炜昊教育2015年高考第一轮复习专题:圆锥曲线

炜昊教育 2015 年高考第一轮复习专题:圆锥曲线
一、选择题 1.抛物线 y 2 ? 8x 的焦点到准线的距离是( A.1 B. 2 ) C. (4,0) D. (- 4,0) ) C. 4 D. 8

2.抛物线 y 2 ? ?8x 的焦点坐标是( A. (2,0)

B. (- 2,0) )

x2 y 2 3.双曲线 ? ? 1 的焦距为( 10 2

A. 3 2 4.设 P 椭圆 A .4 5. 下列曲线中,离心率为

B. 4 2

C. 3 3

D. 4 3 )

x2 y 2 ? ? 1 上的点, F1 、 F2 是椭圆的两个焦点,则 | PF1 | ? | PF2 | 等于( 25 16

B.5

C.8 )

D.10

6 的是( 2

x2 y2 ? ?1 A. 2 4
6. “双曲线的方程为 A.充分而不必要条件 7. 双曲线 A. 3

x2 y2 ? ?1 B. 4 2

x2 y2 ? ?1 C. 4 6

x2 y2 ? ?1 D. 4 10


9 x2 y2 ? ? 1 ”是“双曲线的准线方程为 x= ? ”的( 5 9 16

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件 ) D.6 )

x2 y2 ? ? 1 的渐近线与圆 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 相切,则 r=( 6 3

B.2

C.3

8. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( 4 3 2 1 A. B. C. D. 5 5 5 5

9. 已知 F1 、 右焦点, 点 P 在 C 上, ∠F1 P F2 = 60 0 , 则 | PF1 | | PF2 |? F2 为双曲线 C: x2 ? y 2 ? 1的左、 ( A.2 ) B.4 C. 6 D. 8

1 x2 y 2 10.设椭圆 2 ? 2 ? 1(m ? 0,n ? 0) 的右焦点与抛物线 y 2 ? 8x 的焦点相同,离心率为 ,则 2 m n

此椭圆的方程为(



1

x2 y 2 A. ? ?1 12 16

x2 y 2 B. ? ?1 16 12

x2 y 2 C. ? ?1 48 64

x2 y 2 D. ? ?1 64 48

11. 若点 O 和点 F 分别为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上点的任意一点,则 4 3

OP ? FP 的最大值为(
A.2

) B.3 C.6 D.8

x2 y 2 12. 设双曲线 2 - 2 =1? a>0,b>0 ? 的渐近线与抛物线 y=x2+1相切,则该双曲线的离心率 a b

等于( A. 3

) B.2 C. 5 D. 6

二、填空题 13.若直线 ax ? y ? 1 ? 0 经过抛物线 y 2 ? 4x 的焦点,则实数 a ? 14.在 △ ABC 中, ?A ? 90 , tan B ? .

3 .若以 A,B 为焦点的椭圆经过点 C ,则该椭圆的离 4

心率 e ? . 15. 已知抛物线 C 的顶点坐标为原点,焦点在 x 轴上,直线 y=x 与抛物线 C 交于 A,B 两点,若 P ? 2,2? 为 AB 的中点,则抛物线 C 的方程为 16. 已知双曲线 .

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程是 y ? 3x ,它的一个焦点与抛物线 a 2 b2

y 2 ? 16 x 的焦点相同.则双曲线的方程为
三、解答题

.

17. 已知抛物线 C 的方程 C: y 2 ? 2 px (p>0)过点 A(1,?2) . (I)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程; (II)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l,使得直线 l 与抛物线 C 有公共点, 且直线 OA 与 l 的距离等于

5 ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 5

2

x2 y2 3 18.已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆短半轴长半径的 3 a b
圆与直线 y ? x ? 2 相切. (Ⅰ)求 a 与 b; (Ⅱ)设该椭圆的左、右焦点分别为 F1 和 F2 ,直线 l1 过 F2 且与 x 轴垂 直,动直线 l 2 与 y 轴垂直, l 2 交 l1 与点 P. 求线段 PF 1 垂直平分线与 l 2 的交点 M 的轨迹方程, 并指明曲线类型.

19.已知抛物线 C : y ? 2x2 ,直线 y ? kx ? 2 交 C 于 A,B 两点, M 是线段 AB 的中点,过 M 作 x 轴的垂线交 C 于点 N . (Ⅰ )证明:抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行; (Ⅱ )是否存在实数 k 使 NA ? NB ? 0 ,若存在,求 k 的值;若不存在,说明理由.

20. 已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交于 A 、 B 2 a b 3

两点,当 l 的斜率为 1 是,坐标原点 O 到 l 的距离为 (Ⅰ)求 a , b 的值;

2 2

(Ⅱ) C 上是否存在点 P ,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有

OP ? OA? OB成立?若存在,求出所有的 P 的坐标与 l 的方程;若不存在,说明理由.

3

x2 y 2 21. 已知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C: 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 相交于 B、D 两点,且 BD 的 a b

中点为 M(1,3) . (Ⅰ )求 C 的离心率; (Ⅱ )设 C 的右顶点为 A,右焦点为 F,| DF | ? | BF |? 17 ,证明:过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切.

22.双曲线的中心为原点 O ,焦点在 x 轴上,两条渐近线分别为 l1,l2 ,经过右焦点 F 垂直于
AB 、 OB 成等差数列,且 BF 与 FA 同向. l1 的直线分别交 l1,l2 于 A,B 两点.已知 OA 、

(Ⅰ)求双曲线的离心率; (Ⅱ)设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4,求双曲线的方程.

4

参考答案:
一、选择题答题卡: 题号 答案 1 C 2 B 3 D 4 D 5 B 6 A 7 A 8 B 9 B 10 B 11 C 12 C

二、填空题 13. ? 1 . 三、解答题 17.解: (Ⅰ)将 A(1,?2) 代入 y ? 2 px ,得 p ? 2 .故所求的抛物线 C 的方程为 y ? 4 x ,其准线方程为
2 2

14.

1 . 2

15. y ? 4 x .
2

16.

x2 y2 ? ? 1. 4 12

x ? ?1 .(Ⅱ) k OA ? ?2 ,直线 OA 的方程为 y ? ?2x,即2 x ? y ? 0 .假设存在符合题意的直线 l ,其方
程为 y ? ?2 x ? t,即2 x ? y ? t ? 0 .由 ?

? y ? ?2 x ? t ? y ? 4x
2

,得 y ? 2 y ? 2t ? 0 .因为直线 l 与抛物线 C 有公共
2

点,所以得 ? ? 4 ? 8t ? 0 ,解得 t ? ?

1 |t | 1 5 ? .另一方面,由直线 OA 与 l 的距离 d ? ,可得 ,解 2 5 5 5

得 t ? ?1 .因为 ? 1 ? ??

? 1 ? ? 1 ? ,?? ?,1 ? ?? ,?? ? ,所以符合题意的直线 l 存在,其方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 . ? 2 ? ? 2 ?
3 c2 a2 ? b2 1 b2 2 ,? e 2 ? 2 ? ? .? 2 ? . 因为圆 x 2 ? y 2 ? b 2 与直线 y ? x ? 2 相 2 3 3 3 a a a
? 2 ? r ? b , ? b 2 ? 2, a 2 ? 3 .因此, a ? 3, b ? 2 .

18.解: (Ⅰ)? e ?

切,所以 d ?

2 1?1

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知 F1 , F2 两点分别为 (?1,0), (1,0) , 设 M(x、 y)是所求轨迹上的任意点,则点设 P 的坐标为 (1, y ) . 那 么 线 段 PF 1 中 点 为 N (0, ) . 从 而 NM ? ( x, ), F1 P ? ( 2, y ) , 由 NM ? F1 P ? 2 x ? y

y 2

y 2

y2 ?0 得 2

y ? ?4x .所以,点 M 的轨迹方程是抛物线 y ? ?4x (除原点).
2 2

A M

19. (Ⅰ)证明: x ?
2

1 1 y, p ? ,设点 M 的坐标为 ( x0 , y0 ) .当 k ? 0 时, 2 4
B O
5

点 M 在 y 轴上,点 N 与原点 O 重合,抛物线 C 在点 N 处的切线为 x 轴,

N

x

与 AB 平行.当 k ? 0 时,由 从而 y ( ) ? 4 ?
'

1 k AB

? x0 ? p 得: x 0 ?

k k .? 点 N 的横坐标为 .对 y ? 2 x2 求导得: y ' ? 4x , 4 4

k 4

k ? k .即抛物线 C 在点 N 处的切线的斜率等于直线 AB 的斜率.故抛物线 C 在点 N 处的 4 y
A M

切线与 AB 平行.(Ⅱ)解:若 NA ? NB ? 0 ,则 NA ? NB ,即 ?ANB ? 90? .

? | AB |? 2 | AM |? 2 | BM |? 2 | MN | . y 0 ? kx0 ? 2 ?

k2 ?8 , 4

B O

k 2 ? 8 k 2 k 2 ? 16 ? y ? kx ? 2, 2 ? ? .由 ? 得 2 x ? kx ? 2 ? 0 . ? | MN |? y 0 ? y N ? 2 4 8 8 ? y ? 2x .
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ?

N

x

k , x1 x 2 ? ?1 . 2

? | AB |? (1 ? k 2 )[(x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ? (k 2 ? 1)( ?

k2 1 ? 4) ? (k 2 ? 1)(k 2 ? 16) . 4 2

1 k 2 ? 16 (k 2 ? 16) 2 2 2 (k 2 ? 1)(k 2 ? 16) ? 2 ? . 即 (k ? 1)(k ? 16) ? . 2 8 4
2

k 2 ? 16 2 化简,得: k ? 1 ? ,即 k ? 4 .? k ? ?2 .故存在实数 k ? ?2 ,使 NA ? NB ? 0 . 4
20.解: (Ⅰ)设 F ?c,0?, 当 l 的斜率为 1 时,其方程为 x ? y ? c ? 0, O 到 l 的距离为

0?0?c 2

?

c 2

,故

c 2

?

c 3 2 , c ? 1 .由 e ? ? 得 a 3 2

a ? 3 , b ? a2 ? c2 = 2 .
( Ⅱ ) 设 C 上 存 在 点 P , 使 得 当 l 绕 F 转 到 某 一 位 置 时 , 有 OP ? OA ? OB 成 立 . 椭 圆 的 方 程 为

x2 y2 ? ? 1 ,点 F 的坐标为(1,0).设弦 AB 的中点为 Q( x, y) . 由 OP ? OA ? OB 可知,四边形 OAPB 3 2
是平行四边形,点 Q 是线段 OP 的中点,点 P 的坐标为 (2 x,2 y) ,点 P 在椭圆上,?

4x 2 ? 2 y 2 ? 1若直 3

线 l 的斜率不存在,则 l ? x 轴,这时点 Q 与 F (1,0) 重合, OP ? (2,0) ,点 P 不在椭圆上,故直线 l 的斜

y b2 y y 2 2 ? ? ? . ? y 2 ? ? ( x 2 ? x) . 率存在.由点差法公式 k AB ? ? ? 2 得: x ?1 x 3 3 x a

6

由①和②解得:x ?

y 3 2 3 2 3 2 ?? 2, .? 当 x ? , y ? 时,k AB ? 点 P 的坐标为 ( , ,y ?? ), x ?1 4 4 4 4 2 2 y 3 2 3 2 k AB ? ? 2, 时, 点 P 的坐标为 ( ,? ,y ?? ), x ?1 4 4 2 2

直线 l 的方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 ; 当x ?

直线 l 的方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 .综上, C 上存在点 P( ,?

3 2

2 此时 l 的方程为 ) 使 OP ? OA ? OB 成立, 2

2x ? y ? 2 ? 0 .
21.解: (Ⅰ)由 k BD ?

y0 b 2 b 2 b2 ? 2 得 2 ? 3 ,? e ? 1 ? 2 ? 2 . a x0 a a

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,C 的方程为 3x 2 ? y 2 ? 3a 2 , c ? 2a ,? A(a,0), F (2a,0) .直线 l 的方程为 y ? x ? 2 ,

?y ? x ? 2 3a 2 ? 4 2 2 由? 2 得 2 x ? 4 x ? 3a ? 4 ? 0 .设 B( x1 , y1 ), D( x2 , y 2 ) , 则 x1 ? x 2 ? 2, x1 x 2 ? ? . 2 2 2 ?3 x ? y ? 3a

| BF |? ( x1 ? 2a) 2 ? y1 ? x1 ? 4ax1 ? 4a 2 ? 3x1 ? 3a 2 ?| 2 x1 ? a | ,同理 | DF |?| 2 x2 ? a | .
由 | BF | ? | DF |? 17 得 | 4x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? a 2 |?| 5a 2 ? 4a ? 8 |? 17 . 因 为 a > 0 , 所 以

2

2

2

9 5a 2 ? 4a ? 8 ? 17 .解得 a ? 1 ,或 a ? ? (舍去) , 5
故 | BD |?

7 (1 ? k 2 )[(x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ? 2 ? (2 2 ? 4 ? ) ? 6 ,连结 MA ,则由 A(1, 0) , M(1,3) 知 2

MA ? 3 ,从而 MA=MB=MD ,且 MA ? x 轴,因此以 M 为圆心,MA 为半径的圆经过 A、B、D 三点,
且在点 A 处与 x 轴相切,所以过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切. 22.解: (Ⅰ)设双曲线的方程为

x2 y2 ? ? 1 ( a >0, b >0). a2 b2

? | OA | 、 | AB | 、 | OB | 成等差数列,设 | AB |? m ,公差为 d,则 | OA |? m ? d , | OB |? m ? d , ? (m ? d ) 2 ? m2 ? (m ? d ) 2 . 即 m 2 ? 2dm ? d 2 ? m 2 ? m 2 ? 2dm ? d 2 . ? m ? 4d . 从而 | OA |? 3d , | AB |? 4d , | OB |? 5d .
b 又设直线 l1 的倾斜角为 ? ,则 ?AOB ? 2? . l1 的方程为 y ? x . a
y

l2
A M O F

l1

x N B

? tan ? ?

b | AB | 4 . 而 tan2? ? tan?AOB ? ? . a | OA | 3
7

2 tan? ? ? 1 ? tan2 ?

b a ? 4 .解之得: b ? 1 . ? e ? 1 ? ( b ) 2 ? 5 . b a 2 a 2 3 1 ? ( )2 a ? ( Ⅱ ) 设 过 焦 点 F 的 直 线 AB 的 倾 斜 角 为 ? , 则 ? ? ? ? . ? cos ? ? ? sin ? . 而 2 1 ( )2 2 1 2b 2 b tan ? 1 2 2 2 ? 2b ? ? b . sin ? ? ? ? . ? cos ? ? .通径 H ? 2 1 5 a a 5 1 ? tan ? 1 ? ( )2 2 2?
又设直线 AB 与双曲线的交点为 M、N. 于是有: | MN |?

H ? 4 .? 1 ? e cos 2 ?
2

b 5 1 1 ? ( )2 ? 2 5

? 4.

解得 b ? 3 ,从而 a ? 6 .? 所求的椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1. 36 9

8


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