天津市天津一中2011-2012学年高二下学期期末考试 理科数学试题

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天津一中 2011—2012 高中二年级 第二学期期末考试数学学科试卷(理科)
一、选择题(每小题 4 分,共 32 分)
? ? 1.如果复数 m2 ? i ?1? mi? 是实数,则实数 m ? ( )

A .1

B.-1

C. 2

D.- 2

2. 若 (x ?1)5 ? a0 ? a1(x ?1) ? a2(x ?1)2 ? ...? a5(x ?1)5 ,则 a0 =( )

A.32

B.1

C.-1

D.-32

3.由曲线 y= x,直线 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积为( )

10 A. 3

B.4

16 C. 3

D.6

4 函数 y=2x3-3x2-12x+5 在[0,3]上的最大值、最小值分别是 ( )

A.5,-15

B.5,-4

C.-4,-15

D.5,-16

5.从装有 3 个红球、2 个白球的袋中任取 3 个球,则所取的 3 个球中至少有 1 个白球的概率

是( )

1 A.10

3 B.10

3

9

C.5

D.10

6.已知随机变量 ξ+η=8,若 ξ~B(10,0.6),则 Eη,Dη 分别是( )

A.6 和 2.4

B.2 和 2.4

C.2 和 5.6

D.6 和 5.6

7.已知函数 f(x)= ln a ? ln x 在[1,+∞]上为减函数,则 a 的取值范围是( ) x

A. 0 ? a ? 1 e

B. 0 ? a ? e

C. a ? e

D. a ? e

8.有 8 张卡片分别标有数字 1,2,3,4,5,6,7,8,从中取出 6 张卡片排成 3 行 2 列,要求 3 行中仅

有中间行的两张卡片上的数字之和为 5,则不同的排法共有( )

A.1 344 种

B.1 248 种

C.1 056 种

D. 960 种

二、填空题(每小题 4 分,共 24 分)

9.从分别写有 0, 1, 2, 3, 4 的五张卡片中第一次取出一张卡片,记下数字后放回,再从中取出一

张卡片.两次取出的卡片上的数字和恰好等于 4 的概率是

.

10.某射手射击所得环数 ? 的分布列如下:

?

7

8

9

10

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P

x

0.1

0.3

y

已知 ? 的期望 E ? =8.9,则 y 的值为

.

11. 如图 2,A,E 是半圆周上的两个三等分点,直径 BC=4,

AD⊥BC,垂足为 D,BE 与 AD 相交与点 F,则 AF 的长为______

12. (1 ? x ? x2 )(x ? 1 )6 的展开式中的常数项为_________ x

13.若曲线 f ? x? ? ax2 ? Inx 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是

.

14.某班要从 A,B,C,D,E 五人中选出三人担任班委中三种不同的职务,则上届任职的 A, B,C 三人都不连任原职务的方法有________种. 三、解答题(共 44 分) 15.旅游公司为 3 个旅游团提供 4 条旅游线路,每个旅游团任选其中一条.(1)求 3 个旅游团
选择 3 条不同的线路的概率(2)求恰有 2 条线路没有被选择的概率.(3)求选择甲线路旅游
团数的期望.

16.在一个选拔项目中,每个选手都需要进行 4 轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答者进 入下一轮考核,否则被淘汰,已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为 5 、
6 4 、 3 、 1 ,且各轮问题能否正确回答互不影响.⑴求该选手进入第三轮才被淘汰的概率; 543 ⑵求该选手至多进入第三轮考核的概率;⑶该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为 X ,
求随机变量 X 的分布列和期望.

17.甲、乙两人进行某项对抗性游戏,采用“七局四胜”制,即先赢四局者为胜,若甲、乙两 人水平相当,且已知甲先赢了前两局,求:(1)乙取胜的概率;(2)比赛进行完七局的概率。
(3)记比赛局数为? ,求? 的分布列及数学期望 E? .

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18.已知函数 f (x) ? ln(1? x2 ) ? ax.(a ? 0) (1)若 f (x) 在 x ? 0 处取得极值,求a的值;(2)讨



f

(x)

的单调性;(3)证明: (1 ?

1 )(1 ? 9

1 )...(1? 81

1 32n

)

?

e(n ? N * , e 为自然对数的底数)

参考答案

一.选择题:

1.B

2. A

3.C

4. A

5. D

6. B

7. D

8.B

二.填空题: 1
9. 5 10. 0.4
23 11. 3
12. -5
13. (??, 0)
14. 32 种
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三.解答题:

15.

解:(1)3 个旅游团选择 3 条不同线路的概率为:P1=

A 43 43

?3 8

(2)恰有两条线路没有被选择的概率为:P2=

C 42

? C32 43

?

A22

?9 16

(3)设选择甲线路旅游团数为ξ,则ξ=0,1,2,3

P(ξ=0)= 33 43

?

27 64

P(ξ=1)=

C31 ? 32 43

?

27 64

P(ξ=2)= C31 ? 3 ? 9 43 64

P(ξ=3)=

C 33 43

?

1 64

∴ξ的分布列为: ξ0 1 2 3

P 27 27 9

1

64 64 64 64

∴期望 Eξ=0× 27 +1× 27 +2× 9 +3× 1 = 3 …

64

64

64

64 4

16. 设事件 Ai (i ? 1, 2, 3, 4) 表示“该选手能正确回答第 i 轮问题”,

由已知

P( A1 )

?

5 6

,

P(

A2

)

?

4 5

,

P( A3 )

?

3 4

,

P(

A4

)

?

1 3



⑴设事件 B 表示“该选手进入第三轮被淘汰”,



P(B)

?

P( A1 A2

A3 )

?

P( A1)P( A2 )P( A3 )

?

5 6

?

4 5

? ???1 ?

3? 4 ??

?

1 6



⑵设事件 C 表示“该选手至多进入第三轮考核”,

则 P(C) ? P( A1 ? A1 A2 ? A1A2 A3 )

?

P( A1 )

?

P(

A1

A2

)

?

P( A1 A2

A3

)

?

1 6

?

5 6

?

1 5

?

5 6

?

4 5

?

(1

?

3) 4

?

1 2



⑶ X 的可能取值为 1,2,3,4,

P(X ?1) ? P(A1) ? 1 , 6

P( X

?

2)

?

P(A1 A2 )

?

5 6

? (1?

4) 5

?

1 6



P( X

?

3)

?

P( A1 A2

A3 )

?

5 6

?

4 5

? (1?

3) 4

?

1 6



P( X

?

4)

?

P(A1A2 A3 )

?

5 6

?

4 5

?

3 4

?

1 2



所以, X 的分布列为

X

1

2

3

4

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1

1

1

1

P

6

6

6

2

E(X ) ?1? 1 ? 2? 1 ? 3? 1 ? 4? 1 ? 3 . 6 66 2

17.解(1)乙取胜有两种情况

一是乙连胜四局,其概率 P1

? ?? 1 ??4 ?2?

?1 16

二是第三局到第六局中乙胜三局,第七局乙胜,

其概率 P2

?

C43

?? ?

1 2

?? ?

3

??1 ?

?

1 ?? ? 2?

1 2

?

1, 8

所以乙胜概率为 P1

?

P2

?

3 16

(2)比赛进行完 7 局有两种情况。

一是甲胜,第 3 局到第 6 局中甲胜一局,第 7 局甲胜

其概率 P3

?

C41

?

1 2

? ??1? ?

1 ?3 ?
2?

?

1 2

?

1 8

二是乙胜,同(1)中第二种情况, P4

?

P2

?

1 8

所以比赛进行完

7

局的概率为 P3

?

P4

?

1 4

(3)根据题意,? 的可能取值为 4,5,6,7

P ??

?

4? ?

? 1 ?2 ?? ?2?

?

1 , P??
4

?

5? ?

C21

? ?? 1 ??2 ?2?

?

1 2

?

1, 4

P??

?

6? ?

? 1 ?4 ?? ?2?

? C31

? ?? 1 ??3 ?2?

?

1 2

?

1 , P??
4

?

7? ?

1, 4

所以? 的分布列为

?

4

5

6

7

1

1

1

1

P

4

4

4

4

? E? ? 4 ? 1 ? 5? 1 ? 6 ? 1 ? 7 ? 1 ? 5.5 4444

18.解:(1)? f ??x? ? 2x ? a,? x ? 0使f ?x?的 一个极值点,则
1? x2

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f ??0? ? 0,? a ? 0 ,验证知 a=0 符合条件……………………

(2)? f ??x? ? 2x ? a ? ax2 ? 2x ? a

1? x2

1? x2

1)若 a=0 时,
? f (x)在?0,???单调递增,在 ?? ?,0?单调递减;

2)若

?a ???

? ?

0 得,当a 0

?

?1时,f

??x?

?

0对x

?

R恒成立,

? f (x)在R 上单调递减…………………………………

3)若 ?1 ? a ? 0时,由f ??x? ? 0得ax2 ? 2x ? a ? 0

?1? 1? a2

?1? 1? a2

?

?x?

a

a

再令 f ??x? ? 0,可得 x ? ?1 ? 1 ? a 2 或x ? ?1 ? 1 ? a 2

a

a

? f (x)在( ?1 ? 1 ? a 2 , ?1 ? 1 ? a 2 )上单调递增,

a

a

在 (??, ?1 ? 1 ? a 2 )和( ?1 ? 1 ? a 2 ,??)上单调递减

a

a

综上所述,若 a ? ?1时,f (x)在(??,??) 上单调递减,

若 ?1 ? a ? 0时,f (x)在( ?1 ?

1? a2 ?1? ,

1 ? a 2 )上单调递增,

a

a

(??, ?1 ? 1 ? a 2 )和( ?1 ? 1 ? a 2 ,??)上单调递减 。

a

a

若 a ? 0时,f (x)在?0,???单调递增,在 ?? ?,0?单调递减.......... ........

(3)由(2)知,当 a ? ?1时,f (x)在?? ?,? ??单调递减

当 x ? ?0,???时,由f (x) ? f (0) ? 0

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?ln(1 ? x2 ) ? x

?

ln[(1

?

1 9

)(1

?

1 )...(1 81

?

1 32n

)]

?

(1

?

1 9

)

?

ln(1

?

1) 81

?

......?

ln(1

?

1 32n

)

?1? 1 3 32

?

...

.

.

1 .3n

?

1 3

??1 ?

?

1 3n

1? 1

?? ?

?

1 2

??1 ?

?

1 3n

?? ?

?

1 2

3

?(1 ?

1)(1 ? 1 )...(1 ? 9 81

1 32n

)

?

e

1 2

?

e , . . . . . . . .... . . . . . . .... . . . . . . .... .

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