最新-湖南省益阳市2018届高三下学期4月调研考试文科数学试题及答案 精品_图文

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名 准考证号

益阳市 2018 届高三 4 月调研考试 文科数学(试题卷)
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 6 页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试卷上无效. 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.已知集合 M ? {x | x ? 2}, N ? {x | x ? 0} ,则 M A. ? B. {x | x ? 0}

N?
D. {x | 0 ? x ? 2}

C. {x | x ? 2}

2.函数 y ? 2sin(2 x ? ) ? 1 的最大值为

?

4

A.-1

B.1

C .2

D.3

3.已知 OA ? (2,3) , OB ? (?3, y) ,且 OA ? OB ,则 y 等于 A.2 B.-2 1 C. 2 1 D.- 2

4.已知 i 是虚数单位,则复数 z ? A.0
0.1

4 ? 3i 的虚部是 3 ? 4i
C. ?i D.1

B. i
0.1

5.设 a ? 4 , b ? log3 0.1, c ? 0.5 ,则 A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. a ? c ? b D. b ? c ? a

6.已知命题 p : x ? 1 , q : A.充分不必要条件

1 ? 1 ,则 p 是 q 的 x
B.必要不充分条件 D.充要条件

C.既不充分也不必要条件

7.如右图,一艘海轮从 A 处出发,以每小时 40 海里的速度沿东 偏南 50°方向直线航行,30 分钟后到达 B 处.在 C 处有一座 灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是东偏南 20°,在 B 处 观察灯塔,其方向是北偏东 65°,那么 B、C 两点间的距离是
第 7 题图

A. 10 2 海里 C. 20 2 海里

B. 10 3 海里 D. 20 3 海里

8.若某空间几何体的三视图如右图所示,则该几何体的 表面积是 A.60 B.54 C.48 D.24

第 8 题图

9.已知双曲线的一个焦点与抛物线 x 2 ? 8 y 的焦点重合,且其渐近线的方程为 3x ? y ? 0 ,则该双 曲线的标准方程为 A.

x2 ? y2 ? 1 3

B.

y2 ? x2 ? 1 3
y 2 x2 ? ?1 9 16

开始 x = 1, y = 2

x2 y2 ? ?1 C. 9 16

D.

z= xy


10.执行如右图所示的程序框图,若输出 z 的值为 256,则判断框内可填入的条件是 A. z ? 32 ? C. z ? 34 ? B. z ? 258? D. z ? 260?



x =y y= z

输出 z

结束

第 10 题图 ?y ? 5 ? 11.若实数 x, y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 3 ? 0 , 则 z ? | x | ?2 y 的最大值是 ?x ? y ?1 ? 0 ?

A.10

B.11

C.13

D.14

12.若曲线 C1 : y ? ax 2 (a ? 0) 与曲线 C2 : y ? e x 存在公共切线,则实数 a 的取值范围为 A. ?

? e2 ? , ?? ? ?8 ?

B. ? 0,

? ?

e2 ? ? 8?

C. ?

? e2 ? , ?? ? ?4 ?

D. ? 0,

? ?

e2 ? ? 4?

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两个部分.第13题~第21题为必考题,每个考生都必须作答.第22题 ~24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的离心率=__ 9 25

____.
2

14.设实数 p 在 ? 0, 2? 上随机地取值,则关于 x 的方程 x ? 2 x ? p ? 0 有实根的概率为



?3x ? a ( x ? 0) 15.已知奇函数 f ( x) ? ? ,则 g (?2) 的值为___________. ? g ( x) ( x ? 0)
16.已知菱形 ABCD 的边长为 2, ?BAD ? 60 , M 为 CD 的中点,若 N 为该菱形内任意一点(含边 界),则 AM AN 的最大值为___________.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 为了了解社会对学校办学质量的满意程度,某学校决定采用分层抽样的方法从高中三个年级的 家长委员会中共抽取 6 人进行问卷调查,已知高一、高二、高三的家长委员会分别有 54 人、18 人、36 人. (Ⅰ)求从三个年级的家长委员会中分别应抽取的家长人数; (Ⅱ)若从抽得的 6 人中随机抽取 2 人进行抽查结果的对比,求这 2 人中至少有一人是高三学 生家长委员的概率.

18.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?a n ? 是公比不为 1 的等比数列, a1 ? 1 ,且 a1 , a3 , a 2 成等差数列. (Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项; (Ⅱ)若数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,试求 S n 的最大值.

19.(本小题满分 12 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? AC ? 2 AB=2 ,且 BC1 ? A1C . (Ⅰ)求证:平面 ABC1 ⊥平面 A1 ACC1 ; (Ⅱ)设 D 是 A1C1 的中点,判断并证明在线段 BB1 上是否存在点 E , 使 DE //平面 ABC1 ;若存在,求三棱锥 E ? ABC1 的体积. A1 B1 D C1

A B 第 19 题图

C

20.(本小题满分 12 分) 如图, 已知以点 A(?1,2) 为圆心的圆与直线 l1 : x ? 2 y ? 7 ? 0 相切, 过点 B(?2,0) 的动直线 l 与圆 A 相交于 M , N 两点, Q 是 MN 的中点,直线 l 与 l1 相交于点 P . (Ⅰ)求圆 A 的方程; (Ⅱ)当 | MN |? 2 19 时,求直线 l 的方程; (Ⅲ) BQ BP 是否为定值?如果是,求出该 定值;如果不是,说明理由.

2l. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (Ⅰ)求 a , b 的关系式; (Ⅱ)若 f ( x) 存在两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,求 a 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,证明 f (

b 1 (a, b ? R) ,且对任意 x ? 0 ,都有 f ( x) ? f ( ) ? 0 . x x

a2 . ) ? 0 ,并指出函数 y ? f ( x) 零点的个数(要求说明理由) 2

请考生从第 22、23、24 三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所 做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,AB 是圆 O 的直径,PB 是圆 O 的切线,过 A 点作 AE∥OP 交圆 O 于 E 点, PA 交圆 O 于 点 F,连接 PE. A (Ⅰ)求证:PE 是圆 O 的切线; (Ⅱ)设 AO=3,PB=4,求 PF 的长. E O F B P

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? x ? cos ? 已知曲线 C1 的参数方程是 ? ( ? 为参数) ,以直角坐标原点为极点,x 轴的正半轴为 ? y ? 2sin ?

极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ? sin ? ? 2? cos? ? 4 2 . (Ⅰ)求曲线 C2 的直角坐标方程; (Ⅱ)设 P 为曲线 C1 上任意一点,Q 为曲线 C2 上任意一点,求|PQ|的最小值.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设不等式 ? 2 ?| x ? 1 | ? | x ? 2 |? 0 的解集为 M, a,b ? M. (Ⅰ)证明: |

1 1 1 a ? b |? ; 3 6 4

(Ⅱ)比较 | 1 ? 4ab | 与 2 | a ? b | 的大小.

益阳市 2018 届高三 4 月调研考试

文科数学参考答案
一、选择题(5 分×12=60 分) 题号 答案 1 D 2 D 3 A 4 D 5 C 6 A 7 A 8 A 9 B 10 C 11 D 12 C

二、填空题(5 分×4=20 分) 13、

4 5

14、 0.5

15、 ?8

16、 9

三、解答题(本大题共 6 小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分) 解(I)家长委员会总人数为 54+18+36=108, 样本容量与总体中的个体数比为 , ................3 分

所以从三个年级的家长委员会中分别应抽取的家长人数为 3,1,2..............6 分 (II)设 A1,A2,A3 为从高一的家长委员会中抽得的 3 个家长, B1 为从高二的家长委员会中抽得的 1 个家长, C1,C2 为从高三的家长委员会中抽得的 2 个家长, 从抽得的 6 人中随机抽取 2 人, 全部的可能结果有 15 种, .......................9 分 这 2 人中至少有一人是高三的家长委员会的结果有 (A1,C1) , (A1,C2) , (A2,C1) , (A2,C2) , (A3,C1) , (A3,C2) ,

(B1,C1) , (B1,C2) , (C1,C2) ,一共有 9 种. 所以所求的概率为 . ......................12 分

18.(本小题满分 12 分) 解析: (Ⅰ)设 {an } 的公比为 q ,因为 a1 , a3 , a 2 成等差数列,所以 2a3 ? a1 ? a2 , 因为 a1 ? 1 ,所以 2q ? 1 ? q ,因为 q ? 1 ,
2

1 , 2 1 所以 an ? ( ? ) n ?1 2
所以 q ? ?

.......................3 分 .......................6 分

8

11 12
19.(本小题满分 12 分) 解: (I)证明:在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,有 A1 A ? 平面 ABC . ∴ A1 A ? AC , 又 A1 A ? AC , ∴ A1C ? AC1 . …………4 分 又 BC1⊥A1C,∴A1C⊥平面 ABC1 , 则平面 ABC1⊥平面 A1C . …………6 分 (II)方法一:取 A1 A 中点 F,连 EF,FD,当 E 为 B1 B 中点时,EF∥AB, DF ∥ AC1 , 即平面 EFD ∥ 平面 ABC1 ,则有 ED ∥平面 ABC1 . …………10 分 1 1 1 当 E 为中点时, VE -ABC1 ? VC1 ? ABE ? = ? 2 ? ? 1? 1 ? …………12 分 3 2 3 方法二:A1C 交 AC1 于 G 点连 BG,当 E 为中点时,有 即 DE ∥平面 ABC1,求体积同上. A1 B1
F E E

,则有 DE∥BG,

D

C1 B1

A1

D

C1

G

A B 第 19 题图

C B

A 第 19 题图

C

20.(本小题满分 12 分)

.......................2 分 .......................3 分 .......................4 分

.......................6 分

.......................7 分

.......................9 分

.......................10 分

.......................12 分

21.(本小题满分 12 分)

(3)设 h(a) ? f (

a2 2 a3 1 ) ? 2ln a ? ? ? ln 2 , 0 ? a ? ,则 2 a 2 2 2 2 3a2 ?3a4 ? 4a ? 4 4a ? 4 2(a ? 1) h '(a) ? ? 2 ? ? ? ? ?0, a a 2 2a2 2a2 a2 1 1 63 ? h(a) 在区间 (0 , ) 单调递减,? h(a) ? h( ) ? ? 3ln 2 ? 3 ? 3ln 2 ? 0 . 2 2 16

请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号. 22.解:(Ⅰ)连接 OE,∵OA=OE, ∴∠OAE=∠OEA, ∵AE∥OP, ∴∠OAE=∠BOP, ∠OEA=∠EOP, ∴∠BOP=∠EOP,又 OB=OE,OP=OP, ∴△BOP≌△EOP, ∴∠OEP=∠OBP, ∵PB 是圆 O 的切线,∴∠OBP=90° , ∴PE 是圆 O 的切线. ……………………5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知△ABP 是直角三角形,

A E O F B P

∵AB=2AO=6,PB=4, ∴PA=

AB2 ? PB2 ? 2 13 ,

∵PB 是圆 O 的切线, 2 ∴PB =PF· PA, PF=

PB2 8 13 . ? PA 13

……………………10 分

23. 解:(Ⅰ)将 ?

? x ? ? cos? , 代入 ? sin ? ? 2? cos? ? 4 2 得: ? y ? ? sin ?
………4 分

曲线 C2 的直角坐标方程为 y ? 2x ? 4 2 .

(Ⅱ)由题意可知|PQ|的最小值即为 P 到直线 y ? 2x ? 4 2 的距离的最小值,
| 2cos ? ? 2sin ? ? 4 2 | 5 2 2 cos(? ? ) ? 4 2 4 ? 5

?

d=

所以|PQ|的最小值为 d min ?

2 10 . 5

………10 分

24.解:当 x ? ?2 时,原不等式可化为 ?2 ? 3 ? 0 ,显然不成立; 当 ?2 ? x ? 1 时,原不等式可化为 ?1 ? ?2 x ? 1 ,解得 ? 当 x ? 1 时,原不等式可化为 ?2 ? ?3 ? 0 显然不成立。 综上所述,原不等式的解集为 M ? {x | ? (Ⅰ)证明:

1 1 ?x? ; 2 2

1 1 ? x ? } .…………3 分 2 2

1 1 a, b ? M , ? a, b ? ( ? , ) , 2 2 1 1 1 1 1 1 ? b? , 所以 ? ? a ? , ? 6 3 6 12 6 12 1 1 1 1 1 1 1 两式相加得 ? ? a ? b ? ,即 | a ? b |? .…………6 分 4 3 6 4 3 6 4

(Ⅱ)

(1 ? 4ab)2 ? 4(a ? b)2 ? 1 ? 8ab ? 16a2b2 ? 4a2 ? 8ab ? 4b2 ? (1 ? 4a2 )(1 ? 4b2 ) ,

1 1 1 1 2 2 a, b ? ( ? , ) , ,? 0 ? a ? ,0 ? b ? 2 2 4 4
所以 1 ? 4a2 ? 0,

1 ? 4b2 ? 0 ,所以 (1 ? 4a2 )(1 ? 4b2 ) ? 0 ,
…………10 分

所以 |1 ? 4ab |? 2 | a ? b | .

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