2012年普通高等学校招生全国统一考试数学理科试题(湖南卷)含解析

2012 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 数学(理工农医类)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.设集合 M={-1,0,1},N={x|x2≤x},则 M∩N= A.{0} B.{0,1} C.{-1,1} D.{-1,0,0} 【答案】B 【解析】? N ? ? 0,1? M={-1,0,1} ? M∩N={0,1}. 【点评】本题考查了集合的基本运算,较简单,易得分. 先求出 N ? ? 0,1? ,再利用交集定义得出 M∩N. 2.命题“若 α= A.若 α≠
?
4

,则 tanα=1”的逆否命题是 ,则 tanα≠1 ,则 tanα≠1
?
4 ? 4

?
4

B. 若 α=

?
4

C. 若 tanα≠1,则 α≠ D. 若 tanα≠1,则 α= 【答案】C

【解析】因为“若 p ,则 q ”的逆否命题为“若 ? p ,则 ? q ”,所以 “若 α= tanα≠1,则 α≠
?
4

?
4

,则 tanα=1”的逆否命题是 “若

”.

【点评】本题考查了“若 p,则 q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题,考查分析问题的能力. 3.某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示,则该几何体的俯视图不可能是

【答案】D 【解析】本题是组合体的三视图问题,由几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示知,原图下面图为圆柱或 直四棱柱,上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱,A,B,C都可能是该几何体的俯视图,D不

可能是该几何体的俯视图,因为它的正视图上面应为如图的矩形.

【点评】本题主要考查空间几何体的三视图,考查空间想象能力.是近年高考中的热点题型. 4.设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,
y yi) (i=1,2,…,n) ,用最小二乘法建立的回归方程为 ? =0.85x-85.71,则下列结论中不正确的是

A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心( x , y ) C.若该大学某女生身高增加 1cm,则其体重约增加 0.85kg D.若该大学某女生身高为 170cm,则可断定其体重比为 58.79kg 【答案】D
y 【解析】由回归方程为 ? =0.85x-85.71 知 y 随 x 的增大而增大,所以 y 与 x 具有正的线性相关关系,由最
? 小二乘法建立的回归方程得过程知 y ? bx ? a ? bx ? y ? bx ( a ? y ? bx ) ,所以回归直线过样本点的中心

(x ,y ) ,利用回归方程可以预测估计总体,所以 D 不正确. 【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念,并且是找不正确的答 案,易错. 5. 已知双曲线 C :
x a x
2 2 2

-

y b x

2 2

=1 的焦距为 10 ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上,则 C 的方程为

A.

-

y

2

2

=1 B.

-

y

2

=1 C.

x

2

-

y

2

=1

D.

x

2

-

y

2

=1

20

5

5

20

80

20

20

80

【答案】A 【解析】设双曲线 C : 又? C 的渐近线为 y ? ?
x a
2 2

-

y b

2 2

=1 的半焦距为 c ,则 2 c ? 1 0, c ? 5 .
b a
5 ,? C 的方程为

b a

x ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上,? 1 ?

?2 ,即 a ? 2 b .

又 c ? a ? b ,? a ? 2 5, b ?
2 2 2

x

2

-

y

2

=1.

20

5

【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识,考查了数形结合的思想和基本运算能 力,是近年来常考题型. ? 6. 函数 f(x)=sinx-cos(x+ )的值域为
6

A. [ -2 ,2] 【答案】B

B.[- 3 , 3 ]

C.[-1,1 ]

D.[-

3 2

,

3 2

]

【解析】 =sinx-cos(x+ (x) f

?
6

) ? sin x ?

3 2

co s x ?

1 2

sin x ?

3 sin ( x ?

?
6

) , sin ( x ? ?

?
6

) ? ? ? 1,1 ? , f ( x ) ?

值域为[- 3 , 3 ]. 【点评】利用三角恒等变换把 f ( x ) 化成 A sin(? x ? ? ) 的形式,利用 sin (? x ? ? ) ? ? ? 1,1 ? ,求得 f ( x ) 的 值域. 7. 在△ ABC 中,AB=2,AC=3, A B ?B C = 1 则 B C ? ___ . A. 3 【答案】A 【解析】由下图知 A B ?B C =
1 ?2 BC

??? ???? ?

B. 7

C. 2 2
??? ???? ?

D. 2 3
??? ??? ? ? ??? ? A B B C co s( ? ? B ) ? 2 ? B C ? ( ? co s B ) ? 1 .

? co s B ?

.又由余弦定理知 co s B ?

AB ? BC ? AC
2 2

2

2 AB ? BC

,解得 B C ?

3 .

【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力,考查数形结合思想、等价转化 思想等数学思想方法.需要注意 A B , B C 的夹角为 ? B 的外角.
??? ???? ?

8.已知两条直线 l1 :y=m 和 l 2 : y=

8 2m ? 1

(m>0), l1 与函数 y ? log 2 x 的图像从左至右相交于点 A,

B , l 2 与函数 y ? log 2 x 的图像从左至右相交于 C,D .记线段 AC 和 BD 在 X 轴上的投影长度分别为 a ,b , 当 m 变化时, A. 1 6 2 【答案】B 【解析】在同一坐标系中作出 y=m,y=
8 2m ? 1 b a

的最小值为 C. 8 4 D. 4 4

B. 8 2

(m>0), y ? log 2 x 图像如下图,
8 2m ? 1
m

由 lo g 2 x = m,得 x1 ? 2

?m

, x 2 ? 2 , lo g 2 x =
m

,得 x 3 ? 2
8

?

8 2 m ?1

8

, x4 ? 2

2 m ?1

.

依照题意得 a ? 2

?m

?2

?

8 2 m ?1

8

2 ?2 , b a 2 ?
?m

2 m ?1
8

,b ? 2 ? 2
m

2 m ?1

?2

?

8 2 m ?1

? 2 2
m

2 m ?1

? 2

m?

8 2 m ?1

.

?m?

8 2m ? 1

? m?

1 2

?

4 m? 1 2

?

1 2

? 4?

1 2

?3

1 2

,? ( ) m in ? 8 2 .
a

b

【点评】在同一坐标系中作出 y=m,y=

8 2m ? 1

(m>0), y ? log 2 x 图像,结合图像可解得.

二 、填空题: 本大题共 8 小题,考生作答 7 小题,每小题 5 分 ,共 35 分,把答案填在答题卡中对应题 号后的横线上. (一)选做题(请考生在第 9、10、 11 三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分 ) 9. 在直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C 1 : ?
? x ? t ? 1, ? y ? 1 ? 2t

(t 为参数)与曲线 C 2 : ?

? x ? a sin ? , ? y ? 3 co s ?

( ? 为参数, a ? 0 ) 有一个公共点在 X 轴上,则 a ? __ . 【答案】
3 2

【解析】曲线 C 1 : ?

? x ? t ? 1, ? y ? 1 ? 2t

直角坐标方程为 y ? 3 ? 2 x ,与 x 轴交点为 ( , 0 ) ;
2

3

曲线 C 2 : ?

? x ? a sin ? , ? y ? 3 co s ?

直角坐标方程为

x a

2 2

?

y

2

? 1 ,其与 x 轴交点为 ( ? a , 0 ), ( a , 0 ) ,
3 2

9

由 a ? 0 ,曲线 C 1 与曲线 C 2 有一个公共点在 X 轴上,知 a ?

.

【点评】本题考查直线的参数方程、椭圆的参数方程,考查等价转化的思想方法等.曲线 C 1 与曲线 C 2 的参 数方程分别等价转化为直角坐标方程,找出与 x 轴交点,即可求得. 10.不等式|2x+1|-2|x-1|>0 的解集为_______. 【答案】 ? x x ?
? ? 1? ? 4?

1 ? ? 3, ( x ? ? ) ? 2 ? ? 1? 1 ? 【解析】令 f ( x ) ? 2 x ? 1 ? 2 x ? 1 ,则由 f ( x ) ? ? 4 x ? 1, ( ? ? x ? 1) 得 f ( x ) ? 0 的解集为 ? x x ? ? . 4? 2 ? ? 3, ( x ? 1) ? ? ?

【点评】绝对值不等式解法的关键步骤是去绝对值,转化为代数不等式(组). 11.如图 2,过点 P 的直线与圆 O 相交于 A,B 两点.若 PA=1,AB=2,PO=3,则圆 O 的半径等于_______.

【答案】 6 【解析】设 P O 交圆 O 于 C,D,如图,设圆的半径为 R,由割线定理知
P A ? P B ? P C ? P D , 即1 ? (1 ? 2 ) ? (3 - r )(3 ? r ),? r ?
D

6.

?

O
B

C P
A

【点评】本题考查切割线定理,考查数形结合思想,由切割线定理知 P A ? P B ? P C ? P D ,从而求得圆 的半径. (二)必做题(12~16 题) 12.已知复数 z ? (3 ? i ) 【答案】10
2 2 【解析】 z ? (3 ? i ) = 9 ? 6 i ? i ? 8 ? 6 i , z ?

2

(i 为虚数单位),则|z|=_____.

8 ?6
2

2

? 10 .

【点评】本题考查复数的运算、复数的模.把复数化成标准的 a ? bi ( a , b ? R ) 形式,利用
z ? a ?b
2 2

求得. )6 的二项展开式中的常数项为

13.( 2 x -

1 x

.(用数字作答)

【答案】-160 【解析】( 2 x 1 x

)6 的 展 开 式 项 公 式 是 T r ? 1 ? C 6 ( 2 x )
r

6? r

( ?

1 x

) ? C 2 6
r r

6? r

? 1x ( )

r 3?

.由题意知

r

3 ? r ? 0 ,r ? 3,所以二项展开式中的常数项为 T 4 ? C 6 2 ( ? 1) ? ? 1 6 0 .
3 3 3

【点评】本题主要考察二项式定理,写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法. 14.如果执行如图 3 所示的程序框图,输入 x ? ? 1 ,n=3,则输出的数 S= .

【答案】 ? 4 【解析】输入 x ? ? 1 ,n=3,,执行过程如下: i ? 2 : S ? ? 6 ? 2 ? 3 ? ? 3 ; i ? 1 : S ? ? 3( ? 1) ? 1 ? 1 ? 5 ;
i ? 0 : S ? 5( ? 1) ? 0 ? 1 ? ? 4 ,所以输出的是 ? 4 .

【点评】本题考查算法流程图,要明白循环结构中的内容,一般解法是逐步执行,一步步将执行结果写出, 特别是程序框图的执行次数不能出错. 15.函数 f(x)=sin ( ? x ? ? )的导函数 y ? f ? ( x ) 的部分图像如图 4 所示,其中,P 为图像与 y 轴的交点, A,C 为图像与 x 轴的两个交点,B 为图像的最低点. (1)若 ? ?
?
6

,点 P 的坐标为(0,

3 3 2

) ,则 ? ?

;

A (2)若在曲线段 ? B C 与 x 轴所围成的区域内随机取一点,则该点在△ ABC 内的概率为

.

【答案】 (1)3; (2)

?
4

【解析】 (1) y ? f ? ( x ) ? ? cos(? x ? ? ) ,当 ? ?

?
6

,点 P 的坐标为(0,

3 3 2

)时

? co s

?
6

?

3 3 2

,? ? ? 3 ;

2?

(2)由图知 A C ? 设
S ?

T

? 1 ? ? ? ? , S ? A B C ? A C ? ? ? ,设 A , B 的横坐标分别为 a , b . 2 2 ? 2 2
?B C A
b a



线





x























S



?

b a

f ? ( x )d x ? f ( x )

? sin ( ? a ? ? ) ? sin ( ? b ? ? ) ? 2 ,由几何概型知该点在△ ABC 内的概率为

?
P ? S ? ABC S

? ? 2 ? . 2 4

【点评】本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等, (1)利用点 P 在图像上求 ? , (2)几何概型,求出三角形面积及曲边形面积,代入公式即得.
n 16.设 N=2(n∈N*, n≥2)将 N 个数 x1,x2,…,N 依次放入编号为 1,2, N 的 N 个位置, , x …, 得到排列 P0=x1x2…xN.

将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原顺序依次放入对应的前 列 P1=x1x3…xN-1x2x4…xN,将此操作称为 C 变换,将 P1 分成两段,每段 到 p 2 ;当 2≤i≤n-2 时,将 Pi 分成 2i 段,每段
N 2
i

N 2

和后

N 2

个位置,得到排

N 2

个数,并对每段作 C 变换,得

个数,并对每段 C 变换,得到 Pi+1,例如,当 N=8 时,

P2=x1x5x3x7x2x6x4x8,此时 x7 位于 P2 中的第 4 个位置. (1)当 N=16 时,x7 位于 P2 中的第___个位置; (2)当 N=2n(n≥8)时,x173 位于 P4 中的第___个位置. 【答案】 (1)6; (2) 3 ? 2 【解析】 (1)当 N=16 时,
P0 ? x1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 ? x1 6 ,可设为 (1, 2, 3, 4, 5, 6, ? ,1 6 ) ,
n?4

? 11

P1 ? x1 x 3 x 5 x 7 ? x15 x 2 x 4 x 6 ? x16 ,即为 (1, 3, 5, 7, 9, ? 2, 4, 6, 8, ? ,16) , P2 ? x1 x 5 x 9 x13 x 3 x 7 x11 x15 x 2 x 6 ? x16 ,即 (1, 5, 9,13, 3, 7,11,15, 2, 6, ? ,16) , x7 位于 P2 中的第 6 个位置,;

(2)方法同(1),归纳推理知 x173 位于 P4 中的第 3 ? 2

n?4

? 11 个位置.

【点评】本题考查在新环境下的创新意识,考查运算能力,考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯,才可顺利解决此类问题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相 关数据,如下表所示.

一次购物量 顾客数(人) 结算时间(分钟/人)

1至4件
x

5至8件 30 1.5

9 至 12 件 25 2

13 至 16 件
y

17 件及以上 10 3

1

2.5

已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (Ⅰ)确定 x,y 的值,并求顾客一次购物的结算时间 X 的分布列与数学期望; (Ⅱ)若某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等 候时间不超过 2.5 分钟的概率. ... (注:将频率视为概率) 【解析】 (1)由已知,得 25 ? y ? 10 ? 55, x ? y ? 35, 所以 x ? 15, y ? 20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所以收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总 体的一个容量随机样本,将频率视为概率得
p ( X ? 1 )? 15 ? 3 , p (X ? 1 . 5?) 100 20 20 1 p( X ? 2 . 5 ? ) ? p X ? , ( 100 5
X 的分布为

3 ? p, X( ? 100 10 10 1 3?) ? . 100 10

30

2) ?

25

? 100

1 4

,

X P X 的数学期望为
E ( X )? 1 ? 3 20 ? 1 ?5 . ? 10 3 1 ?2 ? 4

1
3 20

1.5
3 10

2
1 4

2.5
1 5

3
1 10

1 ? .5 ? 2 ? 5

1 3? 10

. 1.9

(Ⅱ)记 A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟”, X i ( i ? 1, 2 ) 为该顾客前面第 i 位顾客的结 算时间,则
P ( A )? P ( 1 ? 且 X 1 X ? 1 ) P (1X ? 1 ? 且 2
2

X ?

1 . 5 ) P 1 X ?且 1 . 2 X .? ? ( 5

1)

由于顾客的结算相互独立,且 X 1 , X 2 的分布列都与 X 的分布列相同,所以
P ( A ) ? P ( 1 ? 1 ? (P 2X ? 1 ) P 1 X ? X ) ? ( 1? P 2 (X ? ) 1 . ? ) P1 X( ? 5 1?. 5P) X ? ( 2 1)

?

3 20

?

3 20

?

3 20

?

3 10

?

3 10

?

3 20

?

9 80

.
9 80

故该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率为

.

【点评】本题考查概率统计的基础知识,考查分布列及数学期望的计算,考查运算能力、分析问题能力. 第一问中根据统计表和 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55%知
25 ? y ? 10 ? 100 ? 55% , x ? y ? 35, 从而解得 x , y , 计算每一个变量对应的概率, 从而求得分布列和期望;

第二问,通过设事件,判断事件之间互斥关系,从而求得 该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率. ... 18.(本小题满分 12 分) 如图 5,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90° ,E 是 CD 的中点. (Ⅰ)证明:CD⊥平面 PAE;

(Ⅱ)若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等,求四棱锥 P-ABCD 的体积.

【解析】 解法 1(Ⅰ如图(1),连接 AC,由 AB=4, B C ? 3 , ? A B C ? 9 0 , 得 A C ? 5 . )
又 A D ? 5, E是CD的中点,所以 C D ? A E . ? P A ? 平 面 A B C D , C D ? 平 面 A B C D , 所以 P A ? C D .
?

而 P A , A E 是 平 面 P A E 内的两条相交直线,所以 CD⊥平面 PAE. (Ⅱ)过点B作 B G ? ? C D , 分 别 与 A E , A D 相 交 于 F , G , 连 接 P F . 由(Ⅰ)CD⊥平面 PAE 知,BG⊥平面 PAE.于是 ? B P F 为直线PB与平面 PAE 所成的角,且 B G ? A E . 由 P A ? 平 面 A B C D 知, ? P B A 为直线 P B 与平面 A B C D 所成的角.

A B ? 4, A G ? 2, B G ? A F , 由题意,知 ? P B A ? ? B P F ,

因为 sin ? P B A ?

PA PB

, sin ? B P F ?
?

BF PB

, 所以 P A ? B F .

由 ? D AB ? ? ABC ? 90 知 , AD / / BC , 又 BG / /C D , 所 以 四 边 形 BC D G 是 平 行 四 边 形 , 故
G D ? B C ? 3. 于是 A G ? 2.

在 R tΔ B A G 中, A B ? 4, A G ? 2, B G ? A F , 所以
AB
2

BG ?

AB ? AG
2

2

? 2 5, BF ?

?

16 2 5

?

8 5 5

.

BG
8 5 5

于是 P A ? B F ?

.

又梯形 A B C D 的面积为 S ?

1 2

? (5 ? 3) ? 4 ? 1 6, 所以四棱锥 P ? A B C D 的体积为

V ?

1 3

? S ? PA ?

1 3

? 16 ?

8 5 5

?

128 5 15

.

解法 2:如图(2) ,以 A 为坐标原点, A B , A D , A P 所在直线分别为 x 轴 , y 轴 , z 轴 建立空间直角坐标系. 设 P A ? h , 则相关的各点坐标为:
A (4, 0, 0), B (4, 0, 0), C (4, 3, 0), D (0, 5, 0), E (2, 4, 0), P (0, 0, h ).

(Ⅰ)易知 C D ? ( ? 4, 2, 0 ), A E ? (2, 4, 0 ), A P ? (0, 0, h ). 因为
???? ??? ? ???? ??? ? C D ? A E ? ? 8 ? 8 ? 0 ? 0, C D ? A P ? 0, 所以 C D ? A E , C D ? A P . 而 A P , A E 是平面 P A E 内的两条相交

????

??? ?

??? ?

直线,所以 C D ? 平 面 P A E . (Ⅱ)由题设和(Ⅰ)知, C D , A P 分别是 平 面 P A E , 平 面 A B C D 的法向量,而 PB 与
平 面 P A E 所成的角和 PB 与 平 面 A B C D 所成的角相等,所以

???? ??? ?

???? ??? ? ??? ??? ? ? ???? ??? ? ??? ??? ? ? CD ? PB PA ? PB co s ? C D , P B ? ? co s ? P A , P B ? , 即 ???? ??? ? ??? ??? . ? ? ? CD ? PB PA ? PB
???? ??? ? ??? ?

由(Ⅰ)知, C D ? ( ? 4, 2, 0 ), A P ? (0, 0, ? h ), 由 P B ? ( 4, 0, ? h ), 故
?16 ? 0 ? 0 2 5 ? 16 ? h
2

?

0?0?h

2

h ? 16 ? h

.
2

解得 h ?

8 5 5

.
1 2 ? (5 ? 3) ? 4 ? 1 6 ,所以四棱锥 P ? A B C D 的体积为

又梯形 ABCD 的面积为 S ?

V ?

1 3

? S ? PA ?

1 3

? 16 ?

8 5

5 ?

128 15

.

5

【点评】本题考查空间线面垂直关系的证明,考查空间角的应用,及几何体体积计算.第一问只要证明
P A ? C D 即可,第二问算出梯形的面积和棱锥的高,由 V ?

1 3

? S ? P A 算得体积,或者建立空间直角坐

标系,求得高几体积. 19.(本小题满分 12 分) 已知数列{an}的各项均为正数, A 记 (n) 1+a2+……+an,(n) 2+a3+……+an+1, (n) 3+a4+……+an+2, =a B =a C =a n=1,2,…… (1) 若 a1=1,a2=5,且对任意 n∈N﹡,三个数 A(n) ,B(n) ,C(n)组成等差数列,求数列{ an }的 通项公式. (2) 证明:数列{ an }是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是:对任意 n ? N ,三个数 A(n) ,B(n) , C(n)组成公比为 q 的等比数列. 【解析】 解(1)对任意 n ? N ,三个数 A ( n ), B ( n ), C ( n ) 是等差数列,所以
B ( n ) ? A ( n ) ? C ( n ) ? B ( n ),
? ?

即 a n ? 1 ? a1 ? a n ? 2 , 亦即 a n ? 2 ? a n ?1 ? a 2 ? a1 ? 4 . 故数列 ? a n ? 是首项为1,公差为4的等差数列.于是 a n ? 1 ? ( n ? 1) ? 4 ? 4 n ? 3. (Ⅱ) (1)必要性:若数列 ? a n ? 是公比为q的等比数列,则对任意 n ? N ,有
?

a n ? 1 ? a n q . 由 a n ? 0 知, A ( n ), B ( n ), C ( n ) 均大于0,于是

B (n) A(n) C (n) B (n)
B (n) A(n )

?

a 2 ? a 3 ? ... ? a n ? 1 a 1 ? a 2 ? ... ? a n a 3 ? a 4 ? ... ? a n ? 2 a 2 ? a 3 ? ... ? a n ? 1

?

q ( a 1 ? a 2 ? ... ? a n ) a 1 ? a 2 ? ... ? a n

? q,

?

?

q ( a 2 ? a 3 ? ... ? a n ? 1) a 2 ? a 3 ? ... ? a n ? 1

? q,





C (n) B (n)

= q ,所以三个数 A ( n ), B ( n ), C ( n ) 组成公比为 q 的等比数列.

(2)充分性:若对于任意 n ? N ,三个数 A ( n ), B ( n ), C ( n ) 组成公比为 q 的等比数列, 则
B ( n )? q A ( n , ? ( n) ) C q ( , B n )

?

于是 C ( n ) ? B ( n ) ? q ? B ( n ) ? A ( n ) ? , 得 a n ? 2 ? a 2 ? q ( a n ? 1 ? a1 ), 即
a n ? 2 ? q a n ? 1? a ?2 a .
1

由 n ? 1 有 B (1) ? q A (1), 即 a 2 ? q a1 ,从而 a n ? 2 ? q a n ? 1 ? 0 . 因为 a n ? 0 ,所以
an?2 a n ?1 ? a2 a1 ? q ,故数列 ? a n ? 是首项为 a 1 ,公比为 q 的等比数列,

综上所述,数列 ? a n ? 是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是:对任意 n∈N﹡,三个数 A ( n ), B ( n ), C ( n ) 组成公比为 q 的等比数列. 【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得;第二 问要从充分性、必要性两方面来证明,利用等比数列的定义及性质易得证. 20.(本小题满分 13 分) 某企业接到生产 3000 台某产品的 A,B,C三种部件的订单,每台产品需要这三种部件的数量分别为2, 2,1(单位:件).已知每个工人每天可生产A部件6件,或B部件3件,或C部件2件.该企业计划安排 200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比,比例系数为 k(k 为正整数). (1)设生产A部件的人数为x,分别写出完成A,B,C三种部件生产需要的时间; (2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数 k 的值,使完成订单任务的时间最短,并给出时间 最短时具体的人数分组方案. 【解析】 解: (Ⅰ)设完成 A,B,C 三种部件的生产任务需要的时间(单位:天)分别为
T1 ( x ), T 2 ( x ), T3 ( x ), 由题设有
2? 3 0 0 0 ? 6x 1000 , T ( x )? 2 x 2000 ,T (x ?) 3 kx 200 ? 1500 ? 1 k )x (

T1 ( x ) ?

,

期中 x , kx , 2 0 0 ? (1 ? k ) x 均为 1 到 200 之间的正整数. (Ⅱ)完成订单任务的时间为 f ( x ) ? m ax ?T1 ( x ), T 2 ( x ), T3 ( x )? , 其定义域为
? 200 ?? , x ? N ? . 易知, T1 ( x ), T 2 ( x ) 为减函数, T 3 ( x ) 为增函数.注意到 ?x 0 ? x ? 1? k ? ?
T2 ( x ) ? 2 k T1 ( x ), 于是

(1)当 k ? 2 时, T1 ( x ) ? T 2 ( x ), 此时
1500 ? ?1000 f ( x ) ? m ax ? T1 ( x ), T 3 ( x )? ? m ax ? , ?, 200 ? 3 x ? ? x

由函数 T1 ( x ), T 3 ( x ) 的单调性知,当
x ? 400 9

1000 x

?

1500 200 ? 3 x

时 f ( x ) 取得最小值,解得

.由于

44 ?

400 9

? 4 5, 而 f ( 4 4 ) ? T1 ( 4 4 ) ?

250 11

, f ( 4 5) ? T 3 ( 4 5) ?

300 13

, f ( 4 4 ) ? f ( 4 5) . 250 11

故当 x ? 44 时完成订单任务的时间最短,且最短时间为 f ( 4 4 ) ?

.
375 50 ? x , ? ( x ) ? m ax ?T1 ( x ), T ( x )?

T (2) k ? 2 时, 1 ( x ) ? T 2 ( x ), 由于 k 为正整数, k ? 3 , 当 故 此时 T ( x ) ?

易知 T ( x ) 为增函数,则
f ( x ) ? m ax ?T1 ( x ), T 3 ( x )? ? m ax ?T1 ( x ), T ( x )?
?1000 375 ? ? ? ( x ) ? m ax ? , ?. 50 ? x ? ? x

) 由 函 数 T1 ( x ) , T ( x 的 单 调 性 知 , 当
3 6? 400 ? 37,? 而 11 ( 3?6T1 )

1000 x

此时完成订单任务的最短时间大于 ( 3 ) 当 k ?2

250 ?3 6 ) ? ( 9 250

50 ? x 250 ? ,? T( 3 7 )? 11

?

375

时 ? ( x) 取 得 最 小 值 , 解 得 x ?
375 250 (37 ) ? 13 11 ,

400 11

.由于

.

11

时 , T1 ( x ) ? T 2 ( x ),

由 于 k

为 正 整 数 , 故 k ?1

, 此 时

750 ? ? 2000 f ( x ) ? m ax ? T 2 ( x ), T 3 ( x ) ? ? m ax ? , ? . 由函数 T 2 ( x ), T3 ( x ) 的单调性知, 100 ? x ? ? x



2000 x

?

750 100 ? x

时 f ( x ) 取得最小值,解得 x ?
250 9

800 11

.类似(1)的讨论.此时

完成订单任务的最短时间为

,大于

250 11

.

综上所述,当 k ? 2 时完成订单任务的时间最短,此时生产A,B,C三种部件的人数 分别为 44,88,68. 【点评】本题为函数的应用题,考查分段函数、函数单调性、最值等,考查运算能力及用数学知识分析解 决实际应用问题的能力.第一问建立函数模型;第二问利用单调性与最值来解决,体现分类讨论思想. 21.(本小题满分 13 分) 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的点均在 C2: (x-5)2+y2=9 外,且对 C1 上任意一点 M,M 到直线 x=﹣2 的距离等于该点与圆 C2 上点的距离的最小值. (Ⅰ)求曲线 C1 的方程; (Ⅱ)设 P(x0,y0)(y0≠±3)为圆 C2 外一点,过 P 作圆 C2 的两条切线,分别与曲线 C1 相交于点 A,B 和 C, D.证明:当 P 在直线 x=﹣4 上运动时,四点 A,B,C,D 的纵坐标之积为定值. 【解析】 (Ⅰ)解法 1 :设 M 的坐标为 ( x , y ) ,由已知得
x?2 ? ( x ? 5) ? y ? 3 ,
2 2

易知圆 C 2 上的点位于直线 x ? ? 2 的右侧.于是 x ? 2 ? 0 ,所以
( x ? 5) ? y
2 2

? x ? 5.

化简得曲线 C 1 的方程为 y ? 2 0 x .
2

解法 2 :由题设知,曲线 C 1 上任意一点 M 到圆心 C 2 (5, 0 ) 的距离等于它到直线 x ? ? 5 的距离,因此,曲 线 C 1 是以 (5, 0 ) 为焦点,直线 x ? ? 5 为准线的抛物线,故其方程为 y ? 2 0 x .
2

(Ⅱ)当点 P 在直线 x ? ? 4 上运动时,P 的坐标为 ( ? 4, y 0 ) ,又 y 0 ? ? 3 ,则过 P 且与圆
C2 相切得直线的斜率 k 存在且不为 0,每条切线都与抛物线有两个交点,切线方程为 y ? y 0 ? k ( x ? 4 ), 即 k x - y + y 0 + 4 k = 0 .于是
5k ? y0 ? 4 k k ?1
2

? 3.

整理得
72 k ? 18 y 0 k ? y 0 ? 9 ? 0.
2 2



设过 P 所作的两条切线 P A , P C 的斜率分别为 k 1 , k 2 ,则 k 1 , k 2 是方程①的两个实根,故
k1 ? k 2 ? ? 18 y0 72 ? ? y0 4 .



由?
?

? k 1 x ? y ? y 0 ? 4 k 1 ? 0, y ? 20 x,
2

得 k1 y ? 2 0 y ? 2 0 ( y 0 ? 4 k1 ) ? 0 .
2



设四点 A,B,C,D 的纵坐标分别为 y1 , y 2 , y 3 , y 4 ,则是方程③的两个实根,所以
y1 ? y 2 ? 2 0 ( y 0 ? 4 k1 ) k1

.



同理可得
y3 ? y4 ? 20( y0 ? 4 k 2 ) k2 .



于是由②,④,⑤三式得
y1 y 2 y 3 y 4 ? 4 0 0 ( y 0 ? 4 k 1 )( y 0 ? 4 k 2 ) k1 k 2

?

2 4 0 0 ? y 0 ? 4 ( k1 ? k 2 ) y 0 ? 1 6 k1 k 2 ? ? ?

k1 k 2 ?
2 2 4 0 0 ? y 0 ? y 0 ? 1 6 k1k 2 ? ? ?

6400 .

k1 k 2

所以,当 P 在直线 x ? ? 4 上运动时,四点 A,B,C,D 的纵坐标之积为定值 6400. 【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系,考查运算能力,考查数形结合思想、函数与方程 思想等数学思想方法.第一问用直接法或定义法求出曲线的方程;第二问设出切线方程,把直线与曲线方程 联立,由一元二次方程根与系数的关系得到 A , B , C , D 四点纵坐标之积为定值,体现“设而不求”思想.

22.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) = ? e ax ? x ,其中 a≠0. (1) 若对一切 x∈R, f ( x ) ≥1 恒成立,求 a 的取值集合. (2)在函数 f ( x ) 的图像上取定两点 A ( x1 , f ( x1 )) , B ( x 2 , f ( x 2 )) ( x1 ? x 2 ) ,记直线AB的斜率为 K,问:是否存在x0∈(x1,x2) ,使 f ? ( x 0 ) ? k 成立?若存在,求 x 0 的取值范围;若不存在, 请说明理由.
【解析】 (Ⅰ)若 a ? 0 ,则对一切 x ? 0 , f ( x ) ? e 故a ? 0 .
ax 而 f ? ( x ) ? a e ? 1, 令 f ? ( x ) ? 0, 得 x ?
ax

? x ? 1 ,这与题设矛盾,又 a ? 0 ,

1 a

ln

1 a

. 1 a ln 1 a

当x ?

1 a

ln

1 a

时, f ? ( x ) ? 0, f ( x ) 单调递减; x ? 当
1 a ln 1 a )? 1 a ? 1 a ln 1 a .

时, f ?( x ) ? 0, f ( x ) 单调递增, 故当 x ?

1 a

ln

1 a

时, f ( x ) 取最小值 f (

于是对一切 x ? R , f ( x ) ? 1 恒成立,当且仅当
1 a ? 1 a ln 1 a ?1.



令 g ( t ) ? t ? t ln t , 则 g ?( t ) ? ? ln t . 当 0 ? t ? 1 时, g ?( t ) ? 0, g ( t ) 单调递增;当 t ? 1 时, g ?( t ) ? 0, g ( t ) 单调递减. 故当 t ? 1 时, g ( t ) 取最大值 g (1) ? 1 .因此,当且仅当 综上所述, a 的取值集合为 ?1? . (Ⅱ)由题意知, k ?
f ( x 2 ) ? f ( x1 ) x 2 ? x1 ? e
ax2

1 a

? 1 即 a ? 1 时,①式成立.

?e

a x1

x 2 ? x1

? 1.

ax 令 ? ( x ) ? f ?( x ) ? k ? a e ?

e

a x2

?e

a x1

x 2 ? x1

,则

? ( x1 ) ? ?

? e a ( x 2 ? x1 ) ? a ( x 2 ? x1 ) ? 1 ? , ? x 2 ? x1 ? e
ax2

e

a x1

? ( x2 ) ?

? e a ( x1 ? x 2 ) ? a ( x1 ? x 2 ) ? 1 ? . ? x 2 ? x1 ?
t t

令 F ( t ) ? e ? t ? 1 ,则 F ? ( t ) ? e ? 1 . 当 t ? 0 时, F ?( t ) ? 0, F ( t ) 单调递减;当 t ? 0 时, F ?( t ) ? 0, F ( t ) 单调递增. 故当 t ? 0 , F ( t ) ? F (0 ) ? 0, 即 e ? t ? 1 ? 0.
t

从而 e

a ( x 2 ? x1 )

? a ( x 2 ? x1 ) ? 1 ? 0 , e

a ( x1 ? x 2 )

? a ( x1 ? x 2 ) ? 1 ? 0, 又

e

a x1

x 2 ? x1

? 0,

e

a x2

x 2 ? x1

? 0,

所以 ? ( x1 ) ? 0, ? ( x 2 ) ? 0 . 因 为 函 数 y ? ? ( x ) 在 区 间 ? x 1 , x 2 ? 上 的 图 像 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 , 所 以 存 在 x 0 ? ( x1 , x 2 ) 使
? ( x 0 ) ? 0, ? ? ( x ) ? a e
2 ax

? 0, ? ( x ) 单调递增,故这样的 c 是唯一的,且 c ?

1 a

ln

e

ax2

?e

a x1

a ( x 2 ? x1 )

.故当且仅当

x?(

1 a

ln

e

a x2

?e

a x1

a ( x 2 ? x1 )

, x 2 ) 时, f ? ( x 0 ) ? k .

综上所述,存在 x 0 ? ( x1 , x 2 ) 使 f ? ( x 0 ) ? k 成立.且 x 0 的取值范围为
1 a e
a x2

(

ln

?e

a x1

a ( x 2 ? x1 )

, x2 ) .

【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力,考查分类讨 论思想、函数与方程思想,转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法求出 f ( x ) 取最小值
f( 1 a ln 1 a )? 1 a ? 1 a ln 1 a .对一切 x∈R,f(x) ? 1 恒成立转化为 f ( x ) m in ? 1 ,从而得出 a 的取值集合;第二

问在假设存在的情况下进行推理,通过构造函数,研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断.


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