参考习题2-2

习题七

7-5 容器内贮有 1 摩尔某种气体。今自外界输入 2.09?102 焦耳热量,测得气体温度升高 10K.求该气体分
子的自由度。

解:

?E

?

NA

i 2

k?T ,

?i ? 2?E ? 2? 2.09?102 ? 5 NAk?T 6.02?1.38?10

7-7 温度为 27?C 时,1mol 氢气分子具有多少平动动能?多少转动动能?

分析 气体的能量为单个分子能量的总合。

解: Et

?

NA

3 kT 2

?

6.02?1023 ?

3 ?1.38?10?23 ? 300 2

?

3.74?103 J

Er

?

NA

2 2

kT

?

6.02 ?1023

?

2 ?1.38?10?23 2

? 300

?

2.49?103 J

7-10 2L 容器中有某种双原子刚性气体,在常温下,其压强为1.5?105 pa ,求该气体的内能.

解:据 PV ? m RT , E ? m i RT ? 5 pV ? 5 ?1.5?105 ? 2?10?3 ? 750J

M

M2

2

2

7-12 温度为 273K,求(1)氧分子的平均平动动能和平均转动动能;(2) 4 ?10?3 kg 氧气的内能.

解:氧分子为双原子分子。其平均自由度 t=3,转动自由度 r=2.

(1) 氧分子的平均平动动能和转动动能分别为:

? kt

?

3 2

kT

?

3 ?1.38?10?23 ? 273 ? 5.65?10?21 J 2

? kr

?

2 2

kT

?

2 ?1.38?10?23 ? 273 ? 3.77 ?10?21 J 2

(2)

当 m ? 4?10?3 kg

时,其内能 E

?

m M

?t ? r?

?

RT

2

?

4 ?10?3 32 ?10?3

?

5 2

?

8.31?

273

?

7.09

?102

J

7-13 在相同温度下,2 摩尔氢气和 1 摩尔氦气分别放在两个容积相同的容器中。试求两气体(1)分子平均平

动动能之比;(2)分子平均总动能之比;(3)内能之比;(4)方均根速率之比;(5)压强之比(6)密度之比.

解:因为氢气的自由度 i=5;氦气的自由度 i=3

(1)

? kt

? 3 kT 2

?kt氢:?kt氦 ? 1:1

(2)

Ek

?

i 2

kT

Ek氢:Ek氦 ? 5 : 3

(3) E

?

m M

?

i 2

RT

, E氢:E氦=10

:3

(4)

V2 ?

3RT M

, V氢2 :V氦2 ? 2 :

2

(5) P ? nkT ? N kT V



P氢 : P氦 ? 2 :1

(6)

?

?

PM RT



?氢:?氦=1 :1

7-14 已知 f (v) 是气体速率分布函数。 N 为总分子数,,n 为单位体积内的分子数,。试说明以下各式的物

理意义。 (1)Nf (v)dv

(2) f (v)dv

v2

v2

(3) ? Nf (v)dv (6) ? f (v)dv

v1

v1

解:(1) Nf (v)dv 表示分布在( v ~ v ? dv )]范围内的分子数

(2) f (v)dv 表示( v ~ v ? dv )范围内的分子数占总分之数的百分比

v2
? (3) Nf (v)dv 表示速率在( v1 ? v2 )之间的分子数
v1

v2
? (6) f (v)dv 表示速率在( v1 ? v2 )区间内的分子数占总分之数的百分比.
v1

7-15 N 个粒子的系统,其速度分布函数 f (v) ? dN ? C Ndv

(0 ? v ? v0 ,

c 为常数)(1)根据归一化条

件用定出常数 C; (2) 求粒子的平均速率和方均根速率.

? ? 解:(1) 根据归一化条件 ? f (v)dv ? 1, 0

v0 Cdv
0

?

Cv0

? 1,

?C ? 1 v0

? ? (2)

v?

?
vf (v)dv ?
0

v0
0

vCdv

?

1 2

v0

? ? v2 ?

? v2 f (v)dv ?
0

v0 v2Cdv ?
0

1 3

v0

?

3 3

v0

7-17 已知某气体在温度T ? 273K ,压强 P ? 1.0?10?2 atm 时,密度 ? ? 1.24 ?10 ?2 g ? L?1, 求(1)此气体

分子的方均根速率;(2)此气体的摩尔质量并确定它是什么气体.

解:(1) P ? m RT ? ? RT , M ? ?RT ,

MV

M

P

v2 ? 3RT ? 3PV ? 4.95?102 m ? s?1

M

?

(2)

M

?

? RT p

?

2.8?10?2 kg ? mol?1, N2或CO

7-19 设容器内盛有质量为 m1 和质量为 m2 的两种不同单原子分子理想气体,并处于平衡态,其内能均为 E .则此两种气体分子的平均速率之比为多少?

解: E ? m ? i RT , ? RT ? 2E

M2

M im

v?

8RT ?M

,所以: v1 : v2

?

m2 m1

习题八

8-3 1 摩尔的单原子理想气体,温度从 300K 加热到 350K。其过程分别为(1)容积保持不变;(2)压强保持

不变。在这两种过程中求:(1)各吸取了多少热量;(2)气体内能增加了多少;(3)对外界作了多少功。

解: 已知气体为 1 摩尔单原子理想气体 m ? 1, M

CV

?

3R 2

(1)

容积不变。 Q

?

m M

CV ?T2

? T1 ? ?

3 ? 8.31? ?350 ? 300? ? 623.25J
2

根据 Q ? ?E ? W ,W ? 0,Q ? ?E 。气体内能增量 ?E ? 623.25J 。对外界做功W ? 0 .

(2)

压强不变。 Q

?

m M

Cp (T2

? T1)

?

5 2

?8.31? (350

? 300)

? 1038.75J ,

?E ? 623.25J ,W ? 1038.75J ? 623.25J ? 415.5J

8-4 一气体系统如题图 8-4 所示,由状态 a 沿 acb 过程到达 b 状态,有 336 焦耳热量传入系统,而系统作功

126 焦耳,试求: (1) 若系统经由 adb 过程到 b 作功 42 焦耳,则有多少热量传入系统?(2) 若已知

Ed ? Ea ? 168 J ,则过程 ad 及 db 中,系统各吸收多少热量?(3)若系统由 b 状态经曲线 bea 过程返回状态
a,外界对系统作功 84 焦耳,则系统与外界交换多少热量?是吸热还是放热?

解:已知 acb 过程中系统吸热 Q ? 336J ,系统对外作功W ? 126J ,根据热力学第一定律求出 b 态和 a 态

的内能差: ?E ? Q ?W ? 210J

(1) W ? 42J , 故 Qadb ? ?E ? W ? 252 J (2) 经 ad 过程,系统作功与 adb 过程做功相同,即 W=42J,故 Qad ? ?Ead ? Wad ? 168 ? 42 ? 210 J ,
经 db 过程,系统不作功,吸收的热量即内能的增量
?Edb ? Eb ? Ed ? ?Eb ? Ea ? ? ?Ed ? Ea ? ? 210 ?168 ? 42 J 所以 Qdb ? ?Edb ? Wdb ? 42 J
(3) Wbea ? ?84 J , ?Ebea ? ??E ? ?210J ,故 Qbea ? ?Ebea ? Wbea ? ?294 J. 系统放热.

P

c

b

e

a

d

O

V

题图 8-4

P

PB

B

PA

A

O VA

VB V

题图 8-5

P (105 Pa)

4 AC

2 1

DB

O 2 5 8 V (m3)
题图 8-7

8-5 如题图 8-5 所示。某种单原子理想气体压强随体积按线性变化,若已知在 A,B 两状态的压强和体积,

求: (1)从状态 A 到状态 B 的过程中,气体做功多少?(2)内能增加多少?(3)传递的热量是多少?

解:(1) 气体作功的大小为斜线 AB 下的面积

W

?

?VB

? VA ?? PA

?

1 2

?VB

?VA ??PB

?

PA ?

?

1 2

?PA

?

PB ??VB

?VA ?

(2)

气体内能的增量为:

?E

?

m M

CV

?TB

? TA ? ?

i 2

m M

R(TB

? TA )

据 PV ? m RT M

?E

?

3 2

?PBVB

?

PAVA

?

? ? (3)气体传递的热量

Q ? ?E ? W

?

1 2

?PA

?

PB

??VB

?VA

?

?

3 2

PBVB

? PAVA

8-7 一定量的理想气体,从 A 态出发,经题图 8-7 所示的过程,经 C 再经 D 到达 B 态,试求在这过程中,

该气体吸收的热量.

解:由图可得: A 态: PAVA ? 8?105 ;B 态: PBVB ? 8?105



PAVA ? PBVB ,

根据理想气体状态方程可知 TA ? TB , ?E ? 0
根据热力学第一定律得:

Q ? ?E ?W ? W ? PA (VC ?VA ) ? PB (VB ?VD ) ? 1.5?106 J

8-16 如题图 8-16 所示,AB、DC 是绝热过程,CEA 是等温过程,BED 是任意过程,组成一个循环。若图

中 EDCE 所包围的面积为 70J,EABE 所包围的面积为 30J,CEA 过程中系统放热 100J,求 BED 过程中系统吸

热为多少? 解:正循环 EDCE 包围的面积为 70 J,表示系统对外作正功 70 J;
EABE 的面积为 30 J,因图中表示为逆循环,故系统对外作负功, 所以整个循环过程系统对外作功为: W ? 70 ? 30 ? 40J 设 CEA 过程中吸热 Q1 ,BED 过程中吸热 Q2 ,对整个循环过程 ?E ? 0 , 由热一律, Q1 ? Q2 ? W ? 40J Q2 ? W ? Q1 ? 40 ? (?100) ? 140J BED 过程中系统从外界吸收 140 焦耳热.

p A E

D C

B

V

O
题图 8-16

8-17 以氢(视为刚性分子的理想气体)为工作物质进行卡诺循环,如果在绝热膨胀时末态的压强 P2 是初态

压强 P1 的一半,求循环的效率.

解:根据卡诺循环的效率

? ? 1 ? T2 T1

由绝热方程:

P1? ?1 T1?

?

P2? ?1 T2?



T2

?

(

P2

)

? ?1 ?

T1 P1

氢为双原子分子, ? ? 1.40 , 由 P2 ? 1 P1 2

得 T2 ? 0.82 T1

?? ? 1? T2 ? 18% T1

8-20 一热机在 1000K 和 300K 的两热源之间工作,如果:(1)高温热源提高到 1100K(2)使低温热源降

到 200K,求理论上热机效率增加多少?为了提高热机效率,那一种方案更好?

解:? ? 1? T2 ? 1? 300 ? 70%

T1

1000

(1)?1

? 1? T2 T1

? 1? 300 1100

?

72.7%, 所以?1 ??0 ?0

? 3.85%

(2)?2

? 1? T2 T1

? 1? 200 1000

? 80%, 所以?2 ??0 ?0

? 14.3%

提高高温热源的温度来获得更高的热机效率是更为有效的途径。
8-21 题图 8-21 中所示为一摩尔单原子理想气体所经历的循环过程,其中 ab 为等温过程,bc 为等压过程,
ca 为等体过程,已知Va ? 3.00升,Vb ? 6.00升,求此循环的效率。

解: T a

? Tb

?

T;

T c

?

VcTb Vb

? VaTb Vb

? 1T 2

p

a ? b等温过程:Qab

?

m M

RT ln Vb Va

?

RT ln 2

a

b

?

c等压过程:Q bc

?

m M

Cp (Tc

? Tb )

?

5 2

R(Tc

? Tb )

?

?

5 4

RT

c

?

a等容过程:Q ca

?

m M

Cv (Ta

?Tc )

?

3 2

R(Ta

?Tc )

?

3 4

RT

b c
V

Va

Vb

题图 8-21

5

?? ? 1? Q2 ? 1? 4 ? 13.4%

Q1

ln 2 ? 3

4

8-22 气体作卡诺循环,高温热源温度为 T1 ? 400K ,低温热源的温度T2 ? 280K ,设 P1 ? 1atm ,

V1 ? 1?10?2 m3,V2 ? 2 ?10?2 m3, 求:(1)气体从高温热源吸收的热量 Q1 ;(2)循环的净功W 。

解 : (1) P1V1 ? m R T1 M

Q1

?

m M

RT1

ln

V2 V1

?

P1V1 ln 2 ? 7 ?102 J

(2)? ? 1? Q2 ? 1? T2 ? 0.3;

Q1

T1

Q2 ? 0.7Q1 ? 4.9?102 J

W ? Q1 ? Q2 ? 2.1?102 J

加—1 64g 的氧气的温度由 0℃升至 50℃,(1)保持体积不变;(2)保持压强不变.在这两个过程中 氧气各吸收了多少热量?各增加了多少内能?对外各做了多少功?

解: (1)

Q

? ?CV ,m?T

?

64 32

?

5 2

? 8.31? (50

?

0)

?

2.08 ? 103

J

?E ? Q ? 2.08 ?10 3 J

A?0

(2)

Q

? ?C p,m?T

?

64 32

?

5?2 2

? 8.31? (50 ? 0)

?

2.91?103 J

?E ? 2.08?103 J

A ? Q ? E ? (2.91 ? 2.08) ?10 3 ? 0.83 ?10 3 J

习题五
5-2 若简谐振动方程为 x ? 0.1cos[20?t ? ? / 4]m ,求:(1)振幅、频率、角频率、周期和初相;(2)t=2s
时的位移、速度和加速度.
解:(1)可用比较法求解.根据 x ? Acos[?t ? ?] ? 0.1cos[20?t ? ? / 4] 得:振幅 A ? 0.1m ,角频率? ? 20?rad / s ,频率? ? ? / 2? ? 10s?1 , 周期T ?1/? ? 0.1s ,初相? ? ? / 4rad
(2) t ? 2s 时,振动相位为:? ? 20?t ? ? / 4 ? (40? ? ? / 4)rad 由 x ? Acos? ,? ? ?A? sin? , a ? ? A?2 cos? ? ??2x 得 x ? 0.0707m,? ? ?4.44m / s, a ? ?279m / s2
5-4 为了测得一物体的质量 m,将其挂到一弹簧上并让其自由振动,测得振动频率?1 ? 1.0Hz ;而当将另 一已知质量为 m'的物体单独挂到该弹簧上时,测得频率为? 2 ? 2.0Hz .设振动均在弹簧的弹性限度内进

行,求被测物体的质量.

解:由? ? 1 k / m ,对于同一弹簧(k 相同)采用比较法可得: ?1 ? m' 得: m ? 4m'

2?

?2

m

5-5 一放置在水平桌面上的弹簧振子,振幅 A ? 2.0 ?10?2 m ,周期 T=0.5s,当 t=0 时,(1)物体在正方

向端点;(2)物体在平衡位置,向负方向运动;(3)物体在 x ? 1.0 ?10?2 m 处,向负方向运动;(4)物体

在 x ? ?1.0 ?10?2 m 处,向负方向运动. 求以上各种情况的振动方程。 解:设所求振动方程为: x ? Acos[2? t ? ?] ? 0.02cos[4?t ? ?]
T 由 A 旋转矢量图可求出 ?1 ? 0,?2 ? ? / 2,?3 ? ? / 3,?4 ? 2? / 3 (1) x ? 0.02cos[4?t](SI )

(2) x ? 0.02cos[4?t ? ? ](SI ) 2

(3) x ? 0.02cos[4?t ? ? ](SI ) 3

(4) x ? 0.02cos[4?t ? 2? ](SI ) 3

题图 5-5

5-7 某质点振动的 x-t 曲线如题图 5-7 所示.求:(1)质点的振动方程; (2)质点到达 P 点相应位置

所需的最短时间.

解:(1)设所求方程为:x ? Acos(?t ? ?0 )

从图中可见,t ? 0, x0 ? A / 2, v0 ? 0

由旋转矢量法可知;?0

?

?

? 3

又 t ? 1s,?t ? ? ? ? 32

? ? ? 5? 6

故:x ? 0.1cos(5? t ? ? )m 63

(2) P点的相位为0

题图 5-7

??t p

? ?0

?

5? 6

tp

?

? 3

?

0

tp ? 0.4 s

即质点到达P点相应状态所要的最短时间为 0.4s

5-9 一质点沿 x 轴作简谐振动,振动方程为 x ? 4 ?10?2 cos(2?t ? ?)(SI) ,求:从 t=0 时刻起到质点位置 3
在 x=-2cm 处,且向 x 轴正方向运动的最短时间.

解: 依题意有旋转矢量图

从图可见?? ? ?

而?? ? ??t ? 2? (t0 ? 0)

故所求时间为:t0

?

?? ?

?

1 2

s

解答图 5-9

题图 5-11

题图 5-11

5-11 一简谐振动的振动曲线如题图 5-11 所示,求振动方程.

解:设所求方程为 x ? Acos(?t ? ?)

当 t=0 时: x1 ? ?5cm, v1 ? 0 由 A 旋转矢量图可得:?t?0 ? 2? / 3rad 当 t=2s 时:从 x-t 图中可以看出: x2 ? 0, v2 ? 0 据旋转矢量图可以看出, ?t?2 ? 3? / 2rad 所以,2 秒内相位的改变量 ?? ? ?t?2 ??t?0 ? 3? / 2 ? 2? / 3 ? 5? / 6rad 据 ?? ? ??t 可求出:? ? ?? / ?t ? 5? /12rad / s

于是:所求振动方程为: x ? 0.1cos( 5 ? t ? 2 ? )(SI ) 12 3
5-16 一物体沿 x 轴作简谐振动,振幅为 0.06m,周期为 2.0s,当 t=0 时位移为 0.03m ,且向轴正方向运动, 求:(1)t=0.5s 时,物体的位移、速度和加速度;(2)物体从 x ? ?0.03m 处向 x 轴负方向运动开始,到
达平衡位置,至少需要多少时间?

解:设该物体的振动方程为 x ? Acos(?t ? ?)

依题意知:? ? 2? / T ? ? rad / s, A ? 0.06m

据? ? ? cos?1 x0 得 A

由于 v0 ? 0 ,应取? ? ?? / 3(rad) 可得: x ? 0.06cos(?t ? ? / 3)

(1) t ? 0.5s 时,振动相位为:? ? ?t ?? / 3 ? ? / 6rad

? ? ?? / 3(rad)

据 x ? Acos?, v ? ? A? sin?, a ? ? A?2 cos? ? ??2x

得 x ? 0.052m, v ? ?0.094m / s, a ? ?0.512m / s2

(2)由 A 旋转矢量图可知,物体从 x ? ?0.03m m 处向 x 轴负方向运动,到达平衡位置时,A 矢量转

过的角度为 ?? ? 5? / 6 ,该过程所需时间为: ?t ? ?? / ? ? 0.833s

题图 5-16

题图 5-18

5-18 有一水平的弹簧振子,弹簧的劲度系数 K=25N/m,物体的质量 m=1.0kg,物体静止在平衡位置.设以一 水平向左的恒力 F=10 N 作用在物体上(不计一切摩擦),使之由平衡位置向左运动了 0.05m,此时撤除力 F, 当物体运动到最左边开始计时,求物体的运动方程.

解: 设所求方程为 x ? A cos(?t ? ?0 )

? ? K ? 5rad / s m

因为不计摩擦,外力做的功全转变成系统的能量,故 Fx ? 1 KA2 ? A ? 2Fx ? 0.2m

2

K

又 t ? 0, x0 ? ? A,??0 ? ? 故所求为 x ? 0.2cos(5t ? ? )(SI )

5-23 一物体质量为 0.25Kg,在弹性力作用下作简谐振动,弹簧的劲度系数 k=25N/m,如果起始振动时具 有势能 0.06J 和动能 0.02J,求:(1)振幅;(2)动能恰等于势能时的位移;(3)经过平衡位置时物体的速度.

解:(1)E

?

EK

?

EP

?

1 2

kA2

A ? [2(EK ? EP ) / k]1/2 ? 0.08(m)

(2)因为E

?

EK

? EP

?

1 2

kA2,当EK

?

EP时,有2EP

?

E,又因为EP

?

kx2

/2

得:2x2 ? A2,即x ? ? A / 2 ? ?0.0566(m)

(3)过平衡点时,x

?

0,此时动能等于总能量 E

?

EK

?

EP

?

1 2

mv2

v ? [2(EK ? EP ) / m]1/2 ? ?0.8(m / s)

5-25

两个同方向的简谐振动的振动方程分别为:

x1

?

4 ?10?2

cos

2?

(t

?

1)(SI 8

),

x2

?

3?10?2

cos 2? (t

?

1)(SI ) 求:(1)合振动的振幅和初相;(2)若另有一同方向同频率的简谐振动 4

x3 ? 5?10?2 cos(2? t ? ?)(SI ) ,则? 为多少时,x1 ? x3 的振幅最大?? 又为多少时,x2 ? x3 的振幅最小?

解:(1) x ? x1 ? x2 ? Acos(2?t ? ?)
按合成振动公式代入已知量,可得合振幅及初相为

A ? 42 ? 32 ? 24cos(? / 2 ?? / 4) ?10?2 ? 6.48?10?2 m

? ? arctg 4sin(? / 4) ? 3sin(? / 2) ? 1.12rad 4 cos(? / 4) ? 3cos(? / 2)
所以,合振动方程为 x ? 6.48 ?10 ?2 cos(2?t ? 1.12)(SI )

(2)当? ? ?1 ? 2k? ,即? ? 2k? ? ? / 4 时, x1 ? x3 的振幅最大. 当? ? ?2 ? (2k ?1)? ,即? ? 2k? ? 3? / 2 时, x2 ? x3 的振幅最小.

加—2、某简谐振动曲线如图所示,已知振幅

A ,周期 T

。t

? 0 时,x0

?

A 2 ,试用旋转矢量法,

求:(1)该振动方程的初相? ;(2)a , b 两点的相? a 和?b ;(3)从 t ? 0 到 a , b 两态所用时间。

t 解:(1)

?

0,

x0

?

A, 2

v0

?

0 , 所以?=-? 3

(2) a 点为正向最大位移处,下一时刻向 x 轴负方向运动,所以 ?a ? 0 。

b 点为平衡位置,且下一时刻向 x 轴负方向运动,所以

?b

?

? 2



T

T ?2 ?T

(3)因? 为定值,则从 a 到 b 为 4 ,从 t ? 0 到 a 为 4 3 6

所以

ta

?

T 6

, tb

?

T 6

?

T 4

?

5T 12

习题六

6-2 一横波在沿绳子传播时的波方程为: y ? 0.04cos(2.5? t ??x)(SI) (1)求波的振幅、波速、频率及波

长;(2)求绳上的质点振动时的最大速度;(3)分别画出 t=1s 和 t=2s 的波形,并指出波峰和波谷.画出 x=1.0m

处的质点的振动曲线并讨论其与波形图的不同.
解:(1)用比较法,由 y ? 0.04cos(2.5?t ? ?x) ? Acos(?t ? ? ? 2? x) 得 ?
A ? 0.04m ? ? ? / 2? ? 2.5? / 2? ?1.25Hz 2? ? ? , ? ? 2.0m ?

u ? ?? ? 2.5m/ s

(2)? m ? A? ? 0.314m / s

(3)t=1(s)时波形方程为:y1 ? 0.04 cos(2.5? ? ?x) ;t=2(s)时波形方程为:y2 ? 0.04 cos(5? ? ?x) x=1(m)处的振动方程为: y ? 0.04cos(2.5?t ? ? )

6-7 已知一平面简谐波的波方程为 y ? 0.25cos(125t ? 0.37x)(SI) (1)分别求 x1 ? 10m, x2 ? 25m 两点处

质点的振动方程;(2)求 x1 、 x2 两点间的振动相位差;(3)求 x1 点在 t=4s 时的振动位移.

解:(1) x1 ? 10m 、 x2 ? 25m 的振动方程分别为:

y ? 0.25cos(125t ?3.7)(SI), y ? 0.25cos(125t ?9.25)(SI)

x?10

x?25

(2) x2 与 x1两点间相位差 ?? ? ?2 ??1 ? ?5.55rad

(3) x1点在 t=4s 时的振动位移 y ? 0.25cos(125? 4 ? 3.7) ? 0.249m 6-8 如题图 6-8 所示,一平面波在介质中以波速 u ? 20m / s 沿 x 轴负方向传播,已知 A 点的振动方程为

y ? 3 ?10 ?2 cos 4?t(SI ) .(1)以 A 点为坐标原点写出波方程;(2)以距 A 点 5m 处的 B 点为坐标原点,写

出波方程.

解:(1)坐标为 x 处质点的振动相位为

u

?t ? ? ? 4?[t ? (x / u)] ? 4?[t ? (x / 20)] 波的表达式为 y ? 3?10 ?2 cos 4?[t ? (x / 20)]( SI )

B

A

题图 6-8

(2)以 B 点为坐标原点,则坐标为 x 点的振动相位为 ?t ? ?' ? 4?[t ? x ? 5](SI ) 20
波的表达式为 y ? 3?10?2 cos[4? (t ? x ) ? ? ](SI ) 20
6-9 有一平面简谐波在介质中传播,波速 u ?100m / s ,波线上右侧距波源 O(坐标原点)为 75m 处的一

点 P 的运动方程为 y ? 0.30cos(2?t ? ? / 2)(SI ) ,求:(1)波向 x 轴正向传播的波方程;(2)波向 x 轴负

向传播的波方程.
解:(1)设以 x ? 0 处为波源,沿轴正向传播的波方程为: y ? Acos[?(t ? x / u) ? ?0 ]

在上式中,代入 x ? 75m ,并与该处实际的振动方程 y ? 0.30cos(2?t ? ? / 2) 比较

可得: A ? 0.3m,?

? 2? s?1,?0

?

2?



得:

y

?

0.30 c os (2?t

? 2? x)(SI ) 100

(2)设沿轴负向传播的波方程为: y ? Acos[?(t ? x / u) ? ?0 ]

在上式中,代入 x ? 75m ,并与该处实际的振动方程 y ? 0.30cos(2?t ? ? / 2) 比较

可得:

A

?

0.3m,?

?

2?

s ?1 , ?0

?

??

,得:

y

?

0.30 c os [2?t

??

?

2? 100

x](SI )

6-14

相干波源

S1和S

2

,相距

11m,

S

1

的相位比

S

2

超前

1 2

?

.这两个相干波在 S1 、 S 2 连线和延长线上传播

时可看成两等幅的平面余弦波,它们的频率都等于 100Hz,波速都等于 400m/s.试求在 S1 、S 2 的连线之间,

因干涉而静止不动的各点位置.

解:取 S1 、 S 2 连线为 x 轴,向右为正,以 S1 为坐标原点.令 S1S 2 ? l .

题图 6-14

取 P 点如图.由于 ? ? u /? ? 4m ,从 S1 、 S 2 分别传播来的两波在 P 点的相位差

??

? (?2

?

?1

)

?

2? ?

((l ? x) ? x) ? ? ? 2

? ?x ? 11? 2

? ? (x ? 6)

由干涉静止的条件可得:? (x ? 6) ? (2k ?1)? (k ? 0, ?1, ?2,???)

得: x ? 2k ? 7 ( ? 3 ? k ? 2) 即 x=1,3,5,7,9,11m 为干涉静止点. 6-16 如题图 6-16 所示, S1 , S 2 为两平面简谐波相干波源. S 2 的相位比 S1 的相位超前 ? / 4 ,波长

? ? 8.00m, r1 ? 12.0m, r2 ? 14.0m , S1 在 P 点引起的振动振幅为 0.30m, S 2 在 P 点引起的振动振幅为

0.20m,求 P 点的合振幅.

解: ??

? ?2

? ?1

?

2? ?

(r2

? r1)

?

? 4

?

2? r2 ?

?

2? r1 ?

?

??

/4

A ? ( A12 ? A22 ? 2 A1A2 cos ??)1/2 ? 0.464(m)

题图 6-16
加 3、A , B 两点的两个波源,振幅相等,频率都是100Hz ,相差为? ,若 A , B 相距 30m ,波速为 400 m s ,

求 A , B 连线上二者之间叠加而静止的各点的位置。

解:设 AB 间距离 A 为 x 的一点,两波由 A 和 B 传到此点的相差

??

? ?A

?

2? ?

x ? [?B

?

2? ?

(l

?

x)]

=? A

??B

?

2?? u

(l

? 2x)

? ? ? ? (l ? 2x) / 2

两波叠加而质点静止的条件是 ?? ? (2n ? 1)?
? ? ? (l ? 2x) / 2 ? (2n ? 1)? x ? l / 2 ? 2n ? 15 ? 2n x ? 1,3,5,?,?,?,29,

十五章 波动光学习题与解答

15-1.在双缝干涉实验中,两缝的间距为 0.6mm,照亮狭缝 s 的光源是汞弧灯加上绿色滤光片.在 2.5m 远处

的屏幕上出现干涉条纹,测得相邻两明条纹中心的距离为 2.27mm.试计算入射光的波长,如果所用仪器只

能测量 ?x ? 5mm 的距离,则对此双缝的间距 d 有何要求?

解:在屏幕上取坐标轴 Ox ,坐标原点位于关于双缝的对称中心。

屏幕上第 k 级明纹中心的距坐标原点距离: x ? ?k D ? d

可知

?x

?

xk ?1

?

xk

? (k

? 1)

D? d

?k

D? d

?

D? d

代入已知数据,得 ? ? ?x d ? 545nm D

对于所用仪器只能测量 ?x ? 5mm的距离时 d ? D? ? 0.27mm ?x

15-6.在双缝干涉实验中,单色光源 S0 到两缝 S1 和 S2 的距离分别为 l1 和 l2 ,并且 l1 ? l2 ? 3? ,λ 为入射

光的波长,双缝之间的距离为 d,双缝到屏幕的距离为 D(D>>d),如图 15-6.求: (1) 零级明纹到屏幕中

央 O 点的距离. (2) 相邻明条纹间的距离.

解:(1) 如图,设 P0 为零级明纹中心



r2 ? r1 ? d P0O / D

又 (l2 ?r 2) ? (l1 ? r1 ) ? 0



r2 ? r1 ? l1 ? l2 ? 3?



P0O ? D(r2 ? r1) / d ? 3D? / d

(2) 在屏上距 O 点为 x 处, 光程差

x

s1

r1

P0

l1

d

r2

s0

O

l2

s2 D

题 15-6 解图

? ? (dx / D) ? 3?

明纹条件 ? ? ?k? (k=1,2,....) xk ? (?k? ? 3?)D / d

在此处令 k=0,即为(1)的结果.相邻明条纹间距 xk?1 ? xk ? D? / d

15-7.在 Si 的平表面上氧化了一层厚度均匀的 SiO2 薄膜.为了测量薄膜厚度,将它的一部分磨成劈形(示

意图中的 AB 段,平面图).现用波长为 600nm 的平行光垂直照射,观察反射光形成的等厚干涉条纹.在图

中 AB 段共有 8 条暗纹,且 B 处恰好是一条暗纹,求薄膜的厚度.(Si 折射率为 3.42, SiO2 折射率为 1.50)
解:设膜厚为 e, A 处为明纹, B 处为暗纹,2ne= ? (2k+1),(k=0,1,2,…), 2
第 8 个暗纹对应上式 k=7, e ? ?2k ?1?? =1.5×10-3mm
4n

B A
Si

SiO2,膜

题图 15-7

15-8.在折射率 n=1.50 的玻璃上,镀上 n? =1.35 的透明介质薄膜.入射光波垂直于介质膜表面照射,观

察反射光的干涉,发现对 λ 1=600nm 的光波干涉相消,对 λ 2=700nm 的光波干涉相长.且在 600nm 到 700nm 之间没有别的波长的光是最大限度相消或相长的情形.求所镀介质膜的厚度.(1nm=10-9m).

解:当光垂直入射时,i =0.

对 λ 1(干涉相消):

2n ?e

?

1 2

?2k

? 1??1



n? =1.35 n0 =1.00

对 λ 2(干涉相长): 2n?e ? k?2

由① ②解得:

k

?

?1
2??2 ?

?1

?

?

3



e

n =1.50 题 15-8 解图

将 k、λ 2、 n? 代入②式得 e ? k?2 =7.78×10-4mm 2n?
15-9.白光垂直照射在空气中厚度为 0.40?m 的玻璃片上,玻璃的折射率为 1.50.试问在可见光范围内,哪

些波长的光在反射中增强?哪些波长的光在透射中增强?

解:玻璃片上下表面的反射光加强时,应满足 2en ? ? ? k?, 2

k ? 1,2,3?



? ? 4ne

2k ?1

在可见光范围内,只能取 k ? 3 (其它值均在可见光范围外),代入上式得

玻璃片上下表面的透射光加强时,应满足 2en ? k?,

k ? 0,1,2,3?

? ? 480nm

或,反射光应满足干涉减弱条件(与透射光互补)



2en ? ? ? (2k ?1) ? ,

2

2

k ? 0,1,2,3?

都有: ? ? 2ne k

k

?

2 时, ?1

?

2ne 2

?

600nm ;

k

?

3 时, ?2

?

2ne 3

?

400nm

15-12.当用波长为 λ 1 的单色光垂直照射牛顿环装置时,测得中央暗斑外第 1 和第 4 暗环半径之差为 l1 , 而用未知单色光垂直照射时,测得第 1 和第 4 暗环半径之差为 l2 ,求未知单色光的波长 λ 2.

解:根据题意可得

l1 ? 4R? 1 ? R? 1 ? R? 1

l2 ? 4R? 2 ? R? 2 ? R? 2

?2 / ?1 ? l22 / l12

?2

?

l

2 2

?1

/ l12

15-15.某种单色平行光垂直入射在单缝上,单缝宽 a=0.15mm.缝后放一个焦距 f = 400 mm 的凸透镜,在

透镜的焦平面上,测得中央明条纹两侧第三级暗条纹之间的距离为 8.0mm,求入射光的波长.

解:设第三级暗纹在?3 方向上,则有 asin?3=3λ

此暗纹到中心的距离为 x3=ftg?3

因为?3 很小,可认为 tg?3≈sin?3,所以 x3≈3fλ /a.

两侧第三级暗纹的距离是

2x3=6λ f/a=8.0mm



λ =(2x3)a/6f =500nm

15-17.在复色光照射下的单缝衍射图样中,其中某一波长的第 3 级明纹位置恰与波长 ? ? 600nm 的单色光

的第 2 级明纹位置重合,求这光波的波长.

解:设未知波长为 ?0 由单缝衍射明纹条件: a sin ? ? (2k ?1) ? 2

可有: a sin ? ? (2? 3 ?1) ?0 和 a sin ? ? (2 ? 2 ? 1) ?

2

2

可得 ?0

?

5 7

?

?

428.6nm

15-19.波长 600nm 的单色光垂直入射在一光栅上,第二级主极大在 sin? ? 0.20处,第四级缺级,试问: (1)光栅上相邻两缝的间距 (a ? b) 有多大?

(2)光栅上狭缝可能的最小宽度 a 有多大?

(3)按上述选定的 a 、 b 值,试问在光屏上可能观察到的全部级数是多少?

解:(1)由光栅方程 (a ? b)sin? ? k? (k=2)

得 (a ? b) ? k? ? 6?10?4cm sin ?

(2)根据缺级条件,有 a ? b ? k a k'

取 k'? 1,得 a ? a ? b ? 1.5?10?4cm
4

(3)由光栅方程 (a ? b)sin? ? k?, k ? 0,?1,?2,?

令 sin? ? 1,解得: k ? a ? b ? 10
? 即 k ? 0,?1,?2,?3,?5,?6,?7,?9 时出现主极大,? 4,?8 缺级, ?10 级主极大在? ? 900 处,实际不可见,
光屏上可观察到的全部主极大谱线数有 15 条. 15-24. 将三个偏振片叠放在一起,第二个与第三个偏振化方向分别与第一个的偏振化方向成 45?和 90?角. (1) 强度为 I0 的自然光垂直入射到这一堆偏振片上,试求经每一个偏振片后的光强和偏振状态. (2) 如果将第二个偏振片抽走,情况又如何? 解:(1) 自然光通过第一偏振片后,其强度 I1=I0/2
通过第二偏振片后,I2=I1cos245?=I0/ 4 通过第三偏振片后,I3=I2cos245?=I0/8 通过每一偏振片后的光皆为线偏振光,其光振动方向与刚通过的偏振片的偏振化方向平行. (2) 若抽去第 2 片,因为第 3 片与第 1 片的偏振化方向相互垂直,所以此时 I3=0, I1 仍不变. 15-25.如果起偏振器和检偏器的偏振化方向之间的夹角为 30? . (1)假定偏振器是理想的,则非偏振光通过起偏振器和检偏器后,其出射光强与原来光强之比是多少? (2)如果起偏振器和检偏器分别吸收了 10%的可通过光线,则出射光强与原来光强之比是多少?

解:非偏振光即自然光,设光强为 I 0

(1)通过理想的起偏振器的光强为

I1

?

1 2

I0

通过理想的检偏器后的透射光强为

I

?

I1

cos2

a

?

1 2

I0

cos2

a

所以

I ? 1 cos2 a ? 0.375 I0 2

(2) I 0 通过可吸收光的起偏振器后,光强为

I

' 1

?

1 2

??1 ?

?

1 10

?? ?

I

0

通过有吸收的检偏器后,光强为

I

?

I1?

(1

?

1 10

)

c

os2

?

?

1 2

I

0

(1

?

1 10

)2

cos2

a



I ? 1 (1? 1 ) 2 cos2 a ? 0.304

I 0 2 10

15-27.水的折射率为 1.33,玻璃的折射率为 1.50.当光由水中射向玻璃而反射时,起偏振角为多少?当光

由玻璃射向水面而反射时,起偏振角又为多少?

分析:由布儒斯特定律求解。

解:由布儒斯特定律,设玻璃折射率为 n2 ,水的折射率为 n1

当光从水中射向玻璃反射时: ? 1

? arctan n2 n1

? 48?26'

当光从玻璃射向水中反射时:? 2

? arctan

n1 n2

? 41?34'

15-28.测得不透明釉质(珐琅)的起偏振角为 ib ? 58.0? ,它的折射率为多少?

解:由布儒斯特定律, tan ib ? n ? 1.60

15-29.如图所示,三种透明介质Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的折射率分别为 n1? 1.00 , n2 ? 1.43 和 n 3 。Ⅰ、Ⅱ和Ⅱ、Ⅲ 的界面互相平行.一束自然光由介质Ⅰ射入,若在两界面上的反射光都是线偏振光,则(1)入射角 i 是多

大?(2)折射率 n 3 是多大?

解: (1) 由布儒斯特定律 tan i ? n2 ? 1.43 n1

所以

i ? 55.03?

i0



n1



n2

(2) 令在介质Ⅱ中的折射角为 r ,则 r ? ? ? i



2

此 r 在数值上等于介质Ⅱ、Ⅲ界面上的入射角, 由布儒斯特定律 tan r ? n3 n2

n3
题图 15-29



n3

? n2 tan r

? n2 cot i ? n2

n1 n2

? n1

? 1.00

习题十六

16-1 某物体辐射频率为 6.0 ?1014 Hz 的黄光,这种辐射的能量子的能量是多大?

解: 根据普朗克能量子公式有: ? ? hv ? 6.63? 10-34 ? 6.0 ?1014 ? 4.0 ?10?19 J

16-5 在天体物理中,一条重要辐射线的波长为 21cm,问这条辐射线相应的光子能量等于多少?

解:

光子能量 E

? h?

?

h

c ?



6.63

?10 ?34 ? 3 21 ?10 ?2

?

10

8

=9.5

?

10

?25

(

J

)

? 5.9 ?10 ?6 (eV )

即辐射线相应的光子能量为 5.9 ?10?6 eV
16-6 一光子的能量等于电子静能,计算其频率、波长和动量。在电磁波谱中,它属于哪种射线?
解: 电子静能 E0 ? m0c 2 ? 9.11 ?10 ?31 ? 9 ?1016 ? 8.20 ?10 ?14 (J )

则光子? ? E0 ? 8.20 ?10 ?14 ? 1.24 ?10 20 (Hz ) h 6.63 ?10 ?34

? ? c ? 3?10 8 ? 2.42 ?10 ?12 (m) ? 1.24 ?10 20

p

?

h ?

?

6.63 ?10 ?34 2.42 ?10 ?12

? 2.73 ?10 ?22 (kg ? m / s)

它属于 ? 射线。

16-7 钾的光电效应红限波长是 550nm, 求(1)钾电子的逸出功; (2)当用波长 ? ? 300nm的紫外光照射
时,钾的截止电压 U.

解:由爱因斯坦光电效应方程

hv

?

1 2

mvm2 ax

?

A

(1) 当光电子的初动能为零时, 有:

A ? hv0

?

hc ?0

?

6.63?10?34 ? 3?108 550 ? 10 ?9

? 3.616?10?19 (J ) ? 2.26eV

(2)

eU

?

1 2

mvm2 ax

?

hc ? A ? 3.014?10?19 (J ) ? 1.88eV ?

所以遏止电压 U=1.88V

16-10 试求: (1)红光( ? ? 7 ?10-5cm); (2)X 射线( ? ? 2.5?10-9 cm); (3)γ 射线( ? ? 1.24?10-10 cm)

的光子的能量、动量和质量。

解:根据光子能量公式 ?=hv 、光子动量公式 p ? h 和质量公式 M ? ? c2 ? h c? 进行计算可得: ?

λ /m

ε /J

P/(kg·m/s)

M/kg

红光

7 ?10?7

2.84 ?10?19

9.47 ?10?28

3.16 ?10?36

X 射线

2.5 ?10?11

7.96 ?10?15

2.65 ? 10?23

8.84 ?10?32

γ 射线

1.24 ?10?12

1.60 ?10?13

5.35 ? 10?22

1.78 ? 10?30


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