人教A版高中数学必修三 3.3.1《几何概型》课件_图文

本 课 时 栏 目 开 关

3.3.1

3.3.1 几何概型

【学习目标】

1.正确理解几何概型的概念;

本 课 时 栏 目

2.掌握几何概型的概率公式: P(A)=试验的构全成部事结件果A所的构区成域的长区度域?面长积度或?面体积积或? 体积?;

开 3.会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型



是古典概型还是几何概型.

【学法指导】

通过自主思考,寻找几何概型的随机模拟计算方法,设计估计

未知量的方案,培养实际操作能力,体会试验结果的随机性与

规律性,培养科学思维方法,提高对自然界的认知水平.

填一填·知识要点、记下疑难点

3.3.1

1.几何概型的定义



如果每个事件发生的概率只与 构成该事件区域的长度

课 时

(面积或体积)成比例 ,则称这样的概率模型为几何概率模

栏 目

型,简称几何概型.

开 关

2.几何概型的特点

(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有 无限多个 .

(2)每个基本事件出现的可能性 相等 .

3.几何概型的概率公式
构成事件A的区域长度?面积或体积?
P(A)= 试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积? .

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3.3.1

[问题情境] 在现实生活中,常常会遇到试验的所有可能结果



课 时

是无穷多的情况,例如:一个正方形方格内有一内切圆,往





这个方格中投一个石子,求石子落在圆内的概率,由于石子





可能落在方格中的任何一点,这个实验不能用古典概型来计

算事件发生的概率.对此,我们必须学习新的方法来解决这

类问题.

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3.3.1

探究点一 几何概型的概念

问题 1 计算随机事件发生的概率,我们已经学习了哪些方法?

答 (1)通过做试验或计算机模拟,用频率估计概率;(2)利用

本 课

古典概型的概率公式计算.

时 栏

问题 2 某班公交车到终点站的时间可能是 11:30~12:00 之



间的任何一个时刻;往一个方格中投一粒芝麻,芝麻可能落





在方格中的任何一点上.这两个试验可能出现的结果是有限

个,还是无限个?若没有人为因素,每个试验结果出现的可

能性是否相等?

答 出现的结果是无限个;每个结果出现的可能性是相等的.

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3.3.1

问题 3 下图中有两个转盘,甲乙两人玩转盘游戏,规定当指 针指向 B 区域时,甲获胜,否则乙获胜.你认为甲获胜的概 率分别是多少?
本 课 时 栏 目 开 关
答 以转盘(1)为游戏工具时,甲获胜的概率为12;以转盘(2) 为游戏工具时,甲获胜的概率为35.

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3.3.1

问题 4 上述每个扇形区域对应的圆弧的长度(或扇形的面积)

和它所在位置都是可以变化的,从结论来看,甲获胜的概率

与字母 B 所在扇形区域的哪个因素有关?哪个因素无关?

本 课

答 与扇形的弧长(或面积)有关,与扇形区域所在的位置无关.

时 栏

问题 5 玩转盘游戏中所求的概率就是几何概型,你能给几何

目 开

概型下个定义吗?参照古典概型的特征,几何概型有哪两个



基本特征?

答 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度

(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,

简称几何概型;几何概型的基本特征:(1)可能出现的结果有

无限多个;(2)每个结果发生的可能性相等.

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3.3.1

问题 6 古典概型和几何概型有什么相同点和不同点?

答 相同点:两者基本事件发生的可能性都是相等的;



课 时

不同点:古典概型要求基本事件有有限个,几何概型要求基





本事件有无限多个.





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3.3.1

例 1 判断下列试验中事件 A 发生的概型是古典概型,还是几 何概型.



(1)抛掷两颗骰子,求出现两个“4 点”的概率;

课 时

(2)问题 3 中,求甲获胜的概率.





解 (1)抛掷两颗骰子,出现的可能结果有 6×6=36 种,且





它们都是等可能的,因此属于古典概型;

(2)游戏中指针指向 B 区域时有无限多个结果,而且不难发现 “指针落在阴影部分”,概率可以用阴影部分的面积与总面

积的比来衡量,即与区域面积有关,因此属于几何概型.

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3.3.1

小结 判断一个概率是古典概型还是几何概型的步骤:

(1)判断一次试验中每个基本事件发生的概率是否相等,若不





相等,那么这个概率既不是古典概型也不是几何概型;



栏 目

(2)如果一次试验中每个基本事件发生的概率相等,再判断试





验结果的有限性,当试验结果有有限个时,这个概率是古典

概型;当试验结果有无限个时,这个概率是几何概型.

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3.3.1

跟踪训练 1 判断下列试验是否为几何概型,并说明理由:

(1)某月某日,某个市区降雨的概率.

本 课

(2)设 A 为圆周上一定点,在圆周上等可能地任取一点与 A

时 栏

连接,求弦长超过半径的概率.



开 关

解 (1)不是几何概型,因为它不具有等可能性;

(2)是几何概型,因为它具有无限性与等可能性.

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3.3.1

探究点二 几何概型的概率公式

导引 对于具有几何意义的随机事件,或可以化归为几何问题

的随机事件,一般都有几何概型的特性,那么,对于属于几



何概型的试验,如何求某一事件的概率?有没有求几何概型

课 时

的概率公式呢?

栏 问题 1 有一根长度为 3 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,





那么剪得的两段的长度都不小于 1 m 的概率是多少?你是怎



样计算的?

答 从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是

长度为 3 m 的绳子上的任意一点.

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3.3.1



课 时

如上图,记“剪得两段的长都不小于 1 m”为事件 A.把绳子



目 开

三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件 A 发生.由



于中间一段的长度等于绳长的13,

于是事件 A 发生的概率 P(A)=13.

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3.3.1

问题 2 射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环,从外向内依次

为白色、黑色、蓝色、红色,靶心是金色,金色靶心叫“黄

心”.奥运会射箭比赛的靶面直径是 122 cm,黄心直径是



12.2 cm,运动员在距离靶面 70 m 外射箭.假设射箭都等可

课 时

能射中靶面内任何一点,那么如何计算射中黄心的概率?

栏 目

答 如右图,由于中靶点随机地落

开 关

在面积为14×π×1222 cm2 的大圆内,

若要射中黄心,则中靶点落在面

积为14×π×12.22 cm2 的圆内,

所以 P=1414××ππ××1122.2222=0.01.

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3.3.1

问题 3 在装有 5 升纯净水的容器中放入一个病毒,现从中随

机取出 1 升水,那么这 1 升水中含有病毒的概率是多少?你

是怎样计算的?

本 课

答 概率为15,由于病毒在 5 升水中的哪个位置的可能性都有,1

时 栏

升水中含有病毒的概率为 1 升水的体积除以 5 升水的体积.



开 问题 4 根据上述 3 个问题中求概率的方法,你能归纳出求几



何概型中事件 A 发生的概率的计算公式吗?

答 P(A)=试验的构全成部事结件果A所的构区成域的长区度域?面长积度或?面体积积或? 体积?.

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3.3.1

例 2 某公共汽车站每隔 10 分钟有一辆汽车到达,乘客到达车 站的时刻是任意的,求乘客候车时间不超过 6 分钟的概率.



解 如下图所示,设上辆车于时刻 T1 到达,而下辆车于时刻

课 时

T2 到达,则线段 T1T2 的长度为 10,设 T 是线段 T1T2 上的点,

栏 目

且 TT2 的长为 6,记“等车时间不超过 6 分钟”为事件 A,

开 关

则事件 A 发生即当点 t 落在线段 TT2 上,即 D=T1T2=10,

d=TT2=6.所以 P(A)=Dd =160=35.故乘客候车时间不超过 6

分钟的概率为35.

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3.3.1

小结 数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的

解法.利用图解题的关键:首先用图形准确表示出试验的全



课 时

部结果所构成的区域,由题意将已知条件转化为事件 A 满足

栏 目

的几何区域,然后根据构成这两个区域的几何长度(面积或体



关 积),用几何概型概率公式求出事件 A 的概率.

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3.3.1

跟踪训练 2 某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,

想听电台报时,求他等待的时间不多于 10 分钟的概率.



解 记“等待的时间小于 10 分钟”为事件 A,打开收音机的







时刻位于[50,60]时间段内则事件 A 发生.



开 关

由几何概型的概率公式求得 P(A)=60-6050=16,

即“等待报时的时间不超过 10 分钟”的概率为16.

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3.3.1

探究点二 与角度有关的几何概型

例 3 在 Rt△ABC 中,∠A=30°,过直角顶点 C 作射线 CM

交线段 AB 于 M,求使|AM|>|AC|的概率.

本 课

解 设事件 D 为“作射线 CM,使|AM|>|AC|”.

时 栏

在 AB 上取点 C′使|AC′|=|AC|,





因为△ACC′是等腰三角形,



所以∠ACC′=180°2-30°=75°,

μA=90-75=15,μΩ=90, 所以 P(D)=1950=16.

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3.3.1

小结 几何概型的关键是选择“测度”,如本例以角度为



“测度”.因为射线 CM 落在∠ACB 内的任意位置是等可能



时 栏

的.若以长度为“测度”,就是错误的,因为 M 在 AB 上的

目 开

落点不是等可能的.



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3.3.1

跟踪训练 3 在△ABC 中,∠B=60°,∠C=45°,高 AD= 3,

在∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M,求 BM<1 的概率.

解 ∵∠B=60°,∠C=45°,∴∠BAC=75°,

本 课

在 Rt△ADB 中,AD= 3,∠B=60°,

时 栏 目

∴BD=taAn D60°=1,∠BAD=30°.





记事件 N 为“在∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M,使

BM<1”,则可得∠BAM<∠BAD 时事件 N 发生.

由几何概型的概率公式得 P(N)=3705°°=25.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

3.3.1

本 1.已知地铁列车每 10 min 一班,在车站停 1 min,乘客到达



1

时 栏

站台立即乘上车的概率为____1_1___.



开 关

解析 由几何概型知,所求事件 A 的概率为 P(A)=111.

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3.3.1

2.两根相距 6 m 的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,
1
灯与两端距离都大于 2 m 的概率为____3____.





解析 记“灯与两端距离都大于 2 m”为事件 A,



栏 目

则 P(A)=26=13.





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3.3.1

3.有一杯 1 升的水,其中含有 1 个细菌,用一个小杯从这杯



水中取出 0.1 升,则小杯水中含有这个细菌的概率为__0_._1__.



时 栏

解析 “取出 0.1 升水中含有这个细菌”这一事件记为 A,



开 关

则 P(A)=01.1=0.1.

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3.3.1

1.几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的



概率模型.



时 栏

2.几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目.



开 关

3.注意理解几何概型与古典概型的区别.

4.理解如何将实际问题转化为几何概型的问题,利用几何概

型公式求解,概率公式为 P(A)=试验的构全成部事结件果A所的构区成域的长区度域?面长积度或?面体积积或? 体积?


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