2018届江苏省常州市高三第一次模拟考试 数学试题(附答案)

2018 届江苏省常州市高三第一次模拟考试 数学试题 (满分 160 分,考试时间 120 分钟) 一、 填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1. 若集合 A={-2,0,1},B={x|x2>1},则集合 A∩B=________. 2. 命题“?x∈[0,1],x2-1≥0”是________命题.(选填“真”或“假”) 3. 若复数 z 满足 z· 2i=|z|2+1(其中 i 为虚数单位),则|z|=________. 4. 若一组样本数据 2 015, 2 017, x, 2 018, 2 016 的平均数为 2 017, 则该组样本数据的方差为________. 5. 如图是一个算法的流程图,则输出的 n 的值是________. (第 5 题) 6. 函数 f(x)= (第 12 题) 1 的定义域记作集合 D.随机地投掷一枚质地均匀的正方体骰子(骰子的每个面上分别 lnx 标有点数 1,2,…,6),记骰子向上的点数为 t,则事件“t∈D”的概率为________. 7. 已知圆锥的高为 6,体积为 8.用平行于圆锥底面的平面截圆锥,得到的圆台体积是 7,则该圆台的 高为________. 8. 在各项均为正数的等比数列{an}中,若 a2a3a4=a2+a3+a4,则 a3 的最小值为________. x2 y2 9. 在平面直角坐标系 xOy 中,设直线 l:x+y+1=0 与双曲线 C: 2 - 2=1(a>0,b>0)的两条渐近 a b 线都相交且交点都在 y 轴左侧,则双曲线 C 的离心率 e 的取值范围是________. x-y≤0, ? ? 10. 已知实数 x,y 满足?2x+y-2≥0,则 x+y 的取值范围是________. ? ?x-2y+4≥0, 11. 已知函数 f(x)=bx+lnx,其中 b∈R.若过原点且斜率为 k 的直线与曲线 y=f(x)相切,则 k-b 的值 为________. 12. 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0, 0<φ <π )的图象与 x 轴的交点 A, B, C 满足 OA+OC=2OB,则 φ=________. → 1→ → 13. 在△ABC 中, AB=5, AC=7, BC=3, P 为△ABC 内一点(含边界), 若满足BP= BA+λBC(λ∈R), 4 → → 则BA·BP的取值范围为________. 14. 已知在△ABC 中, AB=AC= 3, △ABC 所在平面内存在点 P 使得 PB2+PC2=3PA2=3, 则△ABC 面积的最大值为________. 二、 解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 页 1第 15. (本小题满分 14 分) 已知在△ABC 中,a,b,c 分别为三个内角 A,B,C 的对边, 3bsinC=ccosB+c. (1) 求角 B 的大小; 1 1 (2) 若 b2=ac,求 + 的值. tanA tanC 16. (本小题满分 14 分) 如图, 四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是平行四边形, PC⊥平面 ABCD, PB=PD, Q 是棱 PC 上异于 P, C 的一点. (1) 求证:BD⊥AC; (2) 过点 Q 和 AD 的平面截四棱锥得到截面 ADQF(点 F 在棱 PB 上),求证:QF∥BC. 页 2第 17. (本小题满分 14 分) 已知小明(如图中 AB 所示)身高 1.8 米,路灯 OM 高 3.6 米,AB,OM 均垂直于水平地面,分别与地面 交于点 A,O.点光源从点 M 发出,小明在地面上的影子记作 AB′. (1) 小明沿着圆心为 O,半径为 3 米的圆周在地面上走一圈,求 AB′扫过的图形面积; π (2) 若 OA=3 米,小明从 A 出发,以 1 米/秒的速度沿线段 AA1 走到 A1,∠OAA1= ,且 AA1=10 3 米.t 秒时,小明在地面上的影子长度记为 f(t)(单位:米),求 f(t)的表达式与最小值. 页 3第 18. (本小题满分 16 分) x2 y2 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: 2 + 2=1(a>b>0)的右焦点为 F,A 是椭圆的左顶点,过原 a b 点的直线与椭圆交于 M, N 两点(点 M 在第三象限), 与椭圆的右准线交于点 P.已知 AM⊥MN, 垂足为 M, → → 4 且OA·OM= b2. 3 (1) 求椭圆 C 的离心率 e; (2) 若 S△AMN+S△POF= 10 a,求椭圆 C 的标准方程. 3 页 4第 19. (本小题满分 16 分) 已知各项均为正数的无穷数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a1=a(其中 a 为常数),nSn+1=(n+1)Sn+ n(n+1)(n∈N ).数列{bn}满足 bn= * 2 an +a2 n+1 (n∈N*). anan+1 (1) 证明:数列{an}是等差数列,并求出{an}的通项公式; (2) 若无穷等比数列{cn}满足:对任意的 n∈N*,数列{bn}中总存在两个不同的项 bs,bt(s,t∈N*),使 得 bs≤cn≤bt,求{cn}的公比 q. 页 5第 20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)= lnx ,其中 a 为常数. (x+a)2 (1) 若 a=0,求函数 f(x)的极值; (2) 若函数 f(x)在(0,-a)上单调递增,求实数 a 的取值范围; (3) 若 a=-1,设函数 f(x)在(0,1)上的极值点为 x0,求证:f(x0)<-2. 页 6第 2018 届高三年级第一次模拟考试(二) 数学附加题 (本部分满分 40 分,考试时间 30 分钟) 21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选

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