黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三第二次模拟考试 数学理

哈尔滨市第六中学 2019 届高三第二次模拟考试 数学(理工类)
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,试卷满分 150 分,答题时间为 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形 码区域内. 2.选择题必须用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草 稿纸、试题卷上答题无效. 4.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.

第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的,请将正确选项填涂在答题卡上) 1.已知 i 为虚数单位,则 A.

1 4

i 的实部与虚部的乘积等于( 1? i 1 1 i B. ? C. 4 4

) D. ?

1 i 4
) 开始

2.设非零向量 a, b 满足 a ? b ? a ? b ,则 a 与 a ? b 的夹角为( A.30 ? 3. 右 B. 60? 是 C. 120? 示 分




2


2

D. 150? 输 出
2 2

i ?1
S ?0
2

1

2

?,

2

1

?
2

3

?,

1

2

?3

2

? 5 ,程 ?的 , ? 1 的 值的过

3



5

2

一个程序框图,那么在图中①②处应分别填上( ) A. i ≤ 2011? , i ? i ? 1 B. i ≤ 1006? , i ? i ? 1 C. i ≤ 2011? , i ? i ? 2 D. i ≤ 1006? , i ? i ? 2 4.右图的矩形,长为 5 ,宽为 2 ,在矩形内随机地撒 300 颗黄豆,数 得落在阴影部分的黄豆数为 138 颗,由此我们可以估计出阴影部 分的面积约( ) A.



输出 S

S ? S ? i2

结束



16 5

B.

21 5

C.

23 5

D.

19 5

5. 已知直线 a 和平面 ? , ? , ? ? ? ? l , a ? ? , a ? ? , 且 a 在 ? , ? 内的射 影 分 别 为 直 线 b 和 c , 则 b 和 c 的 位 置 关 系 是 (
(第 4 题图)

)

A.相交或平行 B.相交或异面 C.平行或异面 D. 相交﹑平行或异面 6.一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几
·1·

何体的体积为( A.

) B. ?4 ? ? ? 3 C.

?4 ? ? ?
3

3

?8 ? ? ?

3

6 2 7.某铁路局近日对所属六列高速列车进行编组调度,决定将这六列高速列车编成两组,每组三列,且 G1

D.

?8 ? ? ?

3

和 G 2 两列列车不在同一小组,如果 G1 所在小组三列列车先开出,那么这六列列车先后不同的发车顺 序共有( ) A. 162 种 B. 108 种 C. 216 种 D. 432 种 8.在下列结论中,正确的结论为( ) (1)“ p ? q ”为真是“ p ? q ”为真的充分不必要条件 (2)“ p ? q ”为假是“ p ? q ”为真的充分不必要条件 (3)“ p ? q ”为真是“ ?p ”为假的必要不充分条件 (4)“ ?p ”为真是“ p ? q ”为假的必要不充分条件 A.(1) (2) B.(1) (3) C.(2) (4) D.(3) (4) )

9.已知函数 f ( x ) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0) 在 x ? 1 处取得最大值,则( A.函数 f ( x ? 1) 一定是奇函数 C.函数 f ( x ? 1) 一定是奇函数

B. 函数 f ( x ? 1) 一定是偶函数 D. 函数 f ( x ? 1) 一定是偶函数

10.设 f ?x ? 是定义在正整数集上的函数,且 f ?x ? 满足:“当 f ?k ? ? k 2 成立时,总可推出 f ?k ? 1? ? ?k ? 1?2 成立” ,那么,下列命题总成立的是( A.若 f ?1? ? 1 成立,则 f ?10? ? 100 成立 C.若 f ?2 ? ? 4 成立,则 f ?1? ? 1 成立 11.已知函数 f ?x ? ? ? A.4 12.已知点 P 是椭圆 ) B. 若 f ?3? ? 9 成立,则当 k ? 1 时,均有 f ?k ? ? k 2 成立 D.若 f ? 4? ? 16 成立,则当 k ? 4 时,均有 f ?k ? ? k 2 成立

? x ? 1, x ? 0 ,则函数 y ? f ? f ?x ?? ? 1 的零点个数( ?log2 x, x ? 0
B.3
2 2



C. 2

D. 1

x y ? ? 1( x ? 0, y ? 0) 上的动点,F1 , F2 为椭圆的两个焦点,O 是坐标原点, 16 8 OM 的取值范围是( 若 M 是 ?F1PF2 的角平分线上一点,且 F ) 1M ? MP ? 0 ,则
A. (0,3) B. (0,2 2) C. (2 2,3) D. (0, 4)

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把正确答案填在答题卡中的横线上)
·2·

13.在 (

1 1 ? 3)n (n ? N ? ) 的展开式中,所有项系数的和为 ?32 ,则 的系数等于 x x

.

14.从抛物线 y 2 ? 4 x 上一点 P 引抛物线准线的垂线,垂足为 M ,且 PM ? 5 ,设抛物线的焦点为

F ,则 cos ?MPF =
15. 已 知 函 数 f ( x ) ?

.

1 1 3 x ? sin x ? cos x 的 图 像 在 点 A( x0 , y0 ) 处 的 切 线 斜 率 为 1 , 则 2 4 4

tan x0 =

.

16.设 x, y ? (0,2] ,且 xy ? 2 ,且 6 ? 2 x ? y ? a(2 ? x)(4 ? y ) 恒成立,则实数 a 取值范围是 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 已知数列的前 n 项和为 S n ,且满足 a n ? (1)求数列 ?a n ? 的通项公式; (2)若 bn ? log2 a n , c n ?
1 S n ?1 n ? N ? . 2

?

?

1 ,且数列 ?c n ? 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn 的取值范围. b n b n ?1

18. (本小题满分 12 分) 要从甲,乙两名运动员中选拔一人参加 2019 年伦敦奥运会跳 水项目 , 对甲乙两人进行培训 .现分别从他们在培训期间参 加的若干次预赛成绩中随机抽取 6 次,得出成绩茎叶图如图 所示.
·3·

甲 9 8 4 1 5 3 7 8 9 5



0 3 5 2 5

(1)从平均成绩及发挥稳定性的角度考虑,你认为选派哪名运动员更合适? (2)若将频率视为概率,对甲运动员在今后 3 次的比赛成绩进行预测,记这 3 次成绩中高于 80 分的次 数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望.

19. (本小题满分 12 分) 如图,斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面是直角三角形, ?ACB ? 90 , B 1 点 B1 在底面内的射影恰好是 BC 的中点,且 BC ? CA . (1)求证:平面 ACC1 A1 ? 平面 B1C1CB ; (2)若二面角 B ? AB1 ? C1 的余弦值为 ?
?

A1

C1
B A

AA1 5 ? ? ,求 ? 的值. ,设 7 BC

C

20. (本小题满分 12 分) 已知圆 C1 : ( x ? 2) ? y ? 4 及点 C2 (2, 0) ,在圆 C1 上任取一点 P ,连接 C2 P ,做线段 C2 P 的中垂线
2 2

交直线 C1P 于点 M . (1)当点 P 在圆 C1 上运动时,求点 M 的轨迹 E 的方程; (2)设轨迹 E 与 x 轴交于 A 直线 QA1 , QA2 分别交 1, A 2 两点,在轨迹 E 上任取一点 Q( x0 , y0 ) ( y0 ? 0) ,
·4·

y 轴于 D , E 两点,求证:以线段 DE 为直径的圆 C 过两个定点,并求出定点坐标.

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ln x ? (1)当 a ? b ?

1 2 ax ? bx. 2

1 时,求函数 f ( x) 的最大值; 2 1 2 a (2)令 F ( x) ? f ( x) ? ax ? bx ? , (0 ? x ? 3) 2 x 1 其图象上任意一点 P( x0 , y0 ) 处切线的斜率 k ≤ 恒成立,求实数 a 的取值范围; 2 2 (3)当 a ? 0 , b ? ?1 ,方程 2mf ( x) ? x 有唯一实数解,求正数 m 的值.

四、选做题(本小题满分 10 分,请考生 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的 第一题记分)
22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲

如图,△ ABC 内接于⊙ O , AB ? AC ,直线 MN 切⊙ O 于点 C , 弦 BD / / MN , AC与BD 相交于点 E . (1)求证:△ ABE ≌△ ACD ; (2)若 AB ? 6, BC ? 4 ,求 AE 长.

·5·

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

平面直角坐标系中,已知曲线 C1 : x2 ? y 2 ? 1 ,将曲线 C1 上所有点横坐标 ,纵坐标分别伸长为原来的

2 倍和 3 倍后,得到曲线 C2
(1)试写出曲线 C2 的参数方程; (2)在曲线 C2 上求点 P ,使得点 P 到直线 l : x ? y ? 4 5 ? 0 的距离最大,并求距离最大值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? 2 x ? 2 (1)解不等式 f ( x ) ? 3 ; (2)若不等式 f ( x ) ? a 的解集为空集,求实数 a 的取值范围.

二模理科数学考试答案 一、选择题 1.A 2.A 3.C 4.C 5.D 二、13.-270

6.D 7.C 8.B 9.D 10.D 16. ( ??,1]

11.A 12.B

3 14. 5

15. ? 3

17.(1)当 n ? 1 时, a1 ?

1 S1 ? 1 ,解得 a1 ? 2 ……………1 分 2 1 1 当 n ? 2 时, an?1 ? Sn?1 ? 1 ……① an ? Sn ? 1 ……② ……………3 分 2 2 1 ②-①得 an ? an ?1 ? an 即 an ? 2an ?1 ……………5 分 2

?数列 ?an ? 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列
·6·

? an ? 2n

……………6 分

(2) bn ? log2 an ? log2 2n ? n

……………7 分

cn ?

1 1 1 1 ? ? ? bn bn ?1 n(n ? 1) n n ? 1

……………8 分

1 1 1 1 1 1 1 1 =1? Tn ? 1 ? ? ? ? ? ? ... ? ? 2 2 3 3 4 n n ?1 n ?1
n? N?

……………10 分

?

1 ? 1? ? ? 0, ? n ?1 ? 2?

?1 ? ?Tn ? ? ,1? ?2 ?

……………12 分

18.(1) x甲 = (78 ? 79 ? 81 ? 84 ? 93 ? 95)=85

1 ……………1 分 6 1 ……………2 分 x乙 = (75 ? 80 ? 83 ? 85 ? 92 ? 95) ? 85 6 1 133 2 2 2 2 2 2 2 ………3 分 s甲 = ?? 78-85? + ? 79-85? + ?81-85? + ?84-85? + ?93-85? + ?95-85? ? = ? ? 6 3 1 139 2 2 2 2 2 2 2 …4 分 s乙 ? ?? 75 ? 85? ? ?80 ? 85? ? ?83 ? 85? ? ?85 ? 85? ? ?92 ? 85? ? ?95 ? 85? ? ? ? ? 6 3
2 2 s甲 ? s乙

?甲的发挥更稳定
2 3

?选派甲更合适

6分

(2)甲成绩高于 80 分的概率 P ?

……………7 分

? 可能取 0,1,2,3
k

? 2? 由题意得 ? ~ B ? 3, ? ? 3?
3? k

……………9 分

? 2? ?1? p ?? ? k ? ? C3k ? ? ? ? ? 3? ? 3?

, k ? 0,1,2,3
2 3

……………10 分

?

0

1

P

1 27 2 E ?? ? ? 3 ? ? 2 3

6 27

12 27

8 27

……………12 分

19. 解:(本小题满分 12 分) (1)取 BC 中点 M ,连接 B1M ,则 B1M ? 面 ABC ,

B1
C1

A1

?面BB1C1C ? 面ABC BC ? 面BB1C1C ? 面ABC , AC ? BC
·7·

B

A

C

? AC ? 面BB1C1C AC ? 面ACC1 A1 ?面ACC1 A1 ? 面BCC1B1 ……………4 分
(2)以 CA 为 ox 轴, CB 为 oy 轴,过点 C 与面 ABC 垂直方向为 oz 轴,建立空间直角坐标系……5 分 设 AC ? BC ? 2 , B1M ? t 则 A(2,0,0), B(0,2,0), C(0,1, t ), C(0, ?1, t ) 即 AB1 =(? 2,1, t ), AB ? (?2,2,0), B1C1 ? (0, ?2,0) 设 面

A 1B

法 B





n1 ? (

x,

1 1 ,面 ) AB1C1 y, ? n z1) ? ( 1 , ; t







t n2 ? ( x, y, z) ? n2 ? ( ,0,1) ……………9 分 2 5 cos n1 , n2 ? ? ?t ? 3 ……………11 分 7 ? BB1 ? 2,即? ? 1 ……………12 分
20. (本小题满分 12 分)解:(1) 又

MC2 ? MP ,

MP ? MC1 ? r
x2 y2 ? ? 1 ……………4 分 1 3

? MC1 ? MC2 ? ?2(2 ? 4)

?M 点轨迹是以 C1, C2 为焦点的双曲线 2a ? 2, 2c ? 4 ?
(2) QA1 : y ?

y0 y ( x ? 1) ? D(0, 0 ) x0 ? 1 x0 ? 1 y ? y0 ?3 QA2 : y ? 0 ( x ? 1) ? E (0, ) ? DE中点(0, ) ……………8 分 x0 ? 1 x0 ? 1 y0 3 2 3x 2 2 以 DE 为 直 径 的 圆 方 程 x ? ( y ? ) ? ( 0 ) ……………9 y0 y0

分 ?y ? 0 时 ,

9 x02 9 x ? 2 ? 2 ? 3 ……………11 分 y0 y0
2

定点为 (? 3,0) ……………12 分 21.(本小题满分 12 分)解: (1)依题意,知 f ( x) 的定义域为(0,+∞) ,

1 1 2 1 时, f ( x) ? ln x ? x ? x , 2 4 2 1 1 1 ? ( x ? 2)( x ? 1) f ' ( x) ? ? x ? ? ……………2 分 x 2 2 2x 令 f ' ( x) =0,解得 x ? 1 . (∵ x ? 0 ) 因为 g ( x) ? 0 有唯一解,所以 g ( x2 ) ? 0 ,当 0 ? x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ,此时 f ( x) 单调递增; 当 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ,此时 f ( x) 单调递减。 3 所以 f ( x) 的极大值为 f (1) ? ? ,此即为最大值 ……………4 分 4
当a ? b ?
·8·

(2) F ( x ) ? ln x ? 所以 a ≥ ( ?

x ?a 1 a , x ? (0,3] ,则有 k ? F ' ( x0 ) ? 0 2 ≤ ,在 x0 ? (0,3] 上恒成立, x 2 x0

1 2 x 0 ? x 0 ) max , x0 ? (0,3] 2 1 2 1 1 当 x0 ? 1 时, ? x0 ? x0 取得最大值 ,所以 a ≥ ………8 分 2 2 2 2 (3)因为方程 2mf ( x) ? x 有唯一实数解, 2 所以 x ? 2m ln x ? 2mx ? 0 有唯一实数解, 设 g ( x) ? x 2 ? 2m ln x ? 2mx ,

2 x 2 ? 2m x ? 2m 2 则 g ' ( x) ? .令 g ' ( x) ? 0 , x ? m x ? m ? 0 . x

m ? m 2 ? 4m m ? m 2 ? 4m , x2 ? , ? 0 (舍去) 2 2 当 x ? (0, x2 ) 时, g ' ( x) ? 0 , g ( x) 在(0, x2 )上单调递减, 当 x ? ( x2 ,??) 时, g ' ( x) ? 0 , g ( x) 在( x2 ,+∞)单调递增 当 x ? x2 时, g ' ( x2 ) =0, g ( x) 取最小值 g ( x2 ) .
因为 m ? 0 , x ? 0 ,所以 x1 ?
2 ? g ( x2 ) ? 0, ? ? x 2 ? 2m ln x 2 ? 2m x2 ? 0, 则? 既? 2 ……………10 分 ? g ' ( x2 ) ? 0, ? ? x 2 ? m x2 ? m ? 0. 所以 2m ln x2 ? mx2 ? m ? 0 ,因为 m ? 0 ,所以 2 ln x2 ? x2 ? 1 ? 0 (*) 设函数 h( x) ? 2 ln x ? x ? 1 ,因为当 x ? 0 时, h( x) 是增函数,所以 h( x) ? 0 至多有一解.

1 m ? m 2 ? 4m 因为 h(1) ? 0 ,所以方程(*)的解为 x2 ? 1 ,即 ? 1 ,解得 m ? ……………12 2 2
分 AB ? AC ?ABE ? ?ACD ?BAE ? ?EDC 22.(1)在 △ ABE 和△ ACD 中 ??EDC ? ?DCN 直线是圆的切线 ??DCN ? ?CAD BD ∥ MN ??BAE ? ?CAD ……………5 分 ?△ ABE ≌△ ACD ?BCM ? ?BDC (2) ?EBC ? ?BCM BC ? CD ? 4 ? ?EBC ? ?BDC ? ?BAC 又 ?BEC ? ?BAC ? ?ABE ? ?EBC ? ?ABE ? ?ABC ? ?ACB 设 AE ? x,易证 △ ABE ∽△ DEC 又 AE ? EC ? BE ? ED
? BC ? BE ? 4

?

EC ? 6 ? x

DE DC 4 2 ? ? ? DE ? x x AB 6 3 2 10 ?4 ? x ? x ? 6 ? x ? x? 3 3

………10 分

? x ? cos? 23.(1)曲线 C1 的参数方程为 ? ………1 分 (? 为参数) ? y ? sin ?

·9·

? ? x? ? 2 x 由? ? ? y? ? 3 y

? ? x? ? 2 cos ? 得? ………3 分 ? ? y ? ? 3 sin ?

? ? x ? 2 cos ? (? 为参数) ……5 分 ? C2 的参数方程为 ? y ? 3 sin ? ? ?
(2)由(1)得点 P

?


2 cos ? , 3 sin ?

?
距 离



P
2 3



线

l



d?

2 cos? ? 3 sin ? ? 4 5 2

?

5 cos ?? ? ? ? ? 4 5 2

tan ? ?

………7 分

d max ?

5 5 2

?

5 10 2

………9 分

此时 P点的坐标为? ?

? 2 5 3 5? ? 5 ,? 5 ? ? ? ?

…………10 分

? ?3x ? 1, x ? ?1 ? 24.(1) f ? x ? ? ? x ? 3, ?1 ? x ? 1 ? 3x ? 1, x ? 1 ?
(2)由 f ? x ? 的图像可得 f ? x ? ? 2

f ? x? ? 3

解得 ? ? x ? 0

4 3

……………5 分

?a ? 2

……………10 分

·10·


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