2018学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充与复数的概念3.1.2复数的几何意义优化练习新人

3.1.2 复数的几何意义
[课时作业] [A 组 基础巩固] 1.对于复平面,下列命题中真命题是( )

A.虚数集和各个象限内的点的集合是一一对应的 B.实、虚部都是负数的虚数的集合与第二象限的点的集合是一一对应的 C.实部是负数的复数的集合与第二、三象限的点的集合是一一对应的 D.实轴上一侧的点的集合与虚部为正数的复数的集合是一一对应的 解析:A 中纯虚数所对应的点不在象限内;B 中的点应在第三象限;C 中若复数 z 为负 实数,则在 x 轴负半轴上,故选 D. 答案:D 2 2.当 <m<1 时,复数 z=(3m-2)+(m-1)i 在复平面上对应的点位于( 3 A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限 )

2 1 解析:∵ <m<1,∴2<3m<3,- <m-1<0, 3 3 ∴0<3m-2<1, ∴z=(3m-2)+(m-1)i 在复平面内对应的点在第四象限. 答案:D 3.下列命题中为假命题的是( A.复数的模是非负实数 B.复数等于零的充要条件是它的模等于零 C.两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件 D.复数 z1>z2 的充要条件是|z1|>|z2| 解析:A 中任意复数 z=a+bi(a、b∈R)的模|z|= a +b ≥0 总成立,∴A 正确;B 中 由复数为零的条件 z=0??
?a=0 ? ?b=0 ?
2 2

)

?|z|=0, 故 B 正确; C 中若 z1=a1+b1i, z2=a2+b2i(a1、

b1、a2、b2∈R),若 z1=z2,则有 a1=a2,b1=b2,
∴|z1|=|z2|,反之由|z1|=|z2|,推不出 z1=z2,如 z1=1+3i,z2=1-3i 时,|z1|= |z2|,故 C 正确;D 中两个复数不能比较大小,但任意两个复数的模总能比较大小,∴D 错. 答案:D 4.已知 0<a<2,复数 z 的实部为 a,虚部为 1,则|z|的取值范围是( A.(1, 3) B.(1, 5)
1

)

C.(1,3)
2

D.(1,5)

解析:∵|z|= a +1,a∈(0,2),∴|z|∈(1, 5).故选 B. 答案:B 5.复数 z=1+cos α +isin α (π <α <2π )的模为( α A.2cos 2 α C.2sin 2 解析:|z|= 1+cos α 4cos
2 2

)

α B.-2cos 2 α D.-2sin 2 +sin α
2

= 2+2cos α =

α , 2

π α ∵π <α <2π ,∴ < <π , 2 2 α ∴cos <0, 2 α ∴|z|=-2cos . 2 答案:B 6.复数(a-3)+(b-2)i (a,b∈R),在复平面内对应的点为坐标原点,则 a+b= ________. 解析:由题意知 a-3=0,b-2=0,∴a+b=5. 答案:5 7.已知复数 x -6x+5+(x-2)i 在复平面内的对应点在第三象限,则实数 x 的取值范 围是________. 解析:由已知得? 答案:(1,2) 8.已知复数 z=x-2+yi 的模是 2 2,则点(x,y)的轨迹方程是________. 解析:由模的计算公式得 答案:(x-2) +y =8 9.在复平面上,复数 i,1,4+2i 对应的点分别是 A,B,C.求平行四边形 ABCD 的 D 点 所对应的复数. 解析:由已知得向量OA=(0,1),
2 2 2

?x -6x+5<0 ? ? ?x-2<0

2

?1<x<5 ? ?? ? ?x<2

? 1<x<2.

x-

2

+y =2 2,∴(x-2) +y =8.

2

2

2



→ → OB=(1,0),OC=(4,2),

2

∴BA=(-1,1),BC=(3,2), ∴BD=BA+BC=(2,3), ∴OD=OB+BD=(3,3), 即点 D 对应的复数为 3+3i. 10.已知复数 z=(a -1)+(2a-1)i,其中 a∈R,当复数 z 在复平面内对应的点满足 下列条件时,求 a 的值(或取值范围). (1)在实轴上; (2)在第三象限; (3)在抛物线 y =4x 上. 解析:复数 z=(a -1)+(2a-1)i 在复平面内对应的点是(a -1,2a-1). 1 (1)若 z 对应的点在实轴上,则有 2a-1=0,解得 a= ; 2 (2)若 z 对应的点在第三象限,则有
? ?a -1<0, ? ? ?2a-1<0.
2 2 2 2 2





→ → → → → →

1 解得-1<a< ; 2
2

(3)若 z 对应的点在抛物线 y =4x 上,则有 (2a-1) =4(a -1),即 4a -4a+1=4a -4, 5 解得 a= . 4 [B 组 能力提升] 1.已知复数 z 满足|z| -2|z|-3=0,则复数 z 对应的点的轨迹是( A.一个圆 C.2 个点 B.线段 D.2 个圆
2 2 2 2 2 2

)

解析:设 z=x+yi(x,y∈R),由|z| -2|z|-3=(|z|-3)(|z|+1)=0,得|z|=3, 即 x +y =3,所以 x +y =9, 故复数 z 对应的点的轨迹是以原点为圆心,以 3 为半径的圆. 答案:A 2.已知复数 z=3+4i 所对应的向量为 O Z ,把 O Z 依逆时针旋转 θ 得到一个新向量 为 O Z 1.若 O Z 1 对应一个纯虚数,当 θ 取最小正角时,这个纯虚数是( A.3i C.5i B.4i D.-5i
2 2 2 2









)

解析: O Z 1=|O Z |= 3 +4 =5, 由于新向量 O Z 1 对应的点 Z1 在虚轴上, 则新向量 O Z





2

2





3

1

=(0,5),即新向量 O Z 1 对应的复数是 5i. 答案:C 3.已知实数 m 满足不等式|log2m+4i|≤5,则 m 的取值范围为________. 解析:由题意知(log2m) +16≤25,即(log2m) ≤9,-3≤log2m≤3, 1 -3 3 所以 2 ≤m≤2 ,即 ≤m≤8. 8 1 答案: ≤m≤8 8 4.设 z1=1+i,z2=-1+i,复数 z1 和 z2 在复平面内对应点分别为 A,B,O 为原点,
2 2



则△AOB 的面积为________. 解析:在复平面内,z1,z2 对应的点

A(1,1),B(-1,1),
如图,连接 AB 交 y 轴于 C. ∵|z1|=|z2|= 2, ∴△AOB 是等腰三角形. ∵|AB|= [1- - |OC|=1, 1 1 ∴S△AOB= |AB|·|OC|= ×2×1=1. 2 2 答案:1 1 5.设 z=log2(1+m)+ilog (3-m)(m∈R). 2 (1)若 z 在复平面内对应的点在第三象限,求 m 的取值范围; (2)若 z 在复平面内对应的点在直线 x-y-1=0 上,求 m 的值. 解析:(1)由已知,得 log2 ? ? ? 1 log ? ? 2 +m <0, -m <0, ① ②
2





2

=2,

解①得,-1<m<0. 解②得,m<2. 故不等式组的解集为-1<m<0, ∴m 的取值范围是-1<m<0. 1 (2)由已知得,点(log2(1+m),log (3-m))在直线 x-y-1=0 上, 2

4

1 即 log2(1+m)-log (3-m)-1=0, 2 ∴log2(1+m)(3-m)=1, ∴(1+m)(3-m)=2, ∴m -2m-1=0, ∴m=1± 2,且当 m=1± 2时都能使 1+m>0,且 3-m>0, ∴m=1± 2. 6.设全集 U=C,A={z|||z|-1|=1-|z|,z∈C},B={z||z|<1,z∈C},若 z∈A∩(?
U
2

B),
求复数 z 在复平面内对应的点的轨迹. 解析:因为 z∈C,所以|z|∈R,所以 1-|z|∈R, 由||z|-1|=1-|z|得 1-|z|≥0, 即|z|≤1, 所以 A={z||z|≤1,z∈C}. 又因为 B={z||z|<1,z∈C}, 所以?UB={z||z|≥1,z∈C}. 因为 z∈A∩(?UB)等价于 z∈A,且 z∈?UB,
? ?|z|≤1, 所以? ? |z|=1,由复数模的几何意义知,复数 z 在复平面内对应的点的轨迹 ?|z|≥1 ?

是以原点为圆心,以 1 为半径的圆.
次 一 有 只 命 生 度 态 在 键 关 】 标 目 学 教 【 。 略 策 应 时 到 遇 握 掌 ; 果 结 来 带 度 态 的 同 不 折 挫 对 面 道 知 、 1 待 善 性 重 命 使 习 学 过 通 , 因 原 理 心 要 主 的 生 轻 年 少 青 解 了 、 2 】 授 讲 课 新 【 : 课 新 入 导 、 一 已 而 丝 做 合 适 证 是 只 我 错 答 回 ” ! 起 不 真 你 “ : 道 叹 赞 对 人 有 。 次 八 败 失 料 材 种 多 百 六 千 七 了 验 实 后 先 曾 , 时 灯 电 明 发 生 迪 爱 ? 么 什 了 明 说 料 材 段 这 : 一 想 。 果 结 致 导 会 又 度 态 有 人 的 同 不 , 折 挫 待 对 究 探 课 新 、 二 度 态 在 键 关 ) ? 待 确 正 样 怎 ( ? 果 结 么 什 来 带 会 态 心 的 同 不 , 折 挫 对 面 、 1 。 倒 压 所 被 终 最 协 妥 者 或 避 回 缩 退 是 总 遇 面 一 暗 灰 和 望 失 、 观 悲 到 看 能 只 , 折 挫 待 对 度 态 的 极 消 用 们 我 当 ) 1 ( 。 者 强 活 生 为 成 境 困 出 走 终 最 法 办 决 解 找 寻 因 原 析 分 考 思 静 冷 能 面 一 上 向 步 进 、 观 乐 到 看 会 就 , 折 挫 待 对 态 心 的 极 积 用 们 我 当 ) 2 ( ) 点 几 哪 到 做 要 需 向 胜 战 极 积 为 认 你 ( ? 功 成 的 业 事 得 取 , 折 挫 出 走 何 如 、 2 ) 提 前 ( 。 态 心 端 , 折 挫 视 正 ) 证 保 本 根 ( 。 气 勇 强 增 , 心 信 立 树 ) 础 基 ( 。 因 原 的 生 产 折 挫 析 分 观 客 , 待 对 静 冷 ) 力 动 ( 。 标 目 和 想 理 的 当 恰 定 确 ) 法 方 要 主 ( 。 解 排 , 导 疏 我 自 ) 法 方 效 有 ( 。 诉 倾 人 他 向 , 助 帮 求 请 ) 法 方 要 主 ( 。 力 竭 不 的 动 行 为 化 转 愁 忧 苦 痛 、 折 挫 将 , 华 升 神 精 华 升 标 目 情 移 泄 宣 理 合 、 导 疏 我 自 : 有 体 具 。 法 方 的 折 挫 胜 战 握 掌 果 结 , 态 心 的 同 不 业 事 就 , 功 成 得 取 : 态 心 极 积 成 无 事 一 , 望 失 观 悲 : 态 心 极 消 进 改 何 如 ? 式 方 理 处 和 度 态 的 折 挫 待 对 往 以 你 思 反 法 方 的 折 挫 出 走 极 积 、 3 。 态 心 端 避 回 不 , 折 挫 和 实 现 视 正 ) 1 ( 。 因 原 的 生 产 折 挫 剖 解 和 析 分 真 认 ) 2 ( 。 标 目 和 想 理 的 确 正 立 树 ) 3 ( 。 气 勇 强 增 , 心 信 立 树 ) 4 ( 次 一 有 只 命 生 美 之 命 生 采 风 绚 么 那 了 现 展 中 限 己 自 在 间 世 些 这 荣 枯 木 草 衰 繁 花 鲜 同 如 头 尽 向 走 会 。 赞 去 法 无 们 我 但 完 不 并 时 有 然 虽 ! 正 真 , 的 丽 美 是 命 生 。 丽 美 的 正 真 拜 崇 为 因 , 命 生 惜 珍 我 ” 决 解 “ 谓 所 题 问 取 换 命 己 自 用 会 往 折 挫 严 到 遇 旦 一 们 他 。 好 美 乐 快 了 视 忽 辛 艰 程 和 的 标 目 重 看 地 分 过 人 些 有 , 中 活 生 实 现 在 亡 治 不 救 抢 院 医 往 送 急 紧 被 事 。 下 跳 楼 四 从 身 转 竟 去 进 跟 有 没 后 近 当 讨 前 面 同 全 在 让 还 但 误 错 认 承 句 几 了 评 批 上 廊 走 外 室 教 到 叫 他 把 便 成 完 未 王 现 发 , 时 业 作 生 学 查 检 江 师 老 史 历 的 班 ) 九 ( 级 年 七 县 某

5


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