精品学习2018-2019学年高中数学 第一章 常用逻辑用语单元测试1 北师大版选修1-1

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第一章 常用逻辑用语

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的)

1.命题“任意 x∈R,ex>x2”的否定是( )

A.存在 x∈R,使得 ex≤x2

B.任意 x∈R,使得 ex≤x2

C.存在 x∈R,使得 ex>x2

D.不存在 x∈R,使得 ex>x2

解析:选 A.此命题是全称命题,其否定为:“存在 x∈R,ex≤x2”.

2.设 a,b 是两条直线,α ,β 是两个平面,则 a⊥b 的一个充分条件是( )

A.a⊥α ,b∥β ,α ⊥β

B.a⊥α ,b⊥β ,α ∥β

C.a α ,b⊥β ,α ∥β

D.a α ,b∥β ,α ⊥β

解析:选 C.∵b⊥β ,α ∥β ,∴b⊥α ,又 a α ,∴a⊥b.

3.已知命题 p:所有有理数都是实数,命题 q:正数的对数都是负数,则下列命题为真

命题的是( )

A.(非 p)或 q

B.p 且 q

C.(非 p)且(非 q)

D.(非 p)或(非 q)

解析:选 D.∵p 真 q 假,∴非 p 假,非 q 真,故选 D.

4.命题“存在 x∈R,2x+x2≤1”的否定是( )

A.对于任意的 x∈R,2x+x2>1,假命题

B.对于任意的 x∈R,2x+x2>1,真命题

C.存在 x∈R,2x+x2>1,假命题

D.存在 x∈R,2x+x2>1,真命题

解析:选 A.因为 x=0 时,20+02=1≤1,所以该命题的否定“对于任意的 x∈R,2x+

x2>1”是假命题.

5.已知平面 α ,直线 l α ,直线 m α ,则“直线 l∥α ”是“l∥m”的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分又不必要条件

解析:选 B.l∥α ,l α ,m α ,l 与 m 可能平行或异面;反过来,若 l∥m,l α ,

m α ,则 l∥α . 6.命题 p:“若 x2-3x+2≠0,则 x≠2”,若 p 为原命题,则 p 的逆命题、否命题、

逆否命题中正确命题的个数为( )

A.0

B.1

C.2

D.3

解析:选 B.∵p 真,其逆否命题为真;逆命题为假,否命题也为假,故选 B.

7.已知两个不同的平面 α 、β 和两条不重合的直线 m、n,则下列命题不正确的是( )

A.若 m∥n,m⊥α ,则 n⊥α

B.若 m⊥α ,m⊥β ,则 α ∥β

C.若 m⊥α ,m∥n,n β ,则 α ⊥β

D.若 m∥α ,α ∩β =n,则 m∥n

解析:选 D.对 D,m 与 n 可能平行,也可能异面,D 不正确,A、B、C 中命题均正确.

8.下列命题中,真命题是( )

A.任意 x∈R,x2≥x

B.命题“若 x=1,则 x2=1”的逆命题

C.存在 x∈R,x2≥x

D.命题“若 x≠y,则 sin x≠sin y”的逆否命题

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解析:选 C.对 A,当 x∈(0,1)时,A 为假命题;B 的逆命题为:“若 x2=1,则 x=1”,

此命题为假命题,B 为假命题;对 C,当 x=1 时成立,C 为真命题;对 D,D 的逆否命题为:

“若 sin x=sin y,则 x=y”.此命题为假,例如 sin 30°=sin 150°,但 30°≠150°,

D 为假命题,故选 C.

9.已知 a、b 为非零向量,则“a⊥b”是“函数 f(x)=(xa+b)·(xb-a)为一次函数”

的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析:选 B.f(x)=(xa+b)·(xb-a)=a·bx2+(b2-a2)x-a·b,若“函数 f(x)=(xa

+b)·(xb-a)为一次函数”,则 a·b=0,即“a⊥b”;若“a⊥b”,当 a2=b2 时,f(x)

=0,就不是一次函数,故“a⊥b”,是“函数 f(x)=(xa+b)·(xb-a)为一次函数”的必

要不充分条件.

10.命题 p:“任意 x∈[1,2],2x2-x-m>0”,命题 q:“存在 x∈[1,2],log2x +m>0”,若“p 且 q”为真命题,则实数 m 的取值范围是( )

A.m<1

B.m>-1

C.-1<m<1

D.-1≤m≤1

解析:选 C.p 为真时,m<2x2-x,x∈[1,2]恒成立,2x2-x 在 x∈[1,2]上的最小值

为 1,∴m<1;

q 为真时,m>-log2x,x∈[1,2]能成立,-log2x 在[1,2]上的最小值为-1,∴m>

-1;

∵p 且 q 为真命题,∴p 和 q 都是真命题,故-1<m<1.

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中横线上)

11.若“x=2”是“x2-2x+c=0”的充分条件,则 c=________.

解析:由题意 x=2? x2-2x+c=0,∴22-2×2+c=0,∴c=0.

答案:0

12.若命题“存在 x<2 014,x>a”是假命题,则实数 a 的取值范围是________.

解析:∵“存在 x<2 014,x>a”是假命题,∴其否定:“对任意 x<2 014,x≤a”

为真命题,∴a≥2 014.

答案:[2 014,+∞)

13.若 a 与 b-c 都是非零向量,则“a·b=a·c”是“a⊥(b-c)”的________条件.

解析:若 a·b=a·c,则 a·b-a·c=0,即 a·(b-c)=0,所以 a⊥(b-c);反之,

若 a⊥(b-c),则 a·(b-c)=0,即 a·b-a·c=0,所以 a·b=a·c.从而有 a·b=a·c

?a⊥(b-c).

答案:充要

14.已知 p:存在 x∈R,mx2+1≤0;q:对任意 x∈R,x2+mx+1>0,若 p 或 q 为假,

则实数 m 的取值范围是________.

解析:p 或 q 为假,则非 p 和非 q 均为真.

非 p:对任意 x∈R,mx2+1>0 为真时,m≥0;非 q:存在 x∈R,x2+m+1≤0 为真时,

Δ =m2-4≥0,m≤-2 或 m≥2,故 m 的取值范围是{m|m≥0}∩{m|m≤-2 或 m≥2}={m|m≥2}.

答案:[2,+∞)

15.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1,则下列四个命题:

①P 在直线 BC1 上运动时,三棱锥 A-D1PC 的体积不变; ②P 在直线 BC1 上运动时,直线 AP 与平面 ACD1 所成角的大小不变; ③P 在直线 BC1 上运动时,二面角 P?AD1?C 的大小不变;
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④M 是平面 A1B1C1D1 上到点 D 和 C1 距离相等的点,则 M 点的轨迹是过 D1 点的直线 D1A1. 其中真命题的编号是________. 解析:对①,P 在直线 BC1 上运动时,S△AD1P 为定值,C 到底面 AD1P 的距离为定值,① 为真命题; 对②,P 在直线 BC1 上运动时,P 到底面 ACD1 的距离 PO(O 为垂足)不变,但线段 OA 的长 是变化的;∴②是假命题; 对③,由于 BC1∥AD1,③为真命题; 对④,由于直线 D1A1 上任一点到点 D 和 C1 距离相等,又 D1A1 平面 A1B1C1D1,④为真命 题. 答案:①③④ 三、解答题(本大题共 5 小题,共 55 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分 10 分)判断下列命题的真假: (1)“π 是无理数”,及其逆命题; (2)“若实数 a,b 不都为 0,则 a2+b2≠0”; (3)命题“任意 x∈(0,+∞),有 x<4 且 x2+5x-24=0”的否定. 解:(1)原命题为真命题,其逆命题为:无理数是π ,为假命题; (2)原命题的逆否命题为“若 a2+b2=0,则实数 a,b 同时为 0”,显然为真,故原命题 为真; (3)原命题的否定为:存在 x∈(0,+∞),使 x≥4 或 x2+5x-24≠0 显然为真命题. 17.(本小题满分 10 分)设命题 p:(4x-3)2≤1;命题 q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0, 若非 p 是非 q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 解:设 A={x|(4x-3)2≤1}, B={x|x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0}, 易知 A={x|12≤x≤1},B={x|a≤x≤a+1}. 由非 p 是非 q 的必要不充分条件,从而 p 是 q 的充分不必要条件,即 A 是 B 的真子集, ∴???a≤21, (等号不同时成立)
??a+1≥1. 故所求实数 a 的取值范围是[0,12]. 18.(本小题满分 10 分)已知命题 p:函数 y=(a-1)x 在 R 上单调递增,命题 q:不等 式 x+|x-3a|>1 的解集为 R,若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 a 的取值范围. 解:若 p 真,则 a-1>1? a>2, q 真?x+|x-3a|>1 恒成立,设 h(x)=x+|x-3a|,则 h(x)min>1. ∵h(x)=?????23xa- ,3a, x<x≥3a3a,易知 h(x)min=3a, ∴3a>1,即 a>13. ∵p 或 q 为真,p 且 q 为假,∴p,q 一真一假. ①若 p 真 q 假,则 a>2 且 a≤13,矛盾. ②若 p 假 q 真,则 a≤2 且 a>13? 13<a≤2, 综上可知,a 的取值范围是(13,2]. 19.(本小题满分 12 分)已知集合 M={x|x<-3 或 x>5},P={x|(x-a)·(x-8)≤0}. (1)求实数 a 的取值范围,使它成为 M∩P={x|5<x≤8}的充要条件. (2)求实数 a 的一个值,使它成为 M∩P={x|5<x≤8}的一个充分不必要条件. 解:(1)由 M∩P={x|5<x≤8},结合集合 M,P 可得-3≤a≤5.故-3≤a≤5 是 M∩P=
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{x|5<x≤8}的必要条件.下面证明这个条件也是充分的. 证明:当-3≤a≤5 时,集合 P={x|a≤x≤8},集合 M={x|x<-3 或 x>5},故 M∩P
={x|5<x≤8}. 综上可知,-3≤a≤5 是 M∩P={x|5<x≤8}的充要条件. (2)求实数 a 的一个值,使它成为 M∩P={x|5<x≤8}的一个充分不必要条件,就是在
集合{a|-3≤a≤5}中取一个值,如取 a=0,此时必有 M∩P={x|5<x≤8};反之,M∩P= {x|5<x≤8}未必有 a=0,故 a=0 是 M∩P={x|5<x≤8}的一个充分不必要条件.
20.(本小题满分 13 分)已知 f(x)=ax2+bx+c 的图像过点(-1,0),是否存在常数 a, b,c 使不等式 x≤f(x)≤1+2 x2对一切实数 x 均成立?
解:假设存在常数 a,b,c 使题设命题成立. ∵f(x)图像过点(-1,0),∴a-b+c=0, ∵x≤f(x)≤1+2 x2对一切 x∈R 均成立, ∴当 x=1 时,也成立, 即 1≤a+b+c≤1, 故有 a+b+c=1. ∴b=12,c=12-a. ∴f(x)=ax2+12x+12-a, ∴x≤ax2+12x+12-a≤1+2 x2对一切 x∈R 成立, 即???ax2-12x+12-a≥0, 恒成立
??(1-2a)x2-x+2a≥0
??14-4a???12-a???≤0, ?? 1-8a(1-2a)≤0, ??a>0,
1-2a>0, ∴a=14.∴c=12-a=14. ∴存在一组常数 a=14,b=12,c=14,使不等式 x≤f(x)≤1+2 x2对一切实数 x 均成立.
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