 2OA ? OB ? 2 ? 2OA ? OB ,…………………11 分

3 , 5

??? ? ??? ?

??? ?2

??? ?2

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

∴ 2 ? 2OA ? OB ?

??? ? ??? ?

∴ OA ? OB ? ? .…………………………………………………………………13 分 方法(2)∵ cos ?AOB ?

??? ? ??? ?

9 , 4

1 8

| OA |2 ? | OB |2 ? | AB |2 1 ? ? , …………………10 分 2 | OA || OB | 8

∴ OA ? OB = | OA || OB | cos ?AOB ? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

1 . ………………………………… 13 分 8
P

BC ? 3 , 17. (本题共 14 分)如图, 在三棱锥 P-ABC 中, PA=PB=AB=2,
?ABC ? 90 °,平面 PAB ? 平面 ABC,D、E 分别为 AB、AC 中点.
(Ⅰ)求证:DE//平面 PBC; (Ⅱ)求证:AB ? PE; (Ⅲ)求二面角 A-PB-E 的大小. 解: (Ⅰ)? D、E 分别为 AB、AC 中点, ?DE//BC .
D B
P _

A E C

? DE?平面 PBC,BC?平面 PBC,
?DE//平面 PBC .…………………………4 分 (Ⅱ)连结 PD,

? PA=PB, ? PD ? AB. …………………………….5 分 ? DE / / BC ,BC ? AB,
B _ D _ A _ E _ C _

? DE ? AB. .... .......................................................................................................6 分
又? PD ? DE ? D ,

? AB ? 平面 PDE.......................................................................................................8 分
? PE?平面 PDE,

? AB ? PE . ..........................................................................................................9 分
(Ⅲ)? 平面 PAB ? 平面 ABC,平面 PAB ? 平面 ABC=AB,PD ? AB,

? PD ? 平面 ABC.................................................................................................10 分
如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系

3 ,0) , 2 ??? ? ??? ? 3 . ? PB =(1,0, ? 3 ), PE =(0, , ? 3 ) 2

? B(1,0,0),P(0,0, 3 ),E(0,

z P _

设平面 PBE 的法向量 n1 ? ( x, y, z) ,

??

A _ D _ B _ E _ y C _

x

? x ? 3z ? 0 , ? 令z ? 3 ? ?3 ? y ? 3z ? 0 , ?2 ?? 得 n1 ? (3,2, 3) . ............................11 分
? DE ? 平面 PAB,

?? ? ? 平面 PAB 的法向量为 n2 ? (0,1,0) .………………….......................................12 分
设二面角的 A ? PB ? E 大小为 ? ,

?? ?? ? ?? ?? ? | n1 ? n2 | 1 由图知, cos ? ? cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? ? ? , n1 ? n2 2
所以 ? ? 60?, 即二面角的 A ? PB ? E 大小为 60 ? . ..........................................14 分 18. (本题共 14 分) 已知函数 f ( x) ? -3 和 0. (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 f(x)的极小值为 ? e ,求 f ( x ) 在区间 [?5, ??) 上的最大值.
3

ax 2 ? bx ? c (a ? 0) 的导函数 y ? f '( x) 的两个零点为 ex

解: (Ⅰ) f ?( x) ?

(2ax ? b)e x ? (ax 2 ? bx ? c)e x ?ax 2 ? (2a ? b) x ? b ? c ........2 分 ? (e x )2 ex
2

令 g ( x) ? ?ax ? (2a ? b) x ? b ? c ,
2 x 因为 e ? 0 ,所以 y ? f '( x) 的零点就是 g ( x) ? ?ax ? (2a ? b) x ? b ? c 的零点,且

f ?( x ) 与 g ( x) 符号相同.
又因为 a ? 0 ,所以 ?3 ? x ? 0 时,g(x)>0,即 f ?( x) ? 0 , ………………………4 分 当 x ? ?3, x ? 0 时,g(x)<0 ,即 f ?( x) ? 0 , …………………………………………6 分 所以 f ( x ) 的单调增区间是(-3,0),单调减区间是(-∞,-3) , (0,+∞) .……7 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, x =-3 是 f ( x ) 的极小值点,所以有

? 9a ? 3b ? c ? ?e 3 , ? e ?3 ? ?b ? c ? 0, ??9a ? 3(2a ? b) ? b ? c ? 0, ? ?
解得 a ? 1, b ? 5, c ? 5 , 所以 f ( x) ? …………………………………………………………11 分

x2 ? 5x ? 5 . ex

, ? f ( x) 的单调增区间是(-3,0),单调减区间是(-∞,-3),(0,+∞)

? f (0) ? 5 为函数 f ( x) 的极大值, …………………………………………………12 分 ? f ( x) 在区间 [?5, ??) 上的最大值取 f (?5) 和 f (0) 中的最大者. …………….13 分
而 f ( ?5) ?

5 ? 5e5 >5,所以函数 f(x)在区间 [?5, ??) 上的最大值是 5e5 ..…14 分 ?5 e

19. (本题共 13 分)曲线 C1 , C2 都是以原点 O 为对称中心、离心率相等的椭圆 . 点 M 的坐 标是(0,1),线段 MN 是 C1 的短轴,是 C2 的长轴 . 直线 l : y ? m(0 ? m ? 1) 与 C1 交于 A,D 两 点(A 在 D 的左侧) ,与 C2 交于 B,C 两点(B 在 C 的左侧) .

(Ⅰ)当 m=

5 3 , AC ? 时,求椭圆 C1 , C2 的方程; 4 2

(Ⅱ)若 OB∥AN,求离心率 e 的取值范围. 解: (Ⅰ)设 C1 的方程为

x2 x2 2 ? y ? 1 ? y 2 ? 1,其中 a ? 1, 0 ? b ? 1 ...2 分 ,C 的方程为 2 2 2 a b

a2 ?1 ? C1 ,C2 的离心率相同,所以 2 ? 1 ? b 2 ,所以 ab ? 1 ,……………………….…3 分 a
? C2 的方程为 a2 x2 ? y2 ? 1 .

当 m=

3 a 3 1 3 时,A (? , ) ,C ( , ) . .………………………………………….5 分 2 2 2 2a 2
5 1 1 a 5 ? ? ,解得 a=2 或 a= (舍), ………….…………..6 分 ,所以, 4 2 2a 2 4

又? AC ?

? C1 ,C2 的方程分别为
2

x2 ? y 2 ? 1, 4 x2 ? y 2 ? 1 .………………………………….7 分 4
1 1 ? m 2 ,m) . …………………………………………9 分 a

(Ⅱ)A(- a 1 ? m ,m), B(-

? OB∥AN,? kOB ? k AN , ?

m ? 1 1 ? m2 a

?

m ?1 ?a 1 ? m
2

,? m ?

1 . …………………………………….11 分 a ?1
2

e2 ?

a2 ?1 1 ? e2 1 2 a ? m ? , ? , . ………………………………………12 分 ? 1 ? e2 a2 e2 1 ? e2 2 ? 1,? ? e ? 1 .........................................................13 分 2 e 2

? 0 ? m ? 1 ,? 0 ?

20.(本题共 13 分)已知曲线 C : y 2 ? 2 x( y ? 0) , A1 ( x1 , y1 ), A2 ( x2 , y2 ), ???, An ( xn , yn ), ??? 是曲线 C 上的点, 且满足 0 ? x1 ? x2 ? ??? ? xn ? ??? , 一列点 Bi (ai ,0)(i ? 1, 2, ???) 在 x 轴上, 且 ?Bi ?1 Ai Bi ( B0 是坐标原点)是以 Ai 为直角顶点的等腰直角三角形. (Ⅰ)求 A1 , B1 的坐标; (Ⅱ)求数列 { yn } 的通项公式;

? 2? 1 (Ⅲ)令 b ? , c ?
i

? yi

ai

i

2

,是否存在正整数 N,当 n≥N 时,都有

? b ? ? c ,若
i ?1 i i ?1 i

n

n

存在,写出 N 的最小值并证明;若不存在,说明理由. 解: (Ⅰ)? ?B0A1B1 是以 A1 为直角顶点的等腰直角三角形,

? 直线 B0A1 的方程为 y=x.

?y ? x ? 由 ? y 2 ? 2 x 得 x1 ? y1 ? 2 ,即点 A1 的坐标为(2,2) ,进而得 B1 (4,0) .…..3 分 ?y ? 0 ?
(Ⅱ)根据 ?Bn ?1 An Bn 和 ?Bn An ?1 Bn ?1 分别是以 An 和 An?1 为直角顶点的等腰直角三角形可 得?

?an ? xn ? yn ,即 xn ? yn ? xn?1 ? yn?1 . (*) …………………………..5 分 ?an ? xn ?1 ? yn ?1

2 2 ? 2xn , yn ? An 和 An?1 均在曲线 C : y 2 ? 2 x( y ? 0) 上,? yn ?1 ? 2 xn ?1 ,
2 yn y2 2 2 , xn ?1 ? n ?1 ,代入(*)式得 yn ?1 ? yn ? 2( yn ?1 ? yn ) , 2 2

? xn ?

n ? N* , ) ? yn?1 ? yn ? 2 (

………………………………………………………..7 分

? 数列 { yn } 是以 y1 ? 2 为首项,2 为公差的等差数列, ? 其通项公式为 yn ? 2n ( n ? N * ). ……………………………………………....8 分
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知, xn ?
2 yn ? 2n 2 , 2

2 n ( n?1, ) ? an ? xn ? yn ?
1 , ci ? ? bi ? 2i ( i? 1)
? ? bi ?
i ?1 n

……………………………………………………9 分

? 2?
2

? yi

?

1 . 2i ?1
1)

1 ? 2 (1 ? 2)

1 1 ??? 2 ?( 2 3 ) n n ? 2 (

1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ) = (1 ? ) .….……………..…………10 分 2 2 2 3 n n ?1 2 n ?1 1 1 (1 ? n ) n 1 1 1 2 ? 1 (1 ? 1 ) . ……………………….11 分 ci ? 2 ? 3 ? ? ? n?1 ? 4 ? 1 2 2 2 2 2n i ?1 1? 2
= (方法一)
n 1 1 1 1 1 1 1 n ? 1 ? 2n (1 ? )(1 ? ) ? ( ? ) ? = . b c ? i ? i 2 n ?1 2 2n 2 2n n ? 1 2n?1 (n ? 1) i ?1 i ?1 n

当 n=1 时 b1 ? c1 不符合题意,

当 n=2 时 b2 ? c2 ,符合题意, 猜想对于一切大于或等于 2 的自然数,都有 (? ) ? bi ? ? ci .
i ?1 i ?1 n n

观察知,欲证( ? )式,只需证明当 n≥2 时,n+1<2n 以下用数学归纳法证明如下: (1)当 n=2 时,左边=3,右边=4,左边<右边; (2)假设 n=k(k≥2)时,(k+1)<2k, 当 n=k+1 时,左边=(k+1)+1<2k+1<2k+2k=2k+1=右边,

? 对于一切大于或等于 2 的正整数,都有 n+1<2n ,即 ? bi < ? ci 成立.
i ?1 i ?1

n

n

综上,满足题意的 n 的最小值为 2. ……………………………………………..13 分 (方法二)欲证

? bi ? ? ci 成立,只需证明当 n≥2 时,n+1<2n.
i ?1 i ?1

n

n

0 1 2 3 n 2 3 n ? 2n ? ?1 ? 1? ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? ... ? Cn ? 1 ? n ? Cn ? Cn ? ... ? Cn , n

2 3 n 并且 Cn ? Cn ... ? Cn ?0,

? 当 n ? 2 时, 2n ? n ? 1 .


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