2015年北京市春季普通高中会考数学试卷

2015 年北京市春季普通高中会考

数 学 试 卷
1. 考生要认真填写考场号和座位序号。 考 生 须 知 2. 本试卷共 4 页,分为两部分,第一部分选择题,20 个小题(共 60 分) ;第 二部分非选择题,二道大题(共 40 分) 。 3. 试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分 必须用 2B 铅笔作答;第二部分必须用黑色的签字笔作答。 4. 考试结束后, 考生应将试卷、 答题卡及草稿纸放在桌面上, 待监考员收回。

第一部分 选择题(每小题 3 分,共 60 分)
一、在每个小题给出的四个备选答案中,只有一个是符合题目要求的. 1. 已知集合 A = ?3,5,6,8?, B = ?1,3,5? ,那么 A A. ?1,3,5,6,8? B. 2.

B 等于( )

?6,8?

C.

?3,5?

D. ?1, 6,8?

平面向量 a,b 满足 b = 2a 如果 a = (1,1) ,那么 b 等于( ) A. ( ?2, 2) B. (?2, ?2) C. (2, ?2) D. (2, 2)

3.

已知函数 f ( x) = lg( x ? 1) ,那么 f ( x ) 的定义域是( ) A. R B.

?x x ? 1?

C

?x x ? 1?

D.

?x x ? 0?

4.

一个几何体的三视图如图所示, 该几何体的体积是 ( ) A. 30 B. 40 C. 50 D. 60

5.

如果 a ? 0 ,那么 a +

1 + 2 的最小值为( ) a

A. 2 B. 2 2 C. 3 D. 4 6. 已知过两点 A(?1,1), B(4, a ) 的直线斜率为,那么 a 的值是( ) A. ?6 B. ?4 C. 4 D. 6 7.

tan

5π 等于( ) 6

x

1

2
?1

3

3 2 A. ?1 ; B. ? ; C. ; D. 3 2
8.

f ( x)

?

3 2

3 2

已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 的图像是一条连续不断地曲线,且有部分对应值如表 所示,那么函数 f ( x ) 一定存在零点的区间是( ) A. ( ??,1) B. (1, 2) C. (2,3) D. (3, +?)
数学试卷 第1页(共11页)

1 , y = x 2 , y = 3x , y = log 2 x 中,在区间 (0, +?) 上单调递减的是( ) x 1 A. y = B. y = x 2 C. y = 3x D. y = log 2 x x 10. 已知直线 x ? y ? 2 = 0 与直线 mx + y = 0 垂直,那么 m 的值是( )
9. 函数 y = A. ?2 B. ?1 C. D. 2 11. 在同一坐标系中,函数 y = 3x 的图与 y = ( ) x 的图象( ) A.关于 x 轴对称 B.关于 y 轴对称 C.关于原点 y = x 对称 D.关于直线 y = x 对称 12. 在等比数列 ?an ? 中, a1 = 1, a4 = 8 ,那么 ?an ? 的前 5 项和是( ) A. ?31 B. 15 C. 31 D. 63

1 3

?x ? y ? 2 ? 0 ? 13. 已知实数 x, y 满足条件 ? x + y + 2 ? 0 ,那么目标函数 z = x + 2 y 的最小值是( ) ? y?0 ? A. ?6 B. ?4 C. ?2 D. 4 14. 某程序框图如图所示,执行该程序后输出的 S 的值是( ) 2 3 4 5 A. B. C. D. 3 4 5 6 2 15. 函数 y = (sin x + cos x ) 的最小正周期是: ( )

π 3π B. π C. D. 2π 2 2 16. 已知函数 f ( x ) 是定义在 [ ?4,0)
A. 示,那么 f ( x ) 的值域是( ) A. ( ?4, 4) B. [ ?6, 6] C. (?4, 4)

(0, 4]

上的奇函数, 当时, f ( x ) 的图像如图所

(4,6] D. [ ?6, ?4)

(4,6]

17. 边长为 2 的正三角形的顶点和各边的中 点共 6 个点,从中任选两点,所选出的两点之间距离大于的概率是( )

1 1 2 3 B. C. D. 3 2 5 5 18. 设 a , b 是两条不同的直线, ? 、 ? 是两个不同的平面,给出下列四个命题:
A. ① 如果 a / /? , b / /? ,那么 a / / b ; ② 如果 a ∥ ? , a ? ? , b ? ? ,那么 a / / b ; ③ 如果 ? ⊥ ? , a ? ? ,那么 a ⊥ ? ; ④ 如果 a ⊥ ? , a / / b , b ? ? ,那么 ? ⊥ ? . 其中正确命题的序号是( ) A. ① B. ② C. ③ D. ④

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19. 在 ?ABC 中,如果 AB = 5,AC = 3,BC = 4 ,那么 AB ? AC 等于( ) A. 9 B. 12 C. 15 D. 20 20. 已知函数 f ( x) = ax ? 1 与 g ( x) = (a ? 1) x 的图像没有交点, 那么实数的取值范围是 ( ) A. (??,0] B. (0, ) C. [ ,1) D. [1, +?)

1 2

1 2

第二部分 非选择题(共 40 分)
二、填空题(共 4 个小题,每小题 3 分,共 12 分) 21. 计算 9 2 + log2 4 =
1



22. 一家电讯公司在某大学对学生每月的手机话费进行抽样调查,随机抽取了 100 名学 生,将他们的手机话费情况进行统计分析,绘制成频率分布直方图(如图所示) 。如 果该校有大学生 5000 人, 请估计该校每月手机话费在 [50,70) 的学生人数是
0.0165 0.016 频率/组



0.008 0.005 0.0045 0 1 3 5 7 9 110 元

23. 在长度为 3 的线段 AB 上任取一点 C ,那么线段 AC 的长度小于 2 的概率 24. 2014 年 12 月 28 日开始,北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价。



乘坐地铁(不包括机场线)具体方案如下:6 公里(含)内 3 元;6 公里至 12 公里 (含)4 元;12 公里至 22 公里(含)5 元;22 公里至 32 公里(含)6 元;32 公里以上 部分每增加 1 元可乘坐 20 公里。使用市政交通一卡通刷卡,每自然月内每张卡支出累 计满 100 元以后的乘次,价格给予 8 折优惠;满 150 元以后的乘次,价格给予 5 折优 惠;支出累计达到 400 元以后的乘次,不再享受打折优惠。 小李上班时,需要乘坐地铁 15.9 公里到达公司,每天上下班共乘坐两次,每月按上 班 22 天计算。如果小李每次乘坐地铁都使用市政交通一卡通,那么小李每月第 21 次乘 坐地铁时, 他刷卡支出的费用是 元; 他每月上下班乘坐地铁的总费用是 元。

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三、解答题(共 4 个小题,共 28 分) 25. (本小题满分 7 分) 如图,在三棱锥 P-ABC 中, AB ⊥ BC , D , E 分别是 AB,AC 的中点,且 PE ⊥ 平面 ABC 。 (Ⅰ)求证: BC ∥平面 PDE ; (Ⅱ)求证: AB ⊥ 平面 PDE .

26. (本小题满分 7 分) 在 ?ABC 中, 内角 A ,B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c . 且 a = 2 3,b = 2,A = (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)如果函数 f ( x) = sin x ? sin( x + 2 B), 求函数 f ( x ) 的单调递增区间。

π 3

27. (本小题满分 7 分)

(0, 4) 已知点 A ,圆 O : x 2 + y 2 = 4 ,点 P 在圆 O 上运动。
(Ⅰ)如果 ?OAP 是等腰三角形,求点 P 的坐标; (Ⅱ) 若果直线 AP 与圆 O 的另一交点为 Q , 且 AP + AQ = 36 , 求直线 AP 的方程.
2 2

28. (本小题满分 7 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 = 1, an + an +1 = an 2 + bn + 1(a, b 为常数, n ? N * ) (Ⅰ)如果 ?an ? 为等差数列,求 a , b 的值; (Ⅱ)如果 ?an ? 为单调递增数列,求 a + b 的取值范围。

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